2026年高考数学一轮复习专题课件：导数的概念与运算(共62张PPT)

(共62张PPT)
导数的概念与运算
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
导数的概念
(1)平均变化率：对于函数y＝f (x)，我们把比值 ＝_____________________称为函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
回归教材
(2)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数：函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是___________________________，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处
(3)导函数：对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f (x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝y′＝_________________________．
导数的几何意义
函数f (x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f (x)在点________________处的切线的斜率，即曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_________________________．
P(x0，f (x0))
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
基本初等函数的导数公式
(1)c′＝_____ (c为常数)；
(2)(xα)′＝_____ (α∈Q，且α≠0)；
(3)(sin x)′＝________；
(4)(cos x)′＝____________；
(5)(ax)′＝______________ (a>0，且a≠1)；
(6)(ex)′＝_______；
(7)(logax)′＝_____________ (a>0，且a≠1)；
(8)(ln x)′＝_______________．
0
α·xα－1
cos x
－sin x
axln a
ex
导数的四则运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f (x)±g(x)]′＝_______________；
[f (x)g(x)]′＝____________________；
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)
cf′(x)
复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
y′u·u′x
常用结论
(1)区分在点处的切线与过点的切线
①在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
②过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．
答案　(2)×　
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
答案　(3)√　
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．
答案　(4)×　
答案　(5)×　
(6)(3x)′＝3xlog3e.
答案　(6)×　
答案　(7)√
2．(课本习题改编)计算：
(1)(xex)′＝______；
(2)(sin x·cos x)′＝________；
ex＋xex
cos 2x
4．(2020·课标全国Ⅰ，文)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．
y＝2x
5．设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为_____________．
题型一　 导数的概念
3
－3
3
(2)已知函数f (x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f (x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f(1)＝________．
【解析】　∵f (x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
(3)(2025·沧州七校联考)一个港口的某一观测点在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝ ，当t＝3时，水面下降的速度为(　　)
√
状元笔记
导数定义的探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断当Δx→0时该函数的平均变
(3)在导数定义中，x在x0处的变化量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题时要将分子分母中变化量统一为一种．
题型二　 导数的运算
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
【答案】　(1)y′＝24x3＋9x2－16x－4
【解析】　(1)方法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，所以y′＝24x3＋9x2－16x－4.
方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)y＝x2sin x；
【答案】　(2)y′＝2xsin x＋x2cos x
【解析】　(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
状元笔记
导数的计算方法
(1)连乘形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(5)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
思考题1　求下列函数的导数：
(1)y＝3xex－2x＋e；
【答案】　(1)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2
【解析】　(1)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(2)y＝tan x；
(4)y＝2x＋ln(1－5x)；
题型三　 导数的几何意义(微专题)
微专题1　求切线方程
已知函数f (x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线的方程；
【答案】　(1)y＝13x－32　
【解析】　(1)f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)求曲线y＝f (x)经过原点的切线方程及切点坐标；
【答案】　(2)y＝13x，(－2，－26)　
【解析】　 (2)方法一：设切点为(x0，y0)，切线为l，
则切线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，
∴切线l的方程为y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.
又∵切线l过点(0，0)，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，
整理得x03＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，
故切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二：设切线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x0，y0)，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13，
∴切线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)求满足斜率为4的曲线的切线方程及切点坐标．
【答案】　(3)见解析
(3)设切点的坐标为(x1，y1)，
则f′(x1)＝3x12＋1＝4，
故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14，切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)求曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f (x1))；
第二步，写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y－f (x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f (x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
√
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为______________，_______________．
(3)(2025·全国统一考试模拟题)已知函数 的图象关于坐标原点对称，则曲线y＝g(x)在x＝－1处的切线方程为_________．
y＝3x＋1
【解析】　依题意，函数f (x)为奇函数，当x<0时，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋ln(－x)，即f (x)＝－x2－ln(－x)＝g(x)＋1，所以g(x)＝－x2－ln(－x)－1，g′(x)＝－2x－ ，所以g′(－1)＝3，又g(－1)＝－2，所以切线方程为y－(－2)＝3(x＋1)，即y＝3x＋1.
微专题2　求切点坐标及参数值
(1)已知曲线f (x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(－1，3)
C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)
√
【解析】　设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为 ，∴f′(x0)＝3x02－1＝2，
∴x02＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f (x)上，∴y0＝x03－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)．
(2)直线y＝kx＋1与曲线f (x)＝aln x＋b相切于点P(1，2)，则2a＋b等于________．
4
【解析】　由直线y＝kx＋1与曲线f (x)＝aln x＋b相切于点P(1，2)，
将P(1，2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，
解得a＝1，可得f (x)＝ln x＋b，
∵P(1，2)在曲线f (x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
状元笔记
　解决曲线切线问题的关键
利用导数几何意义求解曲线过某一点的切线方程、已知直线与曲线相切求切点坐标及参数值等问题时，关键是设出切点坐标，然后通过切点处的导数就是斜率、点在曲线上、点在切线上等建立方程(组)进行求解．
思考题3　(1)(2025·衡水中学调研卷)设a∈R，函数f (x)＝ex＋ 是偶函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为________．
ln 2
【解析】　由f (x)为偶函数，易得a＝1.
∴f (x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝ ，解得x0＝ln 2.
(2)已知a>0，b>0，直线y＝x＋a与曲线y＝ex－b相切，则a＋b的值是________．
1
【解析】　根据题意，设直线y＝x＋a与曲线y＝ex－b的切点为(x0，y0)，
因为y′＝(ex－b)′＝ex－b，直线y＝x＋a的斜率为k＝1，
所以k＝1＝ex0－b，y0＝x0＋a，y0＝ex0－b，所以x0＝b，y0＝1，a＋b＝1.
微专题3　曲线的公切线问题
(1)(2025·四川绵阳模拟)若曲线f (x)＝ 与曲线g(x)＝ax2(a>0)有公共点，且在公共点处有公切线，则实数a＝________．
(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．
1－ln 2
【解析】　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2相切于点(x1，ln x1＋2)，与曲线y＝ln(x＋1)相切于点(x2，ln(x2＋1))，则切线分别为y－(ln x1＋2)＝
状元笔记
处理与公切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出方程(组)并解出参数，建立方程(组)的依据主要是：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上．
思考题4　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________．
ln 2
【解析】　由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln(x＋1)＋a得y′＝ ，
设切线与曲线y＝ln(x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln(x0＋1)＋a)，
根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
题型四　 导数几何意义的综合应用
(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
【解析】　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)
坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋ (x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
4
(3)(2025·广西模拟)若直线y＝mx＋n是函数f (x)＝x－e－x的图象的切线，则m＋n的最小值为_________________．
令g(x)＝1－xe－x，则g′(x)＝(x－1)e－x，
当x>1时，g′(x)>0；当x<1时，g′(x)<0.
可知g(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，可得
状元笔记
求解过已知点所引得函数对应的曲线的切线的条数问题时，应先设出切点的坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，将已知点的坐标代入切线方程后，将切线的条数转化为关于切点坐标中的参数方程根的个数问题．
思考题5　(1)若过点(m，n)(m>0)可以作两条直线与曲线y＝ ln x相切，则下列选项正确的是(　　)
A．2nln m
C．2m>ln n>0 D．2m√
由题知m>0，若0m，则f′(x)>0，所以f (x)在(0，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增，
所以f (x)min＝f(m)＝ln m＋1，又当x→0时，f (x)→＋∞，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，则2n＋1>ln m＋1，即2n>ln m．故选B.
√
【解析】　设直线y＝kx＋t与曲线切于点(x0，ln(x0＋2))，
设g(x)＝xln x－x＋2，则g′(x)＝ln x，
当01时，g′(x)>0，
即g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1，所以 >1.故选A.
本课总结
求曲线y＝f (x)的切线方程的题型及方法：
1．已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．
2．已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．
3．已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
本课总结
4．若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程：先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．
5．(1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．
(2)过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．