2026年高考数学一轮复习专题课件：导数与函数的极值、最值(共95张PPT)

(共95张PPT)
导数与函数的极值、最值
函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的_________，f(a)叫做函数y＝f (x)的______；b叫做函数y＝f (x)的____________，f(b)叫做函数y＝f (x)的________．极小值点、极大值点统称为_________，极小值和极大值统称为______．
回归教材
极小值点
极小值
极大值点
极大值
极值点
极值
(2)函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f (x)在某一点处的导数值为0是函数y＝f (x)在这点取极值的____________．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：
①____________；
②在x＝x0附近的左侧f′(x)>0(<0)，右侧f′(x)<0(>0)．
(3)利用导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0, 那么f (x0)是__________；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f (x0)是__________．
必要条件
f′(x0)＝0
极大值
极小值
函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
②若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的__________，f(b)为函数在[a，b]上的__________；若函数y＝f (x)在[a，b]上___________，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值．
最小值
最大值
单调递减
(2)设函数y＝f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，当Δ>0时，设x1，x2是方程f′(x)＝0的根，且x1(1)a>0的情况
Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减 在R上是增函数
极值点个数 _____ ______
2
0
(2)a<0的情况
Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减 在R上是减函数
极值点个数 _____ ______
2
0
常用结论
(1)对于可导函数f (x)，f′(x0)＝0是函数f (x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
(2)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
(3)若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．
(4)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
(5)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对可导函数f (x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)函数的极大值不一定比极小值大．
答案　(2)√　
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．
答案　(3)√　
(4)在定义域上单调的函数一定没有极值．
答案　(4)√　
(5)三次函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c最多有两个极值点．
答案　(5)√　
(6)函数f (x)＝xsin x有无数个极值点．
答案　(6)√
2．(课本习题改编)如图是f (x)的导函数f′(x)的图象，则f (x)的极小值点的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
√
解析　由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．已知函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．2或6
√
解析　由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.
4．已知函数f (x)＝ x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为________．
[0，1]
解析　函数f (x)＝ x3－mx2＋mx＋9在R上无极值 f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号零点 Δ＝4m2－4m≤0 0≤m≤1.
5．若函数f (x)＝ x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
4
解析　f′(x)＝x2－4，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f (x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.
题型一　 函数的极值问题(微专题)
微专题1　根据函数图象判断极值
　【多选题】(2025·辽宁锦州开学考试)函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．f(－2)>f(－1)
B．x＝1是f (x)的极小值点
C．函数f (x)在(－1，1)上有极大值
D．x＝－3是f (x)的极大值点
√
√
【解析】　由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，所以函数f (x)单调递增，
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，所以函数f (x)单调递减，因此有f(－2)>f(－1)，x＝－3是f (x)的极大值点，所以A、D正确；
当x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f (x)单调递增，因此函数f (x)在(－1，1)上没有极大值，且x＝1不是f (x)的极小值点，所以B、C不正确．故选AD.
状元笔记
　由导函数图象判断函数y＝f (x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f (x)可能的极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f (x)的单调性，两者结合可得极值点．
√
思考题1　【多选题】设函数f (x)在R上可导，其导函数为f′(x)且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f (x)有极大值f(－2)
B．函数f (x)有极大值f(2)
C．函数f (x)有极小值f(1)
D．函数f (x)有极小值f(2)
√
【解析】　由图可知，当x∈(－∞，－2)时，1－x>0，且(1－x)f′(x)>0，则f′(x)>0，f (x)在区间(－∞，－2)单调递增，
当x∈(－2，1)时，1－x>0，且(1－x)f′(x)<0，则f′(x)<0，f (x)在区间(－2，1)单调递减，
当x∈(1，2)时，1－x<0，且(1－x)f′(x)>0，则f′(x)<0，f (x)在区间(1，2)单调递减，
当x∈(2，＋∞)时，1－x<0，且(1－x)f′(x)<0，则f′(x)>0，f (x)在区间(2，＋∞)单调递增，
所以函数f (x)的极大值为f(－2)，函数f (x)的极小值为f(2)．故选AD.
微专题2　求函数的极值
已知函数f (x)＝(x－2)(ex－ax)，当a>0时，讨论f (x)的极值情况．
【答案】　见解析
【解析】　∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)·(ex－2a)，
由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(2a)(a>0)．
①当a＝ 时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0但不恒为0，
∴f (x)在R上是增函数，故f (x)无极值．
x (－∞，ln(2a)) ln(2a) (ln(2a)，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
故f (x)有极大值f(ln(2a))＝－a[ln(2a)－2]2，极小值f(1)＝a－e.
x (－∞，1) 1 (1，ln(2a)) ln(2a) (ln(2a)，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
故f (x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln(2a))＝－a[ln(2a)－2]2.
状元笔记
求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．
(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f (x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．
思考题2　(2025·河南普通高考适应性测试)已知函数f (x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求a；
【答案】　(1)－3　
(2)求f (x)的单调区间和极值．
【答案】　(2)见解析
【解析】　(2)由a＝－3，知f (x)＝ln x＋x2－3x＋2，
极小值f(1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0.
微专题3　已知极值(点)求参数
(1)(2025·黑龙江大庆市模拟)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝(　　)
A．－7　　　　　　　　 B．0
C．－7或0 D．－15或6
√
【解析】　由函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2有f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
函数f (x)在x＝1处有极小值10.
显然满足函数f (x)在x＝1处有极小值10.
所以函数f (x)在R上单调递增，不满足函数f (x)在x＝1处有极小值10.
所以a＋b＝4－11＝－7.故选A.
(2)【多选题】(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f (x)＝aln x＋ (a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　)
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
√
√
√
根x1，x2，即ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正根x1，x2，∴Δ＝b2＋8ac>0，x1＋x2＝ >0，x1x2＝ >0，∴ab>0，ac<0，则bc<0，选BCD.
状元笔记
由函数极值(个数)求参数的值或范围
讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
已知函数极值(个数)，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
√
(2)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝aln x＋ －x.
①设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f (x)的斜率为2的切线方程；
【答案】　①2x－y－5＝0　
＝0 (x－1)(3x＋2)＝0，解得x＝1(负值舍去)，
又f(1)＝－3，则切点为(1，－3)，结合切线斜率为2，
则切线方程为y＋3＝2(x－1)，即2x－y－5＝0.
②若x＝1是f (x)的极小值点，求b的取值范围．
【答案】　②(1，＋∞)
因为x＝1是f (x)的极小值点，则f′(1)＝－1＋a－b＝0 a＝b＋1，
ⅰ.当b≤0时，x－b>0，令f′(x)＝0 x＝1，
当00，f (x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)在x＝1处取得极大值，舍去．
ⅱ.当b＝1时，f′(x)＝－ ≤0但不恒为零，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (x)不存在极值，舍去．
ⅲ.当00，f (x)单调递增；若x>1，则f′(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)在x＝1处取得极大值，舍去．
ⅳ.当b>1时，若00，f (x)单调递增；若x>b，则f′(x)<0，f (x)单调递减，
此时f (x)在x＝1处取得极小值．
综上，b的取值范围为(1，＋∞)．
题型二　 函数的最值问题(微专题)
微专题1　求函数的最值
(2025·吉林长春模拟)已知函数f (x)＝e2x＋ex－x.
(1)求曲线y＝f (x)在点(0，f(0))处的切线方程；
【答案】　(1)y＝2x＋2　
【解析】　(1)因为f (x)＝e2x＋ex－x，则f′(x)＝2e2x＋ex－1，
可得f(0)＝2，f′(0)＝2，
即切点坐标为(0，2)，切线斜率为k＝2，
所以切线方程为y＝2x＋2.
(2)当x∈[－1，0]时，求函数f (x)的最大值与最小值．
【解析】　(2)由(1)可得f′(x)＝2e2x＋ex－1＝(ex＋1)(2ex－1)，
当x∈[－1，0]时，ex＋1>0，
令f′(x)>0，则2ex－1>0，解得－ln 2令f′(x)<0，则2ex－1<0，解得－1≤x<－ln 2.
所以f (x)在[－1，－ln 2)内单调递减，在(－ln 2，0]内单调递增，
状元笔记
利用导数求函数最值的方法
(1)当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时，这个极小(大)值就是最小(大)值，这种情况下可以直接写出最值．
(2)当函数在一个闭区间内的极值有多个时，就要把这些极值和区间端点处的函数值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法．
思考题4　已知函数f (x)＝ln x－x2.
(1)求函数f (x)的单调递增区间；
(2)求函数f (x)在(0，a](a>0)上的最大值．
【答案】　(2)见解析
微专题2　已知函数的最值求参数
(1)已知函数f (x)＝ln x＋ (a∈R)的最小值为1，则a＝(　　)
√
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)内恒成立，所以函数f (x)在(0，＋∞)内为增函数，此时f (x)无最小值，
当a>0时，由f′(x)>0，得x>a，由f′(x)<0，得0∴函数f (x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，故当x＝a时，f (x)取最小值，
即f (x)min＝f(a)＝ln a＋1＝1，故a＝1.故选D.
√
内存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，0) B．(－5，0)
C．[－3，0) D．(－3，0)
【解析】　由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
当x<－2或x>0时，f′(x)>0；当－2故f (x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，
解得a∈[－3，0)．故选C.
状元笔记
(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数．
思考题5　(1)已知函数f (x)＝ax＋ ＋(a－1)ln x(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________．
1或e
√
(2)已知函数f (x)＝3x2－2ln x＋(a－1)x＋3在区间(1，2)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)
令h(x)＝6x2＋(a－1)x－2，h(0)＝－2<0，
由f (x)＝3x2－2ln x＋(a－1)x＋3在区间(1，2)上有最小值，
则h(x)在区间(1，2)上有一个变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
本课总结
1．函数的最值是“整体”概念，而函数的极值是“局部”概念．
2．对于可导函数f (x)，f′(x0)＝0是f (x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，因为求函数的极值，还需判断x0两侧的f′(x)的符号是否相反．
3．求f (x)的最值应注意是在闭区间上研究，还是在开区间上研究，闭区间上的最值问题只需比较端点函数值与极值即可，开区间上的最值
问题，要注意f (x)的有界性.
一、生活中的优化问题
1．(2025·江苏苏州模拟预测)生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．现已知定义在R上的函数
(a≠0)，记f (x)的导数为f′(x)，且f′(x)＝f (x)[1－f (x)]．
(1)求a；
答案　(1)1　
(2)若y＝K(K>0)是曲线f (x)的渐近线，则称K为该生态系统的K值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其K值为K.通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量(即f (x)瞬时变化率最大)．
要使函数f (x)瞬时变化率最大，
令ex＝t>0，则－t2＋t＝0，
解得t＝0(舍)或t＝1，即x＝0.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表：
x (－∞，0) (0，＋∞)
g′(x) ＋ －
g(x) ? ?
因此可得x＝0是g(x)的极大值点，
因此当x＝0时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，且
2．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x cm.某厂商要求包装盒的容积V(单位：cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当00，V(x)单调递增；
当20所以V(x)在x＝20时取极大值，亦即最大值．
二、重温高考
1．(2023·全国乙卷，文)函数f (x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)　　　　　　　 B．(－∞，－3)
C．(－4，－1) D．(－3，0)
√
解析　f (x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，
若f (x)要存在3个零点，则f (x)要存在极大值和极小值，则a<0，
2．(2022·全国甲卷，理)当x＝1时，函数f (x)＝aln x＋ 取得最大值－2，则f′(2)＝(　　)
√
解析　由题意知，f(1)＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f′(x)＝ (x>0)，因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，
3．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f (x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)
A．ab
C．aba2
√
解析　当a>0时，根据题意画出函数f (x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f (x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.
综上，可知必有ab>a2成立．
4．(2022·全国乙卷，理)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f (x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1解析　由f (x)＝2ax－ex2，得f′(x)＝2axln a－2ex.又x10.若a>1，则当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，不符合题意，所以0(ln a)2.因为f (x)有极小值点x＝x1和极大值点x＝x2，故f′(x)＝0有两个不同的根x＝x1，x＝x2，故g(x)的图象与直线y＝e有两个交点．当x＞0时，g(x)
5．(2021·新高考Ⅰ卷)函数f (x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
1
解析　函数f (x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
当x>1时，f′(x)>0，所以f (x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
6．(2023·全国乙卷，理)已知函数f (x)＝ ln(1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f(1))处的切线方程；
答案　(1)xln 2＋y－ln 2＝0　
据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，
曲线在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，
即xln 2＋y－ln 2＝0.
(2)是否存在a，b，使得曲线y＝ 关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；
(3)若f (x)在(0，＋∞)存在极值，求a的取值范围．
①当a≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0，不符合题意；
三次函数的图象与性质
三次函数的图象、单调性与极值
f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，Δ＝4(b2－3ac)．
三次函数的零点
f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，x1，x2为f′(x)的极值点，且x1(1)1个零点：
(2)2个零点：
(3)3个零点：
三次函数的对称性
(1)三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象的对称中心为
(2)若[f′(x0)]′＝0，则(x0，f (x0))为函数f (x)图象的对称中心．
(3)三次函数y＝f (x)图象的对称中心为(a，b) 函数y＝f (x＋a)－b为奇函数 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
三次函数的切线条数
过三次函数y＝f (x)图象的对称中心作切线l，则坐标平面被切线和函数图象分割为四个区域，如图．
(1)过Ⅰ，Ⅳ内的点作f (x)图象的切线，有3条．
(2)过Ⅱ，Ⅲ内的点作f (x)图象的切线，有1条．
(3)过切线l上的点(除掉对称中心)作f (x)图象的切线，有2条．
√
区间 (m－1，m＋4)上的单调函数，则实数m的值可以是(　　)
A．－4　　　　　　　　　 B．－3
C．3 D．4
√
【解析】　由题意，f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0，解得－12，所以f (x)在(－1，2)上单调递
√
实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－5)∪(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2] D．(－5，－4)
【解析】　f′(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，对于方程f′(x)＝0，Δ＝(m－2)2－4(5－m)>0 m∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)，
设方程f′(x)＝0的两根为x1，x2，由韦达定理，得x1＋x2＝2－m，x1x2＝5－m.
结合m∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)，可得m∈(－5，－4)．故选D.
(3)【多选题】对于三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：f′(x)是函数y＝f (x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称(x0，f (x0))为函数y＝f (x)的“拐点”．某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数f (x)＝ ，则下列说法正确的是(　　)
√
√
√
－3) (x＋2)，令f′(x)>0，解得x<－2或x>3，令f′(x)<0，解得－2由极小值f(3)＝－ <0，且当x→－∞时，f (x)→－∞，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，所以函数f (x)有3个零点，所以B错误；
(4)已知曲线f (x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.若经过点M(2，m)可以作出曲线y＝f (x)的三条切线，则实数m的取值范围为________．
(－6，2)
【解析】　∵f (x)＝ax3＋bx2－3x，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
∴函数的解析式为f (x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3.
设经过点M的切线与曲线相切于点(x0，y0)，则y0＝x03－3x0，f′(x0)＝3x02－3，故切线的斜率为3x02－3，
∵过点M(2，m)可作曲线y＝f (x)的三条切线，
∴方程2x03－6x02＋6＋m＝0有三个不同的实数解，
设g(x)＝2x3－6x2＋6＋m，
∴函数g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三个零点．
由于g′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴当x<0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当0当x>2时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
∴当x＝0时，g(x)有极大值，且极大值为g(0)＝m＋6；
当x＝2时，g(x)有极小值，且极小值为g(2)＝m－2.
且当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞.
∵函数g(x)有3个零点，
∴实数m的取值范围是(－6，2)．
思考题　(1)三次函数f (x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是(　　)
A．m<0　　　　　　 B．m<1
C．m≤0 D．m≤1
√
【解析】　因为f (x)是三次函数，所以m≠0，又f (x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f′(x)＝3mx2－1≤0但不恒为0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以 解得m<0.故选A.
√
(2)【多选题】(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f (x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)
A．x＝3是f (x)的极小值点
B．当0C．当1D．当－1f (x)
√
√
【解析】　因为f (x)＝(x－1)2(x－4)，所以f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3，当x<1或x>3时，f′(x)>0，当1当00，即0当1当－10，所以f(2－x)>f (x)，所以D正确．综上，选ACD.
√
(3)【多选题】(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f (x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　)
A．当a>1时，f (x)有三个零点
B．当a<0时，x＝0是f (x)的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f (x)的对称轴
D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f (x)的对称中心
√
【解析】　由题可知，f′(x)＝6x(x－a)．
对于A，当a>1时，由f′(x)<0得00得x<0或x>a，则f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f (x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1<0，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，故f (x)有三个零点，A正确；
对于B，当a<0时，由f′(x)<0得a0得x>0或x对于C，当x→＋∞时，f (x)→＋∞，当x→－∞时，f (x)→－∞，故曲线y＝f (x)必不存在对称轴，C错误；
(4)已知点P(1，m)不在函数f (x)＝x3－3mx的图象上，且过点P仅有一条直线与f (x)的图象相切，则实数m的取值范围为(　　)
√
＋ 4m＝0，令g(t)＝2t3－3t2＋4m，则问题可转化为g(t)＝2t3－3t2＋4m只有一个零点，且g′(t)＝6t2－6t，令g′(t)＝0，可得t＝0或t＝1，当t∈(－∞，0)时，g′(t)>0，则g(t)单调递增，当t∈(0，1)时，g′(t)<0，则g(t)单调递减，当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，则g(t)单调递增，即当t＝0时，g(t)有极大值，当t＝1时，g(t)有极小值，且当t→＋∞时，g(t)→＋∞，当t→－∞时，g(t)→－∞，要使g(t)＝2t3－3t2＋4m仅有一个零点，g(0)·g(1)>0 m<0或m> .故选B.
【解析】　点P(1，m)不在函数f (x)＝x3－3mx的图象上，则f(1)＝1－3m≠m，即m≠ ，设过点P的直线与f (x)＝x3－3mx的图象相切于Q(t，