北师大八年级上册数学期末考试综合复习（原卷+解析卷）
文档属性
| 名称 | 北师大八年级上册数学期末考试综合复习（原卷+解析卷） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-13 13:39:49 | ||
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文档简介
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北师大八年级上册数学期末考试综合复习
一．选择题（共13小题）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
3．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为55m2，则其边长介于（ ）
A．6m和7m之间 B．7m和8m之间
C．8m和9m之间 D．9m和10m之间
4．的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．8 B．0 C．0或8 D．2或6
5．点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，6）
6．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．△ABC的三个外角度数之比是3：4：5
B．在△ABC中，∠B+∠A＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．在△ABC中，∠A与∠B都是锐角
7．若点M（1，y1），N（﹣1，y2）都在直线y＝2x+b上，则下列大小关系成立的是（ ）
A．y1＞y2＞b B．y2＞y1＞b C．y2＞b＞y1 D．y1＞b＞y2
8．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
9．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
11．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4）
13．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①∠E+∠DCF＝90°+∠ABD；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共16小题）
14．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为 ．
15．解关于x，y的方程组，当解满足方程4x﹣6y＝21时，k值为 ．
16．若最简二次根式和能合并，则x的值为 ．
17．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
18．某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示：
项目 题目分析 解法讲解 题目拓展
成绩 90 80 90
若按照题目分析占40%，解法讲解占40%，题目拓展占20%来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ．
19．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ．
20．在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，方差分别是（米2），（米2），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是 ．
21．直线y＝x+k与坐标轴围成的三角形面积为1，则k＝ ．
22．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ ．
23．已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简 ．
24．已知一次函数y＝ax+1（a为常数，且a≠0），若当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，则a的值为 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），OA＝OB，∠AOB＝90°，则点A的坐标是 ．
26．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别；xcm，ycm，则可列方程组 ．
27．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为 ．
28．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
29．小林同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为2.5cm，交重叠部分的圆的直径为0.8cm，如图所示，如果n节链条的总长度是ycm，那么y与n之间的关系式为 ．
三．解答题（共18小题）
30．计算：
（1）；
（2）．
31．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）求x的值：（x﹣2）3+8＝0．
32．已知：y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标．
33．一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段OP、QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求QR所在直线的表达式．
（2）出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？
（3）小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离．
34．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
35．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
36．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
37．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 ，点D的坐标是 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线1垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当S△ABP＝6时，求点P的坐标；
②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点C的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
40．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
41．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是∠BAC的平分线，BF是∠ABC的平分线，AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求∠AOB的度数．
42．双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是 分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是 分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
43．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝ 度，∠P＝ 度．
（2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ．
44．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）直接写出：甲出发 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 千米/时．
（2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
（3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
46．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
47．【模型建立】
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若OB＝2，OC＝1，请解答下列问题：
①点C的坐标是 ，点A的坐标是 ；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标： ；
（2）如图3，已知直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
北师大八年级上册数学期末考试综合复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B D C D D C D D B
题号 12 13
答案 A D
一．选择题（共13小题）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，然后再根据最简二次根式进行判断即可．
【解答】解：A.，故选项A不符合题意；
B.是最简二次根式，故选项B符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质与化简，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键．
2．的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到1的大小即可．
【解答】解：∵56，
∴41＜5，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
3．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为55m2，则其边长介于（ ）
A．6m和7m之间 B．7m和8m之间
C．8m和9m之间 D．9m和10m之间
【分析】先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围．
【解答】解：设正方形边长为a，
∵正方形花坛的面积为55m2，
∴a2＝55，
∴，
∵72＝49，82＝64，且49＜55＜64，
∴，
∴正方形边长介于7m和8m之间，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根的估算，掌握以上知识点是解答本题的关键．
4．的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．8 B．0 C．0或8 D．2或6
【分析】分别求得x、y的值后相加即可求得答案．
【解答】解：的平方根是x，64的立方根是y，
∴x＝±2，y＝4，
∴x+y＝2+4＝6或x+y＝﹣2+4＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的知识，解题的关键是正确地求得x和y的值，难度不大．
5．点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，6）
【分析】先根据题意确定点的坐标的绝对值，再根据点M在第二象限判断即可．
【解答】解：∵点M距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴|y|＝6，|x|＝3，
∵点M在第二象限，
∴M点的坐标为（﹣3，6），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．在y轴左侧，在x轴的上侧，即点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正．
6．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．△ABC的三个外角度数之比是3：4：5
B．在△ABC中，∠B+∠A＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．在△ABC中，∠A与∠B都是锐角
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、∵△ABC的三个外角度数之比是3：4：5，∴△ABC的一个外角度数为，∴△ABC的一个内角是90°，故是直角三角形，故不符合题意；
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形，故不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C90°，是直角三角形，故不符合题意；
D、∵∠A与∠B都是锐角，无法得出∠C是否是直角，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
7．若点M（1，y1），N（﹣1，y2）都在直线y＝2x+b上，则下列大小关系成立的是（ ）
A．y1＞y2＞b B．y2＞y1＞b C．y2＞b＞y1 D．y1＞b＞y2
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵一次函数的k＝2＞0，
∴一次函数y随x的增大而增大，当x＝0时，y＝b，
∵﹣1＜0＜1，
∴y1＞b＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
【分析】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案．
【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠变换的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质等，解题的关键是证明△BMN≌△B'MN．
9．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a＝8，继而求得b＝25，然后代入求值即可．
【解答】解：根据题意知：a﹣8≥0且8﹣a≥0，
解得a＝8．
所以b＝25．
所以2+5＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，立方根和实数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数．
【解答】解：∵数轴上点A所表示的数为a，图中的直角三角形的两直角边为1和2，
由勾股定理得斜边长为：，
∴点A所表示的数为：．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＞0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后矛盾，所以A不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后一致，所以B符合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＞0，m、n前后矛盾，所以C不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＞0，m＞0，m、n前后矛盾，所以D不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4）
【分析】根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴把y＝8代入y＝x+4得x＝4，
∴m＝4，
∴二元一次方程组的解为，
∵二元一次方程组的解就是两个一次函数y＝kx+b和y＝x+4图象的交点坐标，
∴直线y＝kx+b与直线y＝x+4相交于点P的坐标为：（4，8），
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①∠E+∠DCF＝90°+∠ABD；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A，即可判定③；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的性质可判定④；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定②；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠ABD即可判定①．
【解答】解：由条件可知，∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣∠A）
＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A，
故③正确，符合题意；
由条件可知，∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A，
∴∠D∠A，
故④正确，符合题意；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠ECB（180°+∠A）＝90°∠A，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝90°∠A，
故②正确，符合题意；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
故①正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键．
二．填空题（共16小题）
14．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为 4或100 ．
【分析】先根据2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，列出关于m的一元一次方程，解方程求出m，再求出其中的一个平方根，最后平方得到a的值．
【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，
∴2m﹣4+3m﹣1＝0或2m﹣4＝3m﹣1，
5m＝5或﹣m＝3，
m＝1或﹣3，
当m＝1时，2m﹣4＝2×1﹣4＝﹣2，
当m＝﹣3时，2m﹣4＝2×（﹣3）﹣4＝﹣6﹣4＝﹣10，
∴a＝（﹣2）2＝4或a＝（﹣10）2＝100，
故答案为：4或100．
【点评】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，解题的关键熟练掌握平方根的定义．
15．解关于x，y的方程组，当解满足方程4x﹣6y＝21时，k值为 1 ．
【分析】先求出方程组的解，再代入方程4x﹣6y＝21中即可求出k的值．
【解答】解：解关于x，y的方程组，得，
∵此方程组的解满足方程4x﹣6y＝21，
∴，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
16．若最简二次根式和能合并，则x的值为 ．
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再根据最简二次根式和同类二次根式可得：2x+1＝2，解一元一次方程即可得出答案．
【解答】解：∵，最简二次根式和能合并，
∴和是同类二次根式，
∴2x+1＝2，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键．
17．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 两角互余的三角形为直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．即两角互余的三角形为直角三角形．
故答案为：两角互余的三角形为直角三角形．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，正确记忆两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题关键．
18．某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示：
项目 题目分析 解法讲解 题目拓展
成绩 90 80 90
若按照题目分析占40%，解法讲解占40%，题目拓展占20%来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 86 ．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：该选手的综合成绩为：90×40%+80×40%+90×20%＝86，
故答案为：86．
【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
19．一组数据5，2，5，7，6的方差为 2.8 ．
【分析】先求出这组数据的平均数为5，然后利用方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵数据5，2，5，7，6的平均数为：（5+2+5+7+6）÷5＝5，
∴这组数据的方差S2[（5﹣5）2+（5﹣2）2+（5﹣5）2+（5﹣7）2+（5﹣6）2]2.8．
故答案为：2.8．
【点评】此题主要考查了方差，熟练掌握方差的计算公式是解决问题的关键．
20．在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，方差分别是（米2），（米2），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案．
【解答】解：在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，\
（米2），（米2），
∴，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21．直线y＝x+k与坐标轴围成的三角形面积为1，则k＝ ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：在函数y＝x+k中，当x＝0时，y＝k；当y＝0时，x＝﹣k，
∵直线y＝x+k与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴k2＝1，
∴k．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
22．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 3 ．
【分析】根据题意把代入方程bx﹣4y＝4中求出b的值，把代入方程ax+3y＝9中求出a的值，然后计算a+b即可．
【解答】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4，
解得b＝2，
把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9，
解得a＝1，
∴a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
23．已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简 b﹣a ．
【分析】由数轴易得b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，那么a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，然后利用二次根式及绝对值的性质，立方根的定义化简并计算即可．
【解答】解：由数轴可得b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，
那么a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+（﹣b﹣c）+b
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c+b
＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
【点评】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．
24．已知一次函数y＝ax+1（a为常数，且a≠0），若当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，则a的值为 2或﹣4 ．
【分析】可分当a＞0时和当a＜0时，进而分类求解即可．
【解答】解：一次函数y＝ax+1（a为常数，且a≠0）中，
当a＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，一次函数y＝ax+1有最大值5，即2a+1＝5，
解得a＝2；
当a＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣1时，一次函数y＝ax+1有最大值5，即﹣a+1＝5，
解得a＝﹣4；
故答案为：2或﹣4．
【点评】本题主要考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），OA＝OB，∠AOB＝90°，则点A的坐标是 （﹣1，3） ．
【分析】分别过点A和点B作x轴的垂线，借助于全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【解答】解：分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
∴∠AMO＝∠ONB＝90°．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BON＝∠OAM．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴AM＝ON，MO＝NB．
∵点B的坐标为（3，1），
∴AM＝ON＝3，MO＝NB＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别；xcm，ycm，则可列方程组 ．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是正确列出二元一次方程组的关键．
27．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为 ﹣1 ．
【分析】由题意得出，据此知m+n＝﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意知，，
则4m+4n＝﹣4，
∴m+n＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是得出m+n的值．
28．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
29．小林同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为2.5cm，交重叠部分的圆的直径为0.8cm，如图所示，如果n节链条的总长度是ycm，那么y与n之间的关系式为 y＝1.7n+0.8 ．
【分析】由图形可得算式，总结并确定其链条长度规律，可得答案．
【解答】解：由图形可得：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8；
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2；
；
n节链条的总长度为：y＝2.5n﹣0.8（n﹣1）＝1.7n+0.8．
故答案为：y＝1.7n+0.8．
【点评】本题考查了利用图形探索函数关系式，数形结合是解题的关键．
三．解答题（共18小题）
30．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质和立方根的定义进行计算即可；
（2）先把二次根式化成最简二次根式，再利用立方根和绝对值的性质计算开立方和去绝对值符号，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2+（﹣10）
＝4﹣10
＝﹣6；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质、立方根定义和绝对值的性质．
31．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）求x的值：（x﹣2）3+8＝0．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）
＝5﹣2+2﹣1
＝4；
（2）（x﹣2）3+8＝0，
（x﹣2）3＝﹣8，
x﹣2＝﹣2，
x＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
32．已知：y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标．
【分析】（1）根据正比例函数的定义设y﹣2＝kx（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解；
（2）将点M（m，3）的坐标代入函数解析式得到关于m的方程即可求解．
【解答】解：（1）设y﹣2＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得4﹣2＝2k，
解得k＝1，
∴函数解析式是y＝x+2；
（2）∵点M（m，3）在这个函数图象上，
∴把M点的坐标代入y＝x+2得，
m+2＝3，
∴m＝1，
∴M（1，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．
33．一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段OP、QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求QR所在直线的表达式．
（2）出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？
（3）小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离．
【分析】（1）设QR所在直线表达式为：y＝kx+b（k≠0），将点Q（0，720），R（12，0）代入，再求解即可；
（2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案；
（3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可．
【解答】解：（1）小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象为一次函数，设QR所在直线表达式为：y＝kx+b（k≠0），
将点Q（0，720），R（12，0）代入得：
，
解得，
∴QR所在直线表达式为y＝﹣60x+720；
（2）由图象可得小刚行驶速度为v1＝90米/分，
小欣行驶速度v2＝60米/分，
两人相遇时间为：720÷（90+60）＝4.8（分钟），
∴小刚行走4.8分钟后两人相遇；
（3）设A、B两地的距离为s米，
由题意得，
解得s＝396，
答：A、B两地的距离为396米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数解析式．
34．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10﹣x）尺，
根据题意得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
∴折断处离地面4.55尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
35．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
36．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
【解答】解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：75m+30n＝450，
整理得：n＝15m，
∵m、n均为正整数，
∴或，
∴该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为35×2+15×10＝220（元）；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为35×4+15×5＝215（元）；
∵220＞215，
∴最大利润是220元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
37．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 5 ，点D的坐标是 （8，0） ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式和轴对称的性质求解；
（2）根据勾股定理求解；
（3）根据三角形的面积公式求解；
（4）根据全等三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝OA+AD＝8，
∴D（8，0），
故答案为：5，（8，0）；
（2）设C（0，a）（a＜0），
由题意得：BC＝CD，
∴4﹣a，
解得：a＝﹣6，
∴C（0，﹣6）；
（3）设M（0，b），
∵S△MABS△OCD，
∴|4﹣b|×36×8，
解得：b＝12或b＝﹣4，
∴M（0，12）或M（0，﹣4）；
（4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）．
当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F，
∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°，
∴∠OBA＝∠PAF，
∵AB＝AP，
∴△ABO≌△PAF，
∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴P（7，3），
当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G，
同理得：△ABO≌△BP′G，
∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3，
∴OG＝OB+BG＝7，
∴P′（4，7），
当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点，
设AP′的解析式为：y＝kx+b，
则：，
解得：，
∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21，
设BP的解析式为：y＝ax+4，
则：7a+4＝3，
解得：a，
∴BP的解析式为：yx+4，
解方程组得：，
∴P″（3.5，3.5），
∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和全等三角形的性质是解题的关键．
38．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线1垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当S△ABP＝6时，求点P的坐标；
②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b＝4，则直线的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0可求得x＝4，故此可求得点B的坐标；
（2）①由题l垂直平分OB可知OE＝BE＝2，将x＝2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标，设点P的坐标为（2，n），然后依据S△ABP＝S△APD+S△BPD可得到△ABP的面积与n的函数关系式为S△ABP＝2n﹣4；由S△ABP＝6得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；
②分别按PB为直角边且∠PBC＝90°，PB为直角边且∠BPC＝90°，PB为斜边且点C在PB右侧，PB为斜边且点C在PB左侧四种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），将点A的坐标代入得：b＝4，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+4．
直线AB：y＝﹣x+4交x轴于点B，
当y＝0时，得：﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B（4，0）；
（2）①直线1垂直平分OB交AB于点D，
∴OE＝BE＝2．
当x＝2时，得：y＝﹣2+4＝2．
∴点D（2，2）．
∵点P（2，n），
∴PD＝n﹣2．
∵S△ABP＝S△APD+S△BPD，S△ABP＝6，
∴6，
解得：n＝5．
∴点P（2，5）；
②存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形；点C的坐标为（9，2）、（7，7）、（5.5，3.5）、（0.5，1.5）．理由如下：
△PBC为等腰直角三角形时，分四种情况讨论：
如图1，△PBC为等腰直角三角形，PB为直角边，作BC⊥PB于点B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∴∠MBC+∠PBE＝90°，
∵CM⊥x轴，
∴∠MBC+∠C＝90°，
∴∠PBE＝∠C，
在△BCM和△EPB中，
，
∴△BCM≌△EPB（AAS），
∴CM＝BE＝2，BM＝PE＝5，
∴OM＝9，
∴点C的坐标为（9，2）；
如图2，△PBC为等腰直角三角形，PB为直角边，作CP⊥PB于点P，过点C作CM⊥l，垂足为M，连接BC，
∴PC＝PB，∠BPC＝90°，
∴∠MPC+∠EPB＝90°
∵CM⊥l，
∴∠MPC+∠MCP＝90°，
∴∠EPB＝∠MCP，
在△PCM和△EPB中，
，
∴△PCM≌△EPB（AAS），
∴CM＝PE＝5，PM＝BE＝2，
∴EM＝7，
∴点C的坐标为（7，7）；
如图3，△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N，
设点C（p，q），
∴PC＝CB，∠PCM+∠NCB＝90°，
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC＝∠CNB＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°，
∴∠MPC＝∠NCB，
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN，PM＝CN，
∵P（2，5），B（4，0），直线l：x＝2，
∴，
解得，
∴点C的坐标为（5.5，3.5）；
如图4，△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N，
设点C（p，q），
∴PC＝CB，∠PCM+∠NCB＝90°，
∵CM⊥l，BN⊥CM延长线于N，
∴∠PMC＝∠CNB＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°，
∴∠MPC＝∠NCB，
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN，PM＝CN，
∵P（2，5），B（4，0），直线l：x＝2，
∴，
解得，
∴点C的坐标为（0.5，1.5）；
综上所述，存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形；点C的坐标为（9，2）、（7，7）、（5.5，3.5）、（0.5，1.5）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质．
39．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠B得AB∥GD，即得∠2＝∠BAD，进而可得∠BAD+∠3＝180°，即可求证；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠H，即得∠H＝∠BAD，即可得∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，进而由∠H﹣∠4＝10°可得∠4＝24°，据此即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝∠BAD，
∴∠H＝∠BAD，（等量代换）
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H﹣∠4＝10°，
∴2∠4+10°＝58°，
∴∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
40．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3即可．
（2）根据∠1+∠4＝90°，想办法求出∠4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4∠ABD＝40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
41．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是∠BAC的平分线，BF是∠ABC的平分线，AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）由三角形高的定义可得∠ADC＝90°，即可得∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解；
（2）利用三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：（1）∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；
（2）∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴，，
∴∠AOB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
42．双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是 88 分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是 90 分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差公式计算，再根据方差的意义分析判断即可．
【解答】解：（1）甲班5名学生的比赛得分中88分的最多，所以众数为88，
乙班的数据按照从小到大的顺序排列：86，87，90，91，96，所以中位数为90；
故答案为：88，90；
（2）甲班的平均数是：（87+93+88+88+94）÷5＝90，
乙班的平均数是：（90+96+87+91+86）÷5＝90，
s甲2＝[（87﹣90）2+（93﹣90）2+（88﹣90）2+（88﹣90）2+（94﹣90）2]÷5＝8.4，
s乙2＝[（90﹣90）2+（96﹣90）2+（87﹣90）2+（91﹣90）2+（86﹣90）2]÷5＝12.4，
∵8.4＜12.4，
∴甲班选手的比赛得分较为整齐．
【点评】本题考查了中位数、平均数和方差等概念以及运用．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．
43．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝ 50 度，∠P＝ 115 度．
（2）∠A与∠P的数量关系为 ∠P∠A＝90° ，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ∠Q＝90°∠A ．
【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由角平分线定义得∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
【应用】由角平分线定义可得∠CBQ＝90°∠ABC，∠BCQ＝90°∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】【探究】
解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP（∠ABC+∠ACB）130°＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：50，115；
（2）∠P∠A＝90°．理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠P（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠P∠A＝90°；
故答案为：∠P∠A＝90°；
【应用】
解：∠Q＝90°∠A．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC，
∠BCQ（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°∠ABC+90°∠ACB）（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠Q（180°﹣∠A）＝90°∠A；
故答案为：∠Q＝90°∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．
44．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）直接写出：甲出发 1 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 50 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 12.5 千米/时．
（2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
（3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长．
【分析】（1）观察图象并根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）分别写出EF段、MN段对应的函数关系式，根据二人相遇时行驶的路程之和为A、B两地之间的距离列关于t的一元一次方程并求解即可；
（3）将二人之间的距离不超过5千米的时间段加起来即可．
【解答】解：（1）甲出发2﹣1＝1（小时）后，乙才开始出发；乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（千米/时）；甲骑自行车在全程的平均速度为50÷（5﹣1）＝12.5（千米/时）．
故答案为：1，50，12.5．
（2）EF段的速度为（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（千米/时），则对应的函数关系式为S＝20+10（t﹣2）＝10t，
MN段对应的函数关系式为S＝50（t﹣2）＝50t﹣100，
当二人相遇时，得10t+50t﹣100＝50，
解得t＝2.5，
2.5﹣1＝1.5（小时）．
答：甲出发1.5小时后与乙在途中相遇．
（3）乙到达A地后休息半小时原路返回B地的图象（对应线段PQ）如图所示：
二人第一次相遇前，相距5千米时，得10t+50t﹣100+5＝50，
解得t，
二人第一次相遇后至乙到达A地前，相距5千米时，得60（t﹣2.5）＝5，
解得t，
由题意可知，当t时，二人之间的距离不超过5千米，
（小时）；
当t＝3+0.5＝3.5时乙休息结束并开始返回A地，当t＝3.5+1＝4.5时乙返回到A地，
乙返回B地过程中离A地距离为50（t﹣3.5）＝50t﹣175，这个过程中当二人之间的距离不超过5千米时，得|50t﹣175﹣10t|≤5，
解得t，
由题意可知，当t≤5时，二人之间的距离不超过5千米，
5（小时）；
（小时）．
答：甲乙两人能够通讯的最大时长为小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，A（﹣2，0），yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，D（10，0），AD＝10+2＝12， 4＝10，即可求解；
②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线yx+b过点C，
4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
46．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先求得C（1，3），再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式；
（2）设D（m，0），则，N（m，3m），分两种情况：当m＜1时，，当m＞1时，，分别根据MN＝2建立方程求解即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），利用勾股定理可得AC，设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，分三种情况：当AE＝AC时，当AC＝CE时，当EA＝EC时，分别求出点E的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1，
∴C（1，3），
设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、C（1，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线l1的解析式为；
（2）设D（m，0），则，N（m，3m），
如图2，当m＜1时，，
∵MN＝2，
∴，
解得：，
∴；
当m＞1时，，
∵MN＝2，
∴，
解得：，
∴D；
综上所述，点D的坐标为或；
（3）存在．理由如下：
如图3，过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），
∴AH＝3﹣1＝2，CH＝3，
在Rt△ACH中，，
设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，
当AE＝AC时，，
解得：或，
∴或；
当AC＝CE时，
∵CH⊥x轴，即CE⊥AE，
∴AH＝EH，即AE＝2AH＝4，
∴E（﹣1，0）；
当EC＝EA时，（x﹣1）2+32＝（3﹣x）2，
解得：，
∴，
综上所述，点E的坐标为或或（﹣1，0）或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
47．【模型建立】
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若OB＝2，OC＝1，请解答下列问题：
①点C的坐标是 （1，0） ，点A的坐标是 （3，1） ；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标： （2，0）或（﹣1，0） ；
（2）如图3，已知直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【分析】【模型建立】根据同角的余角相等可证∠BCE＝∠CAD，从而利用AAS可证△BEC≌△CDA；
（1）①由OC＝1得点C的坐标是（1，0），由【模型建立】得△BOC≌△CDA，得AD＝OC＝1，CD＝OB＝2，则OD＝OC+CD＝3，即可得点A的坐标是（3，1）；
②可求出S△AOM＝S四边形﹣S△AOB＝1，可得OM＝2或1，即可得出点M的坐标；
（2）过点B作BF⊥l2于点F，则△ABF是等腰直角三角形，求得AB＝2，AF＝BF，
设l2的函数解析式为y＝kx+4，则F（a，ka+4），由题意得，
解得：或，进而得到直线l2的函数解析式．
【解答】【模型建立】证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（1）解：①∵OC＝1，
∴点C的坐标是（1，0），
由【模型建立】得△BOC≌△CDA，
∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点A的坐标是（3，1）；
故答案为：（1，0），（3，1）；
②如图2，当M在x轴正半轴时，连接OA，
∵点A的坐标是（3，1），OB＝2，
S△AOB2×3＝3，
∴S△OAM＝S四边形﹣S△AOB＝4﹣3＝1，
∴OM×1＝1，
OM＝2，
∴M（2，0），
如图2.2，当M在x轴负半轴时，连接OA，
∵点A的坐标是（3，1），OB＝2，
S△AOB2×3＝3，
∴S△OBM＝S四边形﹣S△AOB＝4﹣3＝1，
∴OM OB＝1，
∴OM＝1，
∴M（﹣1，0），
故答案为：（2，0）或（﹣1，0）；
（2）解：过点B作BF⊥l2于点F，
∵将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∵直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴AB2，
∴AF＝BFAB，
设l2的函数解析式为y＝kx+4，则F（a，ka+4），依题意得：
，
解得：或，
∴直线l2的函数解析式为yx+4或y＝﹣3x+4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键．
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北师大八年级上册数学期末考试综合复习
一．选择题（共13小题）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
3．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为55m2，则其边长介于（ ）
A．6m和7m之间 B．7m和8m之间
C．8m和9m之间 D．9m和10m之间
4．的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．8 B．0 C．0或8 D．2或6
5．点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，6）
6．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．△ABC的三个外角度数之比是3：4：5
B．在△ABC中，∠B+∠A＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．在△ABC中，∠A与∠B都是锐角
7．若点M（1，y1），N（﹣1，y2）都在直线y＝2x+b上，则下列大小关系成立的是（ ）
A．y1＞y2＞b B．y2＞y1＞b C．y2＞b＞y1 D．y1＞b＞y2
8．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
9．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
10．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
11．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4）
13．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①∠E+∠DCF＝90°+∠ABD；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共16小题）
14．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为 ．
15．解关于x，y的方程组，当解满足方程4x﹣6y＝21时，k值为 ．
16．若最简二次根式和能合并，则x的值为 ．
17．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
18．某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示：
项目 题目分析 解法讲解 题目拓展
成绩 90 80 90
若按照题目分析占40%，解法讲解占40%，题目拓展占20%来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 ．
19．一组数据5，2，5，7，6的方差为 ．
20．在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，方差分别是（米2），（米2），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是 ．
21．直线y＝x+k与坐标轴围成的三角形面积为1，则k＝ ．
22．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ ．
23．已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简 ．
24．已知一次函数y＝ax+1（a为常数，且a≠0），若当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，则a的值为 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），OA＝OB，∠AOB＝90°，则点A的坐标是 ．
26．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别；xcm，ycm，则可列方程组 ．
27．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为 ．
28．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
29．小林同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为2.5cm，交重叠部分的圆的直径为0.8cm，如图所示，如果n节链条的总长度是ycm，那么y与n之间的关系式为 ．
三．解答题（共18小题）
30．计算：
（1）；
（2）．
31．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）求x的值：（x﹣2）3+8＝0．
32．已知：y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标．
33．一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段OP、QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求QR所在直线的表达式．
（2）出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？
（3）小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离．
34．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
35．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
36．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
37．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 ，点D的坐标是 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线1垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当S△ABP＝6时，求点P的坐标；
②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点C的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
40．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
41．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是∠BAC的平分线，BF是∠ABC的平分线，AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求∠AOB的度数．
42．双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是 分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是 分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
43．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝ 度，∠P＝ 度．
（2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ．
44．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）直接写出：甲出发 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 千米/时．
（2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
（3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
46．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
47．【模型建立】
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若OB＝2，OC＝1，请解答下列问题：
①点C的坐标是 ，点A的坐标是 ；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标： ；
（2）如图3，已知直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
北师大八年级上册数学期末考试综合复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B D C D D C D D B
题号 12 13
答案 A D
一．选择题（共13小题）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，然后再根据最简二次根式进行判断即可．
【解答】解：A.，故选项A不符合题意；
B.是最简二次根式，故选项B符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式的性质与化简，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键．
2．的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到1的大小即可．
【解答】解：∵56，
∴41＜5，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
3．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为55m2，则其边长介于（ ）
A．6m和7m之间 B．7m和8m之间
C．8m和9m之间 D．9m和10m之间
【分析】先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围．
【解答】解：设正方形边长为a，
∵正方形花坛的面积为55m2，
∴a2＝55，
∴，
∵72＝49，82＝64，且49＜55＜64，
∴，
∴正方形边长介于7m和8m之间，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根的估算，掌握以上知识点是解答本题的关键．
4．的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．8 B．0 C．0或8 D．2或6
【分析】分别求得x、y的值后相加即可求得答案．
【解答】解：的平方根是x，64的立方根是y，
∴x＝±2，y＝4，
∴x+y＝2+4＝6或x+y＝﹣2+4＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的知识，解题的关键是正确地求得x和y的值，难度不大．
5．点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（﹣6，3） B．（6，﹣3） C．（﹣3，6） D．（3，6）
【分析】先根据题意确定点的坐标的绝对值，再根据点M在第二象限判断即可．
【解答】解：∵点M距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴|y|＝6，|x|＝3，
∵点M在第二象限，
∴M点的坐标为（﹣3，6），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横坐标的绝对值．在y轴左侧，在x轴的上侧，即点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正．
6．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．△ABC的三个外角度数之比是3：4：5
B．在△ABC中，∠B+∠A＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
D．在△ABC中，∠A与∠B都是锐角
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：A、∵△ABC的三个外角度数之比是3：4：5，∴△ABC的一个外角度数为，∴△ABC的一个内角是90°，故是直角三角形，故不符合题意；
B、∵∠B+∠A＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形，故不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C90°，是直角三角形，故不符合题意；
D、∵∠A与∠B都是锐角，无法得出∠C是否是直角，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
7．若点M（1，y1），N（﹣1，y2）都在直线y＝2x+b上，则下列大小关系成立的是（ ）
A．y1＞y2＞b B．y2＞y1＞b C．y2＞b＞y1 D．y1＞b＞y2
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵一次函数的k＝2＞0，
∴一次函数y随x的增大而增大，当x＝0时，y＝b，
∵﹣1＜0＜1，
∴y1＞b＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
8．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（ ）
A．30° B．37° C．54° D．63°
【分析】由折叠的性质，得△BMN≌△B'MN，得∠BMN＝∠B'MN，再求出∠BMN，∠AMN的度数，即可得答案．
【解答】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，
∴△BMN≌△B'MN，
∴∠BMN＝∠B'MN，
∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，
∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，
∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠变换的性质，全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质等，解题的关键是证明△BMN≌△B'MN．
9．已知a，b为实数，且，则的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得a＝8，继而求得b＝25，然后代入求值即可．
【解答】解：根据题意知：a﹣8≥0且8﹣a≥0，
解得a＝8．
所以b＝25．
所以2+5＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，立方根和实数的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
10．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数．
【解答】解：∵数轴上点A所表示的数为a，图中的直角三角形的两直角边为1和2，
由勾股定理得斜边长为：，
∴点A所表示的数为：．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＞0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后矛盾，所以A不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后一致，所以B符合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＞0，m、n前后矛盾，所以C不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＞0，m＞0，m、n前后矛盾，所以D不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
12．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，如图，若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与直线y＝x+4相交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（4，8） B．（3，8） C．（2，8） D．（8，4）
【分析】根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴把y＝8代入y＝x+4得x＝4，
∴m＝4，
∴二元一次方程组的解为，
∵二元一次方程组的解就是两个一次函数y＝kx+b和y＝x+4图象的交点坐标，
∴直线y＝kx+b与直线y＝x+4相交于点P的坐标为：（4，8），
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
13．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的个数有（ ）个．
①∠E+∠DCF＝90°+∠ABD；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A，即可判定③；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的性质可判定④；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定②；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠ABD即可判定①．
【解答】解：由条件可知，∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）
（180°﹣∠A）
＝90°∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°∠A，
故③正确，符合题意；
由条件可知，∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A，
∴∠D∠A，
故④正确，符合题意；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠ECB（180°+∠A）＝90°∠A，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝90°∠A，
故②正确，符合题意；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
故①正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键．
二．填空题（共16小题）
14．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则a为 4或100 ．
【分析】先根据2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，列出关于m的一元一次方程，解方程求出m，再求出其中的一个平方根，最后平方得到a的值．
【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，
∴2m﹣4+3m﹣1＝0或2m﹣4＝3m﹣1，
5m＝5或﹣m＝3，
m＝1或﹣3，
当m＝1时，2m﹣4＝2×1﹣4＝﹣2，
当m＝﹣3时，2m﹣4＝2×（﹣3）﹣4＝﹣6﹣4＝﹣10，
∴a＝（﹣2）2＝4或a＝（﹣10）2＝100，
故答案为：4或100．
【点评】本题考查平方根的定义、互为相反数的两个数和为0，解题的关键熟练掌握平方根的定义．
15．解关于x，y的方程组，当解满足方程4x﹣6y＝21时，k值为 1 ．
【分析】先求出方程组的解，再代入方程4x﹣6y＝21中即可求出k的值．
【解答】解：解关于x，y的方程组，得，
∵此方程组的解满足方程4x﹣6y＝21，
∴，
解得k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
16．若最简二次根式和能合并，则x的值为 ．
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再根据最简二次根式和同类二次根式可得：2x+1＝2，解一元一次方程即可得出答案．
【解答】解：∵，最简二次根式和能合并，
∴和是同类二次根式，
∴2x+1＝2，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，最简二次根式的定义是解题的关键．
17．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 两角互余的三角形为直角三角形 ．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．即两角互余的三角形为直角三角形．
故答案为：两角互余的三角形为直角三角形．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，正确记忆两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题关键．
18．某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示：
项目 题目分析 解法讲解 题目拓展
成绩 90 80 90
若按照题目分析占40%，解法讲解占40%，题目拓展占20%来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为 86 ．
【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：该选手的综合成绩为：90×40%+80×40%+90×20%＝86，
故答案为：86．
【点评】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
19．一组数据5，2，5，7，6的方差为 2.8 ．
【分析】先求出这组数据的平均数为5，然后利用方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵数据5，2，5，7，6的平均数为：（5+2+5+7+6）÷5＝5，
∴这组数据的方差S2[（5﹣5）2+（5﹣2）2+（5﹣5）2+（5﹣7）2+（5﹣6）2]2.8．
故答案为：2.8．
【点评】此题主要考查了方差，熟练掌握方差的计算公式是解决问题的关键．
20．在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，方差分别是（米2），（米2），则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义即方差越小数据越稳定，从而得出答案．
【解答】解：在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，\
（米2），（米2），
∴，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了方差．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21．直线y＝x+k与坐标轴围成的三角形面积为1，则k＝ ．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：在函数y＝x+k中，当x＝0时，y＝k；当y＝0时，x＝﹣k，
∵直线y＝x+k与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴k2＝1，
∴k．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
22．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 3 ．
【分析】根据题意把代入方程bx﹣4y＝4中求出b的值，把代入方程ax+3y＝9中求出a的值，然后计算a+b即可．
【解答】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4，
解得b＝2，
把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9，
解得a＝1，
∴a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
23．已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简 b﹣a ．
【分析】由数轴易得b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，那么a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，然后利用二次根式及绝对值的性质，立方根的定义化简并计算即可．
【解答】解：由数轴可得b＜a＜0＜c，且|b|＞|c|，
那么a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0，
原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+（﹣b﹣c）+b
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c+b
＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
【点评】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．
24．已知一次函数y＝ax+1（a为常数，且a≠0），若当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，则a的值为 2或﹣4 ．
【分析】可分当a＞0时和当a＜0时，进而分类求解即可．
【解答】解：一次函数y＝ax+1（a为常数，且a≠0）中，
当a＞0时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，一次函数y＝ax+1有最大值5，即2a+1＝5，
解得a＝2；
当a＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣1时，一次函数y＝ax+1有最大值5，即﹣a+1＝5，
解得a＝﹣4；
故答案为：2或﹣4．
【点评】本题主要考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3，1），OA＝OB，∠AOB＝90°，则点A的坐标是 （﹣1，3） ．
【分析】分别过点A和点B作x轴的垂线，借助于全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【解答】解：分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
∴∠AMO＝∠ONB＝90°．
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BON＝∠OAM．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴AM＝ON，MO＝NB．
∵点B的坐标为（3，1），
∴AM＝ON＝3，MO＝NB＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．在长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，尺寸如图所标示．设小长方形的长、宽分别；xcm，ycm，则可列方程组 ．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的对边相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：依题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是正确列出二元一次方程组的关键．
27．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为 ﹣1 ．
【分析】由题意得出，据此知m+n＝﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意知，，
则4m+4n＝﹣4，
∴m+n＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是得出m+n的值．
28．如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 ．
【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴x，y的方程组的解为，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
29．小林同学在保养自己的山地自行车时发现，自行车每节链条的长度为2.5cm，交重叠部分的圆的直径为0.8cm，如图所示，如果n节链条的总长度是ycm，那么y与n之间的关系式为 y＝1.7n+0.8 ．
【分析】由图形可得算式，总结并确定其链条长度规律，可得答案．
【解答】解：由图形可得：
2节链条的长度为：2.5×2﹣0.8；
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2；
；
n节链条的总长度为：y＝2.5n﹣0.8（n﹣1）＝1.7n+0.8．
故答案为：y＝1.7n+0.8．
【点评】本题考查了利用图形探索函数关系式，数形结合是解题的关键．
三．解答题（共18小题）
30．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质和立方根的定义进行计算即可；
（2）先把二次根式化成最简二次根式，再利用立方根和绝对值的性质计算开立方和去绝对值符号，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2+2+（﹣10）
＝4﹣10
＝﹣6；
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的性质、立方根定义和绝对值的性质．
31．计算与解方程：
（1）计算：；
（2）求x的值：（x﹣2）3+8＝0．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【解答】解：（1）
＝5﹣2+2﹣1
＝4；
（2）（x﹣2）3+8＝0，
（x﹣2）3＝﹣8，
x﹣2＝﹣2，
x＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
32．已知：y﹣2与x成正比例，且x＝2时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点M（m，3）在这个函数的图象上，求点M的坐标．
【分析】（1）根据正比例函数的定义设y﹣2＝kx（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解；
（2）将点M（m，3）的坐标代入函数解析式得到关于m的方程即可求解．
【解答】解：（1）设y﹣2＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得4﹣2＝2k，
解得k＝1，
∴函数解析式是y＝x+2；
（2）∵点M（m，3）在这个函数图象上，
∴把M点的坐标代入y＝x+2得，
m+2＝3，
∴m＝1，
∴M（1，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．
33．一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段OP、QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象．
（1）求QR所在直线的表达式．
（2）出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？
（3）小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离．
【分析】（1）设QR所在直线表达式为：y＝kx+b（k≠0），将点Q（0，720），R（12，0）代入，再求解即可；
（2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案；
（3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可．
【解答】解：（1）小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象为一次函数，设QR所在直线表达式为：y＝kx+b（k≠0），
将点Q（0，720），R（12，0）代入得：
，
解得，
∴QR所在直线表达式为y＝﹣60x+720；
（2）由图象可得小刚行驶速度为v1＝90米/分，
小欣行驶速度v2＝60米/分，
两人相遇时间为：720÷（90+60）＝4.8（分钟），
∴小刚行走4.8分钟后两人相遇；
（3）设A、B两地的距离为s米，
由题意得，
解得s＝396，
答：A、B两地的距离为396米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数解析式．
34．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10﹣x）尺，
根据题意得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
∴折断处离地面4.55尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
35．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【解答】解：（1）根据勾股定理：
梯子距离地面的高度为：24（米）；
（2）梯子下滑了4米，
即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），
根据勾股定理得：25，
解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】本题考查的是对勾股定理在解直角三角形中的应用，要求熟练掌握．
36．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
【解答】解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：75m+30n＝450，
整理得：n＝15m，
∵m、n均为正整数，
∴或，
∴该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为35×2+15×10＝220（元）；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为35×4+15×5＝215（元）；
∵220＞215，
∴最大利润是220元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
37．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（3，0），B（0，4），点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）AB的长为 5 ，点D的坐标是 （8，0） ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MABS△OCD，求出点M的坐标；
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据两点之间的距离公式和轴对称的性质求解；
（2）根据勾股定理求解；
（3）根据三角形的面积公式求解；
（4）根据全等三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB5，
∵若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，
∴AD＝AB＝5，
∴OD＝OA+AD＝8，
∴D（8，0），
故答案为：5，（8，0）；
（2）设C（0，a）（a＜0），
由题意得：BC＝CD，
∴4﹣a，
解得：a＝﹣6，
∴C（0，﹣6）；
（3）设M（0，b），
∵S△MABS△OCD，
∴|4﹣b|×36×8，
解得：b＝12或b＝﹣4，
∴M（0，12）或M（0，﹣4）；
（4）存在，（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）．
当AB＝AP，∠BAP＝90°时，过P作PF⊥x轴于F，
∵∠AOB＝∠OFP＝∠BAP＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝∠OAB+∠PAF＝90°，
∴∠OBA＝∠PAF，
∵AB＝AP，
∴△ABO≌△PAF，
∴PF＝OA＝3，AF＝OB＝4，
∴OF＝OA+AF＝7，
∴P（7，3），
当AB＝AP′，∠P′BA＝90°时，过P′作P′G⊥y轴于G，
同理得：△ABO≌△BP′G，
∴P′G＝OB＝4，BG＝OA＝3，
∴OG＝OB+BG＝7，
∴P′（4，7），
当BP″＝AP″，∠BP″A＝90°时，点P″是AP′和BP的交点，
设AP′的解析式为：y＝kx+b，
则：，
解得：，
∴AP′的解析式为：y＝7x﹣21，
设BP的解析式为：y＝ax+4，
则：7a+4＝3，
解得：a，
∴BP的解析式为：yx+4，
解方程组得：，
∴P″（3.5，3.5），
∴点P的坐标为：（3.5，3.5）或（4，7）或（7，3）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和全等三角形的性质是解题的关键．
38．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线1垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①当S△ABP＝6时，求点P的坐标；
②在①的条件下，是否存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形，若存在，请直接写出符合点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b＝4，则直线的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0可求得x＝4，故此可求得点B的坐标；
（2）①由题l垂直平分OB可知OE＝BE＝2，将x＝2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标，设点P的坐标为（2，n），然后依据S△ABP＝S△APD+S△BPD可得到△ABP的面积与n的函数关系式为S△ABP＝2n﹣4；由S△ABP＝6得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；
②分别按PB为直角边且∠PBC＝90°，PB为直角边且∠BPC＝90°，PB为斜边且点C在PB右侧，PB为斜边且点C在PB左侧四种情况讨论，即可求解．
【解答】解：（1）直线AB：y＝﹣x+b交y轴于点A（0，4），将点A的坐标代入得：b＝4，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+4．
直线AB：y＝﹣x+4交x轴于点B，
当y＝0时，得：﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴点B（4，0）；
（2）①直线1垂直平分OB交AB于点D，
∴OE＝BE＝2．
当x＝2时，得：y＝﹣2+4＝2．
∴点D（2，2）．
∵点P（2，n），
∴PD＝n﹣2．
∵S△ABP＝S△APD+S△BPD，S△ABP＝6，
∴6，
解得：n＝5．
∴点P（2，5）；
②存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形；点C的坐标为（9，2）、（7，7）、（5.5，3.5）、（0.5，1.5）．理由如下：
△PBC为等腰直角三角形时，分四种情况讨论：
如图1，△PBC为等腰直角三角形，PB为直角边，作BC⊥PB于点B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，
∴PB＝BC，∠PBC＝90°，
∴∠MBC+∠PBE＝90°，
∵CM⊥x轴，
∴∠MBC+∠C＝90°，
∴∠PBE＝∠C，
在△BCM和△EPB中，
，
∴△BCM≌△EPB（AAS），
∴CM＝BE＝2，BM＝PE＝5，
∴OM＝9，
∴点C的坐标为（9，2）；
如图2，△PBC为等腰直角三角形，PB为直角边，作CP⊥PB于点P，过点C作CM⊥l，垂足为M，连接BC，
∴PC＝PB，∠BPC＝90°，
∴∠MPC+∠EPB＝90°
∵CM⊥l，
∴∠MPC+∠MCP＝90°，
∴∠EPB＝∠MCP，
在△PCM和△EPB中，
，
∴△PCM≌△EPB（AAS），
∴CM＝PE＝5，PM＝BE＝2，
∴EM＝7，
∴点C的坐标为（7，7）；
如图3，△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N，
设点C（p，q），
∴PC＝CB，∠PCM+∠NCB＝90°，
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC＝∠CNB＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°，
∴∠MPC＝∠NCB，
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN，PM＝CN，
∵P（2，5），B（4，0），直线l：x＝2，
∴，
解得，
∴点C的坐标为（5.5，3.5）；
如图4，△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N，
设点C（p，q），
∴PC＝CB，∠PCM+∠NCB＝90°，
∵CM⊥l，BN⊥CM延长线于N，
∴∠PMC＝∠CNB＝90°，∠MPC+∠PCM＝90°，
∴∠MPC＝∠NCB，
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN，PM＝CN，
∵P（2，5），B（4，0），直线l：x＝2，
∴，
解得，
∴点C的坐标为（0.5，1.5）；
综上所述，存在第一象限内的点C，使△PBC为等腰直角三角形；点C的坐标为（9，2）、（7，7）、（5.5，3.5）、（0.5，1.5）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的综合应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，解题关键在于掌握待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质．
39．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：EH∥AD；
（2）若∠DGC＝58°，且∠H﹣∠4＝10°，求∠H的度数．
【分析】（1）由∠1＝∠B得AB∥GD，即得∠2＝∠BAD，进而可得∠BAD+∠3＝180°，即可求证；
（2）由平行线的性质可得∠2＝∠H，即得∠H＝∠BAD，即可得∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，进而由∠H﹣∠4＝10°可得∠4＝24°，据此即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥GD（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠BAD+∠3＝180°，
∴EH∥AD；
（2）解：∵EH∥AD，
∴∠2＝∠H（两直线平行，同位角相等），
∵∠2＝∠BAD，
∴∠H＝∠BAD，（等量代换）
∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°，
∵∠H﹣∠4＝10°，
∴2∠4+10°＝58°，
∴∠4＝24°，
∴∠H＝34°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
40．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明∠1＝∠3即可．
（2）根据∠1+∠4＝90°，想办法求出∠4即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4∠ABD＝40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
41．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是∠BAC的平分线，BF是∠ABC的平分线，AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）由三角形高的定义可得∠ADC＝90°，即可得∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解；
（2）利用三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：（1）∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；
（2）∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴，，
∴∠AOB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABF＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
42．双流区某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，甲、乙两班分别派5名学生参加，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛得分：
1号 2号 3号 4号 5号
甲班 87 93 88 88 94
乙班 90 96 87 91 86
根据上表，回答下列问题：
（1）填空：甲班5名学生的比赛得分的众数是 88 分，乙班5名学生的比赛得分的中位数是 90 分；
（2）分别计算甲班、乙班参赛学生比赛得分的方差，并判断哪一个班选手的比赛得分较为整齐．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据方差公式计算，再根据方差的意义分析判断即可．
【解答】解：（1）甲班5名学生的比赛得分中88分的最多，所以众数为88，
乙班的数据按照从小到大的顺序排列：86，87，90，91，96，所以中位数为90；
故答案为：88，90；
（2）甲班的平均数是：（87+93+88+88+94）÷5＝90，
乙班的平均数是：（90+96+87+91+86）÷5＝90，
s甲2＝[（87﹣90）2+（93﹣90）2+（88﹣90）2+（88﹣90）2+（94﹣90）2]÷5＝8.4，
s乙2＝[（90﹣90）2+（96﹣90）2+（87﹣90）2+（91﹣90）2+（86﹣90）2]÷5＝12.4，
∵8.4＜12.4，
∴甲班选手的比赛得分较为整齐．
【点评】本题考查了中位数、平均数和方差等概念以及运用．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．
43．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝ 50 度，∠P＝ 115 度．
（2）∠A与∠P的数量关系为 ∠P∠A＝90° ，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ∠Q＝90°∠A ．
【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由角平分线定义得∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
【应用】由角平分线定义可得∠CBQ＝90°∠ABC，∠BCQ＝90°∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】【探究】
解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP（∠ABC+∠ACB）130°＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：50，115；
（2）∠P∠A＝90°．理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠P（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠P∠A＝90°；
故答案为：∠P∠A＝90°；
【应用】
解：∠Q＝90°∠A．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC，
∠BCQ（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°∠ABC+90°∠ACB）（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠Q（180°﹣∠A）＝90°∠A；
故答案为：∠Q＝90°∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．
44．已知A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也同日下午骑摩托车按同路相向而行从B地出发驶往A地．如图所示，图中的折线DEF和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S（千米）与该日下午时间t（时）之间的关系．根据图象回答下列问题：
（1）直接写出：甲出发 1 小时后，乙才开始出发；乙的速度为 50 千米/时；甲骑自行车在全程的平均速度为 12.5 千米/时．
（2）求甲出发几小时后与乙在途中相遇？
（3）若甲乙两人佩带了传呼机，且该型号传呼机的最大通讯距离为5千米．若乙到达A地后休息半小时原路返回B地，求甲乙两人能够通讯的最大时长．
【分析】（1）观察图象并根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）分别写出EF段、MN段对应的函数关系式，根据二人相遇时行驶的路程之和为A、B两地之间的距离列关于t的一元一次方程并求解即可；
（3）将二人之间的距离不超过5千米的时间段加起来即可．
【解答】解：（1）甲出发2﹣1＝1（小时）后，乙才开始出发；乙的速度为50÷（3﹣2）＝50（千米/时）；甲骑自行车在全程的平均速度为50÷（5﹣1）＝12.5（千米/时）．
故答案为：1，50，12.5．
（2）EF段的速度为（50﹣20）÷（5﹣2）＝10（千米/时），则对应的函数关系式为S＝20+10（t﹣2）＝10t，
MN段对应的函数关系式为S＝50（t﹣2）＝50t﹣100，
当二人相遇时，得10t+50t﹣100＝50，
解得t＝2.5，
2.5﹣1＝1.5（小时）．
答：甲出发1.5小时后与乙在途中相遇．
（3）乙到达A地后休息半小时原路返回B地的图象（对应线段PQ）如图所示：
二人第一次相遇前，相距5千米时，得10t+50t﹣100+5＝50，
解得t，
二人第一次相遇后至乙到达A地前，相距5千米时，得60（t﹣2.5）＝5，
解得t，
由题意可知，当t时，二人之间的距离不超过5千米，
（小时）；
当t＝3+0.5＝3.5时乙休息结束并开始返回A地，当t＝3.5+1＝4.5时乙返回到A地，
乙返回B地过程中离A地距离为50（t﹣3.5）＝50t﹣175，这个过程中当二人之间的距离不超过5千米时，得|50t﹣175﹣10t|≤5，
解得t，
由题意可知，当t≤5时，二人之间的距离不超过5千米，
5（小时）；
（小时）．
答：甲乙两人能够通讯的最大时长为小时．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，A（﹣2，0），yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，D（10，0），AD＝10+2＝12， 4＝10，即可求解；
②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线yx+b过点C，
4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
46．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1，相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1，l2于点M，N，当MN＝2时，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先求得C（1，3），再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式；
（2）设D（m，0），则，N（m，3m），分两种情况：当m＜1时，，当m＞1时，，分别根据MN＝2建立方程求解即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），利用勾股定理可得AC，设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，分三种情况：当AE＝AC时，当AC＝CE时，当EA＝EC时，分别求出点E的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1，
∴C（1，3），
设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、C（1，3）代入，得：
，
解得：，
∴直线l1的解析式为；
（2）设D（m，0），则，N（m，3m），
如图2，当m＜1时，，
∵MN＝2，
∴，
解得：，
∴；
当m＞1时，，
∵MN＝2，
∴，
解得：，
∴D；
综上所述，点D的坐标为或；
（3）存在．理由如下：
如图3，过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），
∴AH＝3﹣1＝2，CH＝3，
在Rt△ACH中，，
设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，
当AE＝AC时，，
解得：或，
∴或；
当AC＝CE时，
∵CH⊥x轴，即CE⊥AE，
∴AH＝EH，即AE＝2AH＝4，
∴E（﹣1，0）；
当EC＝EA时，（x﹣1）2+32＝（3﹣x）2，
解得：，
∴，
综上所述，点E的坐标为或或（﹣1，0）或．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
47．【模型建立】
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若OB＝2，OC＝1，请解答下列问题：
①点C的坐标是 （1，0） ，点A的坐标是 （3，1） ；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标： （2，0）或（﹣1，0） ；
（2）如图3，已知直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，求直线l2的函数表达式．
【分析】【模型建立】根据同角的余角相等可证∠BCE＝∠CAD，从而利用AAS可证△BEC≌△CDA；
（1）①由OC＝1得点C的坐标是（1，0），由【模型建立】得△BOC≌△CDA，得AD＝OC＝1，CD＝OB＝2，则OD＝OC+CD＝3，即可得点A的坐标是（3，1）；
②可求出S△AOM＝S四边形﹣S△AOB＝1，可得OM＝2或1，即可得出点M的坐标；
（2）过点B作BF⊥l2于点F，则△ABF是等腰直角三角形，求得AB＝2，AF＝BF，
设l2的函数解析式为y＝kx+4，则F（a，ka+4），由题意得，
解得：或，进而得到直线l2的函数解析式．
【解答】【模型建立】证明：∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（1）解：①∵OC＝1，
∴点C的坐标是（1，0），
由【模型建立】得△BOC≌△CDA，
∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝2，
∴OD＝OC+CD＝3，
∴点A的坐标是（3，1）；
故答案为：（1，0），（3，1）；
②如图2，当M在x轴正半轴时，连接OA，
∵点A的坐标是（3，1），OB＝2，
S△AOB2×3＝3，
∴S△OAM＝S四边形﹣S△AOB＝4﹣3＝1，
∴OM×1＝1，
OM＝2，
∴M（2，0），
如图2.2，当M在x轴负半轴时，连接OA，
∵点A的坐标是（3，1），OB＝2，
S△AOB2×3＝3，
∴S△OBM＝S四边形﹣S△AOB＝4﹣3＝1，
∴OM OB＝1，
∴OM＝1，
∴M（﹣1，0），
故答案为：（2，0）或（﹣1，0）；
（2）解：过点B作BF⊥l2于点F，
∵将直线l1绕点B旋转45°至直线l2，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∵直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
∴AB2，
∴AF＝BFAB，
设l2的函数解析式为y＝kx+4，则F（a，ka+4），依题意得：
，
解得：或，
∴直线l2的函数解析式为yx+4或y＝﹣3x+4．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键．
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