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第二十八章 锐角三角函数 单元同步培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a＝c·sinB B．a＝c·cos B C．b＝c·sin A D．b＝
3．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1，则弧BD的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（ ）
A． B． C． D．
5．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i= ：1，若大树CD的高为8 米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）
A．18 B．19 C．20 D．21
6．某河堤的横断面如图所示，堤高BC= 5m，迎水坡AB的坡比是1：2，则AC的长是（ ）
A．5 m B．10m C．15m D．20m
7．已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（ ）
A．α=β B．α+β=90° C．α﹣β=90° D．β﹣α=90°
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）．
A． B．8 C．11 D．12
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，EB=3，GC=4，∠FEG=60°．∠EGF=45°，则BC的长为（ ）
A． B． C．4+ D．3+4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在 中， ，点 是斜边 上一点，过点 作 ，垂足为 ，交边 （或边 ）于点 ，设 ，当 的面积为 时， 的值为 .
12．（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°= ．
13．如图，在反比例函数的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一分支于点B，在第四象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若，则k的值为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD= ．
15．用科学计数器计算：2×sin15°×cos15°= （结果精确到0.01）.
16．在 和 中， ， ． 将它们叠合在一起， 边 与 重合， 与 相交于点 （如图 1 ， 此时线段 的长是 ． 现将 绕点 按顺时针方向旋转 （如图2， 边 与 相交于点 ， 连结 ， 在旋转 到 的过程中， 线段 扫过的面积是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在一次联合反潜演习中，军舰A测得潜艇C的俯角为31°；位于军舰A正上方500m的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度（结果保留整数）
（，，，，，，）
18． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
19．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（ ，结果精确到0.1米）
20．南安北站设计理念的核心源自南安当地古厝民居，体现了南安古厝“红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊，雕梁画栋皇宫式”的精美与韵味．如图，数学兴趣小组为测量南安北站屋顶BE的高度，在离底部B点26.6米的点A处，用高1.50米的测角仪AD测得顶端E的仰角＝40°．求南安北站屋顶BE的高度（精确到0.1米；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
21．如图所示，建筑物 座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物 在坡顶平地上的一部分影子 米，在斜坡 上的另一部分影子 米，且斜坡 的坡度为 （即 ） 求建筑物 的高度.（结果保留根号）
22．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
23．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线的距离；
（2）求古塔的高度．
24．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
25．已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
当时，求的长；
求的最大值．
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第二十八章 锐角三角函数 单元同步培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】如图，
根据网格特点，由勾股定理可得
故答案为：D.
【分析】根据网格特点，利用勾股定理求得OD的值，再由三角函数的定义即可求解.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a＝c·sinB B．a＝c·cos B C．b＝c·sin A D．b＝
【答案】B
【解析】【解答】A、因为sinB=，所以b=c·sinB，而A选项中是a=c·sinB、故A选项错误。
B、因为cosB=，所以a=c·cosB。故B选项正确。
C、因为sinA=，所以a=c·sinA，而C选项中是b=c·sinA，故C选项错误。
D、因为tanB=，所以b=a·tanB，而D选项中是b=，故D选项错误。
故答案为：B．
【分析】sin正弦函数=对边比斜边，cos余弦=邻边比斜边，tan正切=对边比邻边。在直角三角形中，∠C为直角，B和A点对边分别为b和a。则sinA=，sinB=，cosA=，cosB=，tanA=，tanB=。
3．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝，CE＝1，则弧BD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】连接OC．
∵△ACE中，AC＝2，AE，CE＝1，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD．
∵sinA，∴∠A＝30°，∴∠COE＝60°，∴sin∠COE，即，解得：OC．
∵AE⊥CD，∴，∴．
故答案为：B．
【分析】先求出∠A＝30°，再利用圆周角的性质可得∠COE＝60°，最后利用弧长公式可得。
4．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于 ，
由题意得，
点的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
当直线 与 相切时， 的面积最小，
是切线，点 是切点，
作 于
故答案为：D.
【分析】设直线x= - 5交x轴于K ， 可知KD=CF=5 ，根据题意推出D点的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，则当直线AD与OK相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H，利用三角函数的定义和勾股定理求出EH的值，最后根据三角函数的定义计算即可.
5．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i= ：1，若大树CD的高为8 米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，
∵∠DBC=60°，CD=8 ，
∴BD= = =16，
∵AB的坡度i=tan∠ABQ= ，
∴∠ABQ=∠EAB=60°，
∴∠ABD=60°，
∴PD=BDsin∠ABD=16× =8 ，BP=BDcos∠ABD=16× =8，
∵∠EAD=15°，
∴∠DAP=∠BAE﹣∠EAD=45°，
∴PA=PD=8 ，
则AB=AP+BP=8 +8，
∴AQ=ABcos∠ABQ=（8+8 ）× =4 +12≈19，
故答案为：B．
【分析】过点D作DP⊥AB于点P，作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，利用解直角三角形求出BD的长，利用坡度的定义，可求出∠ABQ=60°，再推出∠ABD=60°，利用解直角三角形求出PD、BP的长，然后证明PA=PD，根据AB=AP+BP，求出AB的长，再由AQ=ABcos∠ABQ，可求出结果。
6．某河堤的横断面如图所示，堤高BC= 5m，迎水坡AB的坡比是1：2，则AC的长是（ ）
A．5 m B．10m C．15m D．20m
【答案】B
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：2，
∴
解之：AC=10.
故答案为：B.
【分析】利用坡比的定义可知，代入计算求出AC的长.
7．已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（ ）
A．α=β B．α+β=90° C．α﹣β=90° D．β﹣α=90°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，
sinα=cos（90°﹣α）=cosβ，
∴α+β=90°，
故选：B．
【分析】根据α、β都是锐角，sinα=cosβ，可得α、β互为余角．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，根据勾股定理得，
AB===13，
∴sinB==.
故答案为：D.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据三角函数的概念进行计算.
9．如图，一段与水平面成30°角的斜坡上有两棵树，两棵树水平距离为，树的高度都是．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（ ）．
A． B．8 C．11 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：
在Rt△ABC中
，即
故答案为：D
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，EB=3，GC=4，∠FEG=60°．∠EGF=45°，则BC的长为（ ）
A． B． C．4+ D．3+4
【答案】A
【解析】【解答】解：过点F作FH⊥EG于点O，交AD于点H，如图，
∴∠EOH=∠GOF=90°，
∵∠EGF=45°，
∴∠OFG=∠OGF=45°，
∴OF=OG，
在正方形ABCD中，
∵FH⊥EG，
∴FH=EG，
∴OH=OE，
∴EH∥FG，
∴△EHO∽△GFO，
∴，
在Rt△EOF中，
设OE=x，
∵∠OEF=60°，
∴tan60°=，
即OF=OE·tan60°=x，
在Rt△GOF中，
∵∠OGF=60°，
∴OG=OF=x，FG==x，
在Rt△EOH中，
∵OH=OE=x，
∴EH==x，
∴=，
即△EHO与△GFO的相似比为：，
∵△AEH∽△CGF，CG=4，
∴，
即，
∴AE=，
又∵EB=3，
∴BC=AB=AE+EB=3+.
故答案为：A.
【分析】过点F作FH⊥EG于点O，交AD于点H，根据三角形内角和及等腰三角形性质可得OF=OG，由正方形的对称性可知FH=EG，OH=OE，EH∥FG，根据相似三角的判定得△EHO∽△GFO，在Rt△EOF中，设OE=x，由锐角三角形函数定义得OF=OG=x，在Rt△GOF中，根据勾股定理得FG=x，在Rt△EOH中，根据勾股定理得EH=x，从而可得△EHO与△GFO的相似比为：=，由相似三角形的性质得，代入数值可求得AE=，由BC=AB=AE+EB即可求得答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在 中， ，点 是斜边 上一点，过点 作 ，垂足为 ，交边 （或边 ）于点 ，设 ，当 的面积为 时， 的值为 .
【答案】 或14
【解析】【解答】解：当点Q在AC上时，如图所示：
，
，
，
解得： 或 （舍去）；
当点Q在BC上时，如图所示：
，
，
，
，
解得： （舍去）或 ；
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当点Q在AC上时，根据三角函数的概念可得PQ=x，由三角形的面积公式可得x的值；当点Q在BC上时，易得BP=16-x，PQ=(16-x)，同理根据三角形的面积公式可得x.
12．（ ﹣1.414）0+（ ）﹣1﹣ +2cos30°= ．
【答案】4﹣2
【解析】【解答】解：原式=1+3﹣3 +2× =4﹣2 ，
故答案为：4﹣2
【分析】原式零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
13．如图，在反比例函数的图像上有一动点A，连接AO并延长交图像的另一分支于点B，在第四象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若，则k的值为 ．
【答案】－6
【解析】【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
由直线AB与反比例函数的对称性可知点A、B关于O点对称，
∴AO＝BO，
又∵AC＝BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴，
∵tan∠CAB＝＝3，
∴CF＝3AE，OF＝3OE，
又∵AE·OE＝||＝，CF·OF＝|k|，
∴|k|＝6，
∴k＝±6，
∵点C在第四象限，
∴k＝－6，
故答案为：－6．
【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，由直线AB与反比例函数的对称性可知点A、B关于O点对称，得出AO＝BO，证出△AOE∽△COF，得出，由正切值得出CF＝3AE，OF＝3OE，即可得出k的值，根据点C在第四象限，即可得解。
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线分别交边BC，AB于点D，E．如果BC=18，tanA= ，那么CD= ．
【答案】5
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=18，tanA= ，
∴AC ，
∴AB ，
cosB ，
∵边AB的垂直平分线交边AB于点E，
∴BE= AB= ．
∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，
∴cosB= ，
∴BD=13，
∴CD=BC﹣BD=18﹣13=5．
故答案为：5．
【分析】解直角三角形求出AC、AB，再在Rt△BDE中求出BD即可解决问题。
15．用科学计数器计算：2×sin15°×cos15°= （结果精确到0.01）.
【答案】0.50
【解析】【解答】解：用科学计算器计算得0.5.
故答案为：0.50.
【分析】首先输入数字2，然后输入sin、15、×、cos15、=即可得到结果.
16．在 和 中， ， ． 将它们叠合在一起， 边 与 重合， 与 相交于点 （如图 1 ， 此时线段 的长是 ． 现将 绕点 按顺时针方向旋转 （如图2， 边 与 相交于点 ， 连结 ， 在旋转 到 的过程中， 线段 扫过的面积是 .
【答案】；
【解析】【解答】解：如图1，过点G作于H，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，
由旋转的性质得：，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即垂直平分，
∵是等腰直角三角形，
∴点在直线上，
连接，是旋转到的过程中任意位置，
则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，
∵，
∴，
∴，
作于N，则，
∴，
过点B作交的延长线于M，则，
∵，，
∴，
∴，
∴线段扫过的面积，
，
，
，
故答案为：，．
【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，然后由求出，进而可得的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，证明是等边三角形，点在直线上，可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在一次联合反潜演习中，军舰A测得潜艇C的俯角为31°；位于军舰A正上方500m的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度（结果保留整数）
（，，，，，，）
【答案】解：过点C作，交BA的延长线于点D，
则即为潜艇C的下潜深度，
根据题意得：，，，
在Rt△ACD中，
∴，
在Rt△BCD中，
∴，
∴
∴
答：潜艇C离开海平面的下潜深度为157m．
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解.
18． 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，
∴+cos2A＝1，
∴cos2A=，
∴cosA=或cosA=（舍去），
即cosA的值为．
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
19．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（ ，结果精确到0.1米）
【答案】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：
在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°
∴AF=DF=21米
在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°
∴EF=DF×tan30°= 米
∴AE=AF+BF= +21≈33.1米．
答：条幅的长AE约是33.1米．
【解析】【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．
20．南安北站设计理念的核心源自南安当地古厝民居，体现了南安古厝“红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊，雕梁画栋皇宫式”的精美与韵味．如图，数学兴趣小组为测量南安北站屋顶BE的高度，在离底部B点26.6米的点A处，用高1.50米的测角仪AD测得顶端E的仰角＝40°．求南安北站屋顶BE的高度（精确到0.1米；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
【答案】解：依题意，BC＝AD＝1.50米，DC＝AB＝26.6米，在Rt△DEC中，tan＝，
∴EC＝DC tan＝26.6×tan40°≈26.6×0.84≈22.34，∴BE＝BC＋CE≈1.5＋22.34≈23.8（米）．
答：南安北站屋顶BE的高度约为23.8米．
【解析】【分析】由题意得BC＝AD＝1.50米，DC＝AB＝26.6米， 由tan＝求出EC，利用BE＝BC＋CE即可求解.
21．如图所示，建筑物 座落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物 在坡顶平地上的一部分影子 米，在斜坡 上的另一部分影子 米，且斜坡 的坡度为 （即 ） 求建筑物 的高度.（结果保留根号）
【答案】解：延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，
∵斜坡 的坡度为 （即 ） ，
∴ ，
∴ ，
∵CF平行地面，
∴∠FCD=30°，
∵当太阳光线与水平线夹角成60°，
∴∠AFB=60°，
∵∠AFC=∠FCD+∠FDC，
∴∠FDC =∠AFC-∠FCD=60°-30°=30°，
∴CF=FD，
∵ ，
∴DG= ，
在Rt△FDG，
∠GFD=∠AFC=60°，
∴GD=FD sin60°，
∴FD= ，
∴CF=FD=5，
∴BF=BC+CF=15+5=20，
在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF= .
【解析】【分析】延长BC交AD于F，过D作DG⊥BC交BC延长线于G，由斜坡 的坡度为 （即 ） 求得 ，两直线平行内错角相等∠FCD=30°，由当太阳光线与水平线夹角成60°，知∠AFB=60°由外角性质可求∠FDC=30°，可证CF=FD，由 可求DG= ，在Rt△FDG∠GFD =60°，可由三角函数GD=FD sin60°，求得CF=FD=5，可求BF= 20，在Rt△ABF中，AB=tan∠AFB×BF= .
22．北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西 45°方向行驶10千米至B地，再沿北偏东 60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C 在 A 地的北偏东 15°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求B，C两地的距离．（运算结果保留根号）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：，，，，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：过点B作，垂足为G，
在中，千米，，
（千米），
在中，，
（千米），
两地的距离为千米．
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据补角可得，再根据边之间关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）过点B作，垂足为G，根据正弦定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
23．某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度（假定该塔与地面垂直），他们在与塔底B在同一水平线上的C处测得塔顶A的仰角为，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
（1）求点D到直线的距离；
（2）求古塔的高度．
【答案】（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为
（2）解：由（1）知，，∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
【解析】【分析】（1）过点D作于点M，根据坡度的定义及tan30°的值，即可求出；
（2）由（1）可知，在和中，分别直角三角形求出AC和．
（1）解：过点D作于点M，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
∴，
∴．
即点D到直线的距离为；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
答：古塔的高度是．
24．如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
，
，
则，
，
在中，，
解得：，
，
．
【解析】【分析】（1）先证明，再证明△BDE∽△CBA即可.
（2）过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出AF，再根据的三角函数值求出BC即可求解．
25．已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点为直线上任意一动点，连接交于点，连接．
当时，求的长；
求的最大值．
【答案】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
，即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
（2）当点在线段上时，如图，过点作于点，
在中，，
设，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，即，
；
当点在的延长线上时，如图，过点作于点，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，舍去，
；
综上所述，的长为或；
设，则，
如图，是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最大值为．
【解析】【分析】（1）连接OD，CD，由AC是⊙O的直径，可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质说明MC=MD，根据等腰三角形性质可得∠MDC=∠MCD，进而可得∠ODM=90°，再利用切线的判定定理证明；
（2）①分点P在线段BC上和点P在CB的延长线上两种情况讨论；②设CP=n，含n的式子表示AP，利用面积法可得CQ AP=AC CP，求得CQ，再运用乘法公式和不等式性质可得64+n2≥16n，即可得出答案．
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