2026年高考数学一轮复习专题课件：利用导数研究函数的零点(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 2026年高考数学一轮复习专题课件：利用导数研究函数的零点(共28张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-12 00:00:00 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
利用导数研究函数的零点
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
题型一 确定零点个数(微专题)
微专题1 数形结合法研究函数的零点
【答案】 当a＞1时，f (x)没有零点；当a＝1或a≤0时，f (x)有唯一的零点；当0＜a＜1时，f (x)有两个零点
研究其单调性及最值，从而讨论a的取值范围，进而得到函数零点的个数．
当x>0时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝1，
而当x>－1时，g(x)>0；当x<－1时，g(x)<0.
当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0.
所以g(x)的大致图象如图所示．
①当a>1时，方程g(x)＝a无解，即f (x)没有零点；
②当a＝1时，方程g(x)＝a有且只有一解，即f (x)有唯一的零点；
③当0④当a≤0时，方程g(x)＝a有且只有一解，即f (x)有唯一的零点．
综上，当a>1时，f (x)没有零点；
当a＝1或a≤0时，f (x)有唯一的零点；
当0【讲评】 此题考查导数的应用，考查了函数的零点的判断方法，利用了数形结合的数学思想，属于中档题．
状元笔记
数形结合法确定函数的零点个数
构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(1)求f (x)的单调区间；
【答案】 (1)见解析
(2)讨论方程f (x)＝1根的个数．
【答案】 (2)见解析
作出h(x)的图象如图．
微专题2 利用函数性质研究函数的零点
已知函数f (x)＝xsin x－1.
【答案】 (1)见解析
【解析】 (1)因为函数f (x)的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f (x)，
所以函数f (x)为偶函数，
(2)证明：函数y＝f (x)在[0，π]上有两个零点．
【答案】 (2)证明见解析
当x∈(m，π]时，有g(x)即f′(x)<0，则f (x)在(m，π]上单调递减，
综上，函数y＝f (x)在[0，π]上有两个零点．
状元笔记
利用函数零点存在定理确定函数的零点个数
先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)，再确定区间端点函数值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【答案】 (1)证明见解析
易知h′(x)在区间(0，＋∞)单调递增，
又h′(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
则h(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，原不等式得证．
(2)判断f′(x)的零点个数．
【答案】 (2)2
【解析】 (2)f′(x)＝(2x－1)ln x－1(x>0)，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ln x－＋2，
易知g′(x)在区间(0，＋∞)单调递增，
所以g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，
题型二 由函数零点的个数求参数的取值范围
(1)当a＝0时，求f (x)的最大值；
【答案】 (1)－1
若x∈(0，1)，f′(x)>0，f (x)单调递增；
若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f (x)单调递减，所以f (x)max＝f(1)＝－1.
(2)若f (x)恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】 (2)(0，＋∞)
若x∈(0，1)，f′(x)>0，f (x)单调递增，
若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f (x)单调递减，
所以f (x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f (x)不存在零点；
零点，即0综上，若f (x)恰有一个零点，a的取值范围为(0，＋∞)．
状元笔记
已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法
思考题3 (2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f (x)＝ (x>0)．
(1)当a＝2时，求f (x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】 (2)(1，e)∪(e，＋∞)
【解析】 (2)曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
当00，函数g(x)单调递增，
当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
利用导数研究函数的零点
2026年高考数学一轮复习专题课件★★
题型一 确定零点个数(微专题)
微专题1 数形结合法研究函数的零点
【答案】 当a＞1时，f (x)没有零点；当a＝1或a≤0时，f (x)有唯一的零点；当0＜a＜1时，f (x)有两个零点
研究其单调性及最值，从而讨论a的取值范围，进而得到函数零点的个数．
当x>0时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)>0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)＝1，
而当x>－1时，g(x)>0；当x<－1时，g(x)<0.
当x→－∞时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→0.
所以g(x)的大致图象如图所示．
①当a>1时，方程g(x)＝a无解，即f (x)没有零点；
②当a＝1时，方程g(x)＝a有且只有一解，即f (x)有唯一的零点；
③当0
综上，当a>1时，f (x)没有零点；
当a＝1或a≤0时，f (x)有唯一的零点；
当0
状元笔记
数形结合法确定函数的零点个数
构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
(1)求f (x)的单调区间；
【答案】 (1)见解析
(2)讨论方程f (x)＝1根的个数．
【答案】 (2)见解析
作出h(x)的图象如图．
微专题2 利用函数性质研究函数的零点
已知函数f (x)＝xsin x－1.
【答案】 (1)见解析
【解析】 (1)因为函数f (x)的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f (x)，
所以函数f (x)为偶函数，
(2)证明：函数y＝f (x)在[0，π]上有两个零点．
【答案】 (2)证明见解析
当x∈(m，π]时，有g(x)
综上，函数y＝f (x)在[0，π]上有两个零点．
状元笔记
利用函数零点存在定理确定函数的零点个数
先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)，再确定区间端点函数值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
【答案】 (1)证明见解析
易知h′(x)在区间(0，＋∞)单调递增，
又h′(1)＝0，所以当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，
则h(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，
所以h(x)≥h(1)＝0，原不等式得证．
(2)判断f′(x)的零点个数．
【答案】 (2)2
【解析】 (2)f′(x)＝(2x－1)ln x－1(x>0)，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2ln x－＋2，
易知g′(x)在区间(0，＋∞)单调递增，
所以g(x)在区间(0，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，
题型二 由函数零点的个数求参数的取值范围
(1)当a＝0时，求f (x)的最大值；
【答案】 (1)－1
若x∈(0，1)，f′(x)>0，f (x)单调递增；
若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f (x)单调递减，所以f (x)max＝f(1)＝－1.
(2)若f (x)恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】 (2)(0，＋∞)
若x∈(0，1)，f′(x)>0，f (x)单调递增，
若x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，f (x)单调递减，
所以f (x)max＝f(1)＝a－1<0，所以f (x)不存在零点；
零点，即0
状元笔记
已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法
思考题3 (2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f (x)＝ (x>0)．
(1)当a＝2时，求f (x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】 (2)(1，e)∪(e，＋∞)
【解析】 (2)曲线y＝f (x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
当0
当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
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