北京市清华大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·北京期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·北京期中）设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·北京期中）下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·北京期中）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·北京期中）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2025高一上·北京期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·北京期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过350m3 2.61元/m3
超过350m3但不超过500m3的部分 2.83元/m3
超过500m3的部分 4.23元/m3
若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A．550m3 B．531.8m3 C．505m3 D．366.3m3
8．（2025高一上·北京期中）已知，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025高一上·北京期中）已知函数的定义域，满足：、，都有成立，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·北京期中）已知函数，，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025高一上·北京期中） ．
12．（2025高一上·北京期中）函数的定义域为 ．
13．（2025高一上·北京期中）能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为 ， ．
14．（2025高一上·北京期中）已知．若的最小值为0，则实数的值是 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 ．
15．（2025高一上·北京期中）已知函数，则
①函数没有零点；
②函数有最小值；
③对于任意，且，恒成立；
④对于任意，存在，对于任意，有．
其中所有正确结论的序号是 ．
16．（2025高一上·北京期中）求下列关于的不等式的解集：
（1）：
（2）；
（3）．
17．（2025高一上·北京期中）已知．
（1）求的最大值：
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
18．（2025高一上·北京期中）已知集合．
（1）若，且，求的值；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（2025高一上·北京期中）已知二次函数的一个零点为1，且满足．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的最小值；
（3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围．
20．（2025高一上·北京期中）已知定义在上的奇函数，当时，，
（1）求函数的解析式：
（2）若，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
21．（2025高一上·北京期中）设正整数，若由实数组成的集合满足：“对中任意三个不同的元素，均有或．则称具有性质．
（1）分别判断和是否具有性质，并说明理由：
（2）设，集合具有性质，记中不小于1的元素个数为，求的取值范围；
（3）若集合具有性质，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据集合的交集运算法则，易知.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集定义计算即可.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，则为.
故答案为：D
【分析】由特称命题的否定，前半部分将改为，后半部分否定原结论，即可得.
3．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据指数函数的性质，易知函数在定义域内单调递减，A正确；
因为的定义域为，且在区间，内分别单调递减，
但时，，当时，，所以该函数在定义域上不是单调递减的函数，故B错误；
根据指数函数的性质，易知在定义域内单调递增，C错误；
根据一元二次函数的性质，易知在定义域内先增后减，D错误.
故答案为：A.
【分析】分别根据指数函数、一元二次函数的单调性依次判断即可.
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】分析函数的单调性，并根据零点存在定理判断区间端点对应的函数值，可确定函数的零点所在区间.
5．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、令，满足，此时，该选项错误，不合题意；
B、令，满足，此时，该选项错误，不合题意；
C、，，
，
，即，该选项正确，符合题意；
D、令，满足，此时，该选项错误，不合题意．
故答案为：C．
【分析】利用赋值法或者根据不等式的同项可加性判断选项；运用作差法判断选项C．
6．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以对称轴，解得
故答案为：D.
【分析】根据二次函数单调性特征，先求对称轴，画图比较可得答案.
7．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：设天然气使用量为，天然气费为元，
则，
由于，则，
所以，
解得，
所以天然气使用量为，
故答案为：A
【分析】设天然气费用为使用量x的函数，根据三个表格写出三段函数解析式，先判断 1549.5 对应哪一段，再求解即可.
8．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，若，即，可得，
此时，此时函数的对称轴为轴，即为偶函数，
所以“”“为偶函数”，
若函数为偶函数，由偶函数的性质可知，
所以“”“为偶函数”，
因此“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】先分析：即 已知，求证“”是“为偶函数”
再分析：即： 已知“”是“为偶函数”，则， 利用偶函数的定义与性质结合充分条件、必要条件判断即可得出结论.
9．【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令得，解得，
令得，解得.
故答案为：C.
【分析】用赋值法求的值，需令可得出，同理，求的值，再令可求出.
10．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：设不等式在时的解集为，在时的解集为，
当时，由可得，
当时，由可得，
即.
作出函数的图象如下图所示：
（i）当时，由可得，该不等式无解；
（ii）当时，且当时，，此时，则，
当时，由可得，
由题意可知，所以，即，解得；
（iii）当时，若，由可得，
若，由可得，
①若为负整数，则，此时，即，解得；
②若为正整数，则，所以，此时，
所以，则，即，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】先根据分段函数解析式特征，表示出g(x)的解析式，再作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，确定整数解的值，可得出关于实数的不等式组，可求得的取值范围即可.
11．【答案】3
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为.
故答案为：3
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
12．【答案】
【知识点】并集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题意得，，所以且，
即函数的定义域为.
故答案为：
【分析】根据式子有意义的条件列出不等式组求解即可.
13．【答案】；
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由不等式的性质，若，则，
故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可，
比如：或者.
故答案为：①；②（不唯一）.
【分析】由不等式的性质同项可乘性，可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可.
14．【答案】；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：对于空1：当时，单调递增，有，无最小值，
若的最小值为0，则当时，有最小值为0，
开口向上，对称轴，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，解得，与矛盾，不符合题意；
当即时，在上单调递减，
所以，则，解得，满足，符合题意；
综上.
对于空2：当时，单调递增，有，无最小值，
若存在最小值，则当时，存在最小值，且最小值要小于等于，
开口向上，对称轴，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，即，解得或，
又，所以；
当即时，在上单调递减，
所以，则，即，解得或，
又，所以；
综上或，即实数的取值范围是.
故答案为：0；
【分析】对于空1：分和x
对于空2：分和x15．【答案】②④
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数零点存在定理；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：对于①，令，即，解得，所以，函数有零点，该选项错误，不合题意；
对于②，根据函数和函数的图象可得函数的大致图象如下：
根据图象可知，函数有最小值，该选项正确，符合题意；
对于③，取，，，计算得，，
此时，则，该选项错误，不合题意；
对于④，当，增长远快于，故，
所以对任意，存在，对于任意，有，该选项正确，符合题意.
故答案为：②④.
【分析】对于①，赋值法判断，令，求解即可；对于②，将的图象画出即可；对于③，赋值法判断，将，代入，求解即可；对于④，根据当，增长远快于，进行判断即可.
16．【答案】（1）解：由或.
所以所求不等式的解集为.
（2）解：由.
所以所求不等式的解集为.
（3）解：由.
若，则；
若，则，不等式无解；
若，则.
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）先将因式分解，结合一元二次不等式解集的形式求解.
（2）把将分式化成标准形式，再等价于一元二次不等式求解.
（3）先将因式分解，求出的两根，分情况讨论两根大小，求一元二次不等式的解集.
（1）由或.
所以所求不等式的解集为.
（2）由.
所以所求不等式的解集为.
（3）由.
若，则；
若，则，不等式无解；
若，则.
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：∵，∴，∴，
当且仅当时取等号，
∴的最大值为1.
（2）解：，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为.
（3）∵，
∴，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）代入基本不等式即可求得结果；
（2）由a+b=2得，利用基本不等式中巧用“1”，的即可求得结果；
（3）由等式得到的关系式，然后代入，利用配方法即可求得最小值.
（1）∵，∴，∴，
当且仅当时取等号，
∴的最大值为1.
（2），
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为.
（3）∵，
∴，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
18．【答案】（1）由题设是的两个根，则，
由，
则，可得或，
又，则，显然或均满足，
综上，或；
（2）由题设，，
又，即，故.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题设是的两个根，代入韦达定理公式，代入得求参数值，注意验证，即可得；
（2）由题设得得，结合集合中的不等式求参数范围.
（1）由题设是的两个根，则，
由，
则，可得或，
又，则，显然或均满足，
综上，或；
（2）由题设，，
又，即，故.
19．【答案】（1）解：由题可知，，解得.
所以.
（2）解：由（1）知，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为.
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当
时，的最小值为.
（3）解：由题可得，则
则得①或②，
由①得恒成立，故，解得；
由②得，因，故此式不能恒成立.
综上，可得实数的取值范围是.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）零点为1即f(1)=0，与 结合列方程组，求解可得的解析式；
（2）由（1）求得函数一元二次函数的对称轴，从而得到函数的单调性，分类讨论，所给区间与对称轴的位置关系，可得函数在上的单调性，从而求得其最小值；
（3）由“线段的长度恒大于2”得，即恒成立，即可求得实数的取值范围．
（1）由题可知，，解得.
所以.
（2）由（1）知，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为.
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当
时，的最小值为.
（3）由题可得，则
则得①或②，
由①得恒成立，故，解得；
由②得，因，故此式不能恒成立.
综上，可得实数的取值范围是.
20．【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，
令，所以，所以，
所以，即，
所以.
（2）解：因为当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
在时，函数连续，
所以函数在上单调递增，
由可得，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：因为对任意的，函数在上单调递增，
所以，所以，
设函数在上的值域为，
当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得；
当时，最小值为，需满足，此时无解；
当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，，令代入即可求解.
（2）由（1）求得解析式，判断函数的单调性，再由奇函数性质将不等式化成标准式，转化为，求解即可.，
（3） 要使 成立，即求出的取值范围，再由为一元二次方程分类讨论即可.
（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
令，所以，所以，
所以，即，
所以.
（2）因为当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
在时，函数连续，
所以函数在上单调递增，
由可得，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）因为对任意的，函数在上单调递增，
所以，所以，
设函数在上的值域为，
当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得；
当时，最小值为，需满足，此时无解；
当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得.
综上，的取值范围为.
21．【答案】（1）解：具有性质，不具有性质.
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含，
则，，，
，可知具有性质
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
，，因此不具有性质.
（2）解：设，集合具有性质，
记中不小于1的元素个数为，
当时，，且，不具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，且不具有性质，
所以的取值范围为；
（3）解：显然取最大时，，因为.
设集合有个正实数，且不妨设.
现取三元集，其中
由于，故，只能是.
注意到是两两不等的实数.
①当时，有
又因为这个元素都在中，
所以只能是，则为等比数列，
取，则有(*)
显然有，否则若.
再取三元集，其中，又因为，
同理可得，
取，则有与式矛盾.
②当时，有，由①同理可得.
③当时，有
则，则为等比数列，
取，则有，
则，有
由①同理可得，，
当时，由前面分析可知
且，
对于三元集和，，
显然，否则推出矛盾.
则，即
即，方程无解，故.
同理可得A集合中负数的个数小于等于4.
构造满足题意.
综上所述，的最大值为9.
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】（1）根据集合具有性质的定义计算a+b+c和abc，判断结果是否∈A，结合反例可判断两个集合是否具有性质.
（2）根据k是“个数”，是整数，故对的取值进行分类讨论，根据集合具有性质的定义进行判断.
（3）根据集合具有性质，且不妨设，计算对于的范围进行分类讨论即可得到结果.
（1）具有性质，不具有性质.
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含，
则，，，
，可知具有性质
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
，，因此不具有性质.
（2）设，集合具有性质，
记中不小于1的元素个数为，
当时，，且，不具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，且不具有性质，
所以的取值范围为；
（3）显然取最大时，，因为.
设集合有个正实数，且不妨设.
现取三元集，其中
由于，故，只能是.
注意到是两两不等的实数.
①当时，有
又因为这个元素都在中，
所以只能是，则为等比数列，
取，则有(*)
显然有，否则若.
再取三元集，其中，又因为，
同理可得，
取，则有与式矛盾.
②当时，有，由①同理可得.
③当时，有
则，则为等比数列，
取，则有，
则，有
由①同理可得，，
当时，由前面分析可知
且，
对于三元集和，，
显然，否则推出矛盾.
则，即
即，方程无解，故.
同理可得A集合中负数的个数小于等于4.
构造满足题意.
综上所述，的最大值为9.
1 / 1北京市清华大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·北京期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据集合的交集运算法则，易知.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集定义计算即可.
2．（2025高一上·北京期中）设命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，则为.
故答案为：D
【分析】由特称命题的否定，前半部分将改为，后半部分否定原结论，即可得.
3．（2025高一上·北京期中）下列函数中，在定义域上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据指数函数的性质，易知函数在定义域内单调递减，A正确；
因为的定义域为，且在区间，内分别单调递减，
但时，，当时，，所以该函数在定义域上不是单调递减的函数，故B错误；
根据指数函数的性质，易知在定义域内单调递增，C错误；
根据一元二次函数的性质，易知在定义域内先增后减，D错误.
故答案为：A.
【分析】分别根据指数函数、一元二次函数的单调性依次判断即可.
4．（2025高一上·北京期中）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】分析函数的单调性，并根据零点存在定理判断区间端点对应的函数值，可确定函数的零点所在区间.
5．（2025高一上·北京期中）已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、令，满足，此时，该选项错误，不合题意；
B、令，满足，此时，该选项错误，不合题意；
C、，，
，
，即，该选项正确，符合题意；
D、令，满足，此时，该选项错误，不合题意．
故答案为：C．
【分析】利用赋值法或者根据不等式的同项可加性判断选项；运用作差法判断选项C．
6．（2025高一上·北京期中）函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以对称轴，解得
故答案为：D.
【分析】根据二次函数单调性特征，先求对称轴，画图比较可得答案.
7．（2025高一上·北京期中）为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量 天然气价格
不超过350m3 2.61元/m3
超过350m3但不超过500m3的部分 2.83元/m3
超过500m3的部分 4.23元/m3
若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ）
A．550m3 B．531.8m3 C．505m3 D．366.3m3
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：设天然气使用量为，天然气费为元，
则，
由于，则，
所以，
解得，
所以天然气使用量为，
故答案为：A
【分析】设天然气费用为使用量x的函数，根据三个表格写出三段函数解析式，先判断 1549.5 对应哪一段，再求解即可.
8．（2025高一上·北京期中）已知，则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，若，即，可得，
此时，此时函数的对称轴为轴，即为偶函数，
所以“”“为偶函数”，
若函数为偶函数，由偶函数的性质可知，
所以“”“为偶函数”，
因此“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故答案为：C.
【分析】先分析：即 已知，求证“”是“为偶函数”
再分析：即： 已知“”是“为偶函数”，则， 利用偶函数的定义与性质结合充分条件、必要条件判断即可得出结论.
9．（2025高一上·北京期中）已知函数的定义域，满足：、，都有成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：令得，解得，
令得，解得.
故答案为：C.
【分析】用赋值法求的值，需令可得出，同理，求的值，再令可求出.
10．（2025高一上·北京期中）已知函数，，若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：设不等式在时的解集为，在时的解集为，
当时，由可得，
当时，由可得，
即.
作出函数的图象如下图所示：
（i）当时，由可得，该不等式无解；
（ii）当时，且当时，，此时，则，
当时，由可得，
由题意可知，所以，即，解得；
（iii）当时，若，由可得，
若，由可得，
①若为负整数，则，此时，即，解得；
②若为正整数，则，所以，此时，
所以，则，即，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】先根据分段函数解析式特征，表示出g(x)的解析式，再作出函数的图象，对实数的取值进行分类讨论，确定整数解的值，可得出关于实数的不等式组，可求得的取值范围即可.
11．（2025高一上·北京期中） ．
【答案】3
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：因为.
故答案为：3
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
12．（2025高一上·北京期中）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】并集及其运算；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题意得，，所以且，
即函数的定义域为.
故答案为：
【分析】根据式子有意义的条件列出不等式组求解即可.
13．（2025高一上·北京期中）能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为 ， ．
【答案】；
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由不等式的性质，若，则，
故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可，
比如：或者.
故答案为：①；②（不唯一）.
【分析】由不等式的性质同项可乘性，可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可.
14．（2025高一上·北京期中）已知．若的最小值为0，则实数的值是 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 ．
【答案】；
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【解答】解：对于空1：当时，单调递增，有，无最小值，
若的最小值为0，则当时，有最小值为0，
开口向上，对称轴，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，解得，与矛盾，不符合题意；
当即时，在上单调递减，
所以，则，解得，满足，符合题意；
综上.
对于空2：当时，单调递增，有，无最小值，
若存在最小值，则当时，存在最小值，且最小值要小于等于，
开口向上，对称轴，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，即，解得或，
又，所以；
当即时，在上单调递减，
所以，则，即，解得或，
又，所以；
综上或，即实数的取值范围是.
故答案为：0；
【分析】对于空1：分和x对于空2：分和x15．（2025高一上·北京期中）已知函数，则
①函数没有零点；
②函数有最小值；
③对于任意，且，恒成立；
④对于任意，存在，对于任意，有．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②④
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数零点存在定理；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：对于①，令，即，解得，所以，函数有零点，该选项错误，不合题意；
对于②，根据函数和函数的图象可得函数的大致图象如下：
根据图象可知，函数有最小值，该选项正确，符合题意；
对于③，取，，，计算得，，
此时，则，该选项错误，不合题意；
对于④，当，增长远快于，故，
所以对任意，存在，对于任意，有，该选项正确，符合题意.
故答案为：②④.
【分析】对于①，赋值法判断，令，求解即可；对于②，将的图象画出即可；对于③，赋值法判断，将，代入，求解即可；对于④，根据当，增长远快于，进行判断即可.
16．（2025高一上·北京期中）求下列关于的不等式的解集：
（1）：
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：由或.
所以所求不等式的解集为.
（2）解：由.
所以所求不等式的解集为.
（3）解：由.
若，则；
若，则，不等式无解；
若，则.
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）先将因式分解，结合一元二次不等式解集的形式求解.
（2）把将分式化成标准形式，再等价于一元二次不等式求解.
（3）先将因式分解，求出的两根，分情况讨论两根大小，求一元二次不等式的解集.
（1）由或.
所以所求不等式的解集为.
（2）由.
所以所求不等式的解集为.
（3）由.
若，则；
若，则，不等式无解；
若，则.
所以当时，原不等式解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17．（2025高一上·北京期中）已知．
（1）求的最大值：
（2）求的最小值；
（3）求的最小值．
【答案】（1）解：∵，∴，∴，
当且仅当时取等号，
∴的最大值为1.
（2）解：，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为.
（3）∵，
∴，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）代入基本不等式即可求得结果；
（2）由a+b=2得，利用基本不等式中巧用“1”，的即可求得结果；
（3）由等式得到的关系式，然后代入，利用配方法即可求得最小值.
（1）∵，∴，∴，
当且仅当时取等号，
∴的最大值为1.
（2），
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为.
（3）∵，
∴，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为.
18．（2025高一上·北京期中）已知集合．
（1）若，且，求的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）由题设是的两个根，则，
由，
则，可得或，
又，则，显然或均满足，
综上，或；
（2）由题设，，
又，即，故.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题设是的两个根，代入韦达定理公式，代入得求参数值，注意验证，即可得；
（2）由题设得得，结合集合中的不等式求参数范围.
（1）由题设是的两个根，则，
由，
则，可得或，
又，则，显然或均满足，
综上，或；
（2）由题设，，
又，即，故.
19．（2025高一上·北京期中）已知二次函数的一个零点为1，且满足．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的最小值；
（3）设，垂直于轴的直线分别交函数与的图象于两点，若线段的长度恒大于2，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题可知，，解得.
所以.
（2）解：由（1）知，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为.
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当
时，的最小值为.
（3）解：由题可得，则
则得①或②，
由①得恒成立，故，解得；
由②得，因，故此式不能恒成立.
综上，可得实数的取值范围是.
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）零点为1即f(1)=0，与 结合列方程组，求解可得的解析式；
（2）由（1）求得函数一元二次函数的对称轴，从而得到函数的单调性，分类讨论，所给区间与对称轴的位置关系，可得函数在上的单调性，从而求得其最小值；
（3）由“线段的长度恒大于2”得，即恒成立，即可求得实数的取值范围．
（1）由题可知，，解得.
所以.
（2）由（1）知，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，即时，在上单调递减，所以在处取得最小值，最小值为；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为；
当时，在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为.
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当
时，的最小值为.
（3）由题可得，则
则得①或②，
由①得恒成立，故，解得；
由②得，因，故此式不能恒成立.
综上，可得实数的取值范围是.
20．（2025高一上·北京期中）已知定义在上的奇函数，当时，，
（1）求函数的解析式：
（2）若，求实数的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，
令，所以，所以，
所以，即，
所以.
（2）解：因为当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
在时，函数连续，
所以函数在上单调递增，
由可得，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）解：因为对任意的，函数在上单调递增，
所以，所以，
设函数在上的值域为，
当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得；
当时，最小值为，需满足，此时无解；
当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得.
综上，的取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，，令代入即可求解.
（2）由（1）求得解析式，判断函数的单调性，再由奇函数性质将不等式化成标准式，转化为，求解即可.，
（3） 要使 成立，即求出的取值范围，再由为一元二次方程分类讨论即可.
（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
令，所以，所以，
所以，即，
所以.
（2）因为当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
在时，函数连续，
所以函数在上单调递增，
由可得，解得，
所以实数的取值范围为.
（3）因为对任意的，函数在上单调递增，
所以，所以，
设函数在上的值域为，
当时，在单调递增，的取值范围为，需满足且，解得；
当时，最小值为，需满足，此时无解；
当时，在单调递减，的取值范围为，需满足且，解得.
综上，的取值范围为.
21．（2025高一上·北京期中）设正整数，若由实数组成的集合满足：“对中任意三个不同的元素，均有或．则称具有性质．
（1）分别判断和是否具有性质，并说明理由：
（2）设，集合具有性质，记中不小于1的元素个数为，求的取值范围；
（3）若集合具有性质，求的最大值．
【答案】（1）解：具有性质，不具有性质.
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含，
则，，，
，可知具有性质
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
，，因此不具有性质.
（2）解：设，集合具有性质，
记中不小于1的元素个数为，
当时，，且，不具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，且不具有性质，
所以的取值范围为；
（3）解：显然取最大时，，因为.
设集合有个正实数，且不妨设.
现取三元集，其中
由于，故，只能是.
注意到是两两不等的实数.
①当时，有
又因为这个元素都在中，
所以只能是，则为等比数列，
取，则有(*)
显然有，否则若.
再取三元集，其中，又因为，
同理可得，
取，则有与式矛盾.
②当时，有，由①同理可得.
③当时，有
则，则为等比数列，
取，则有，
则，有
由①同理可得，，
当时，由前面分析可知
且，
对于三元集和，，
显然，否则推出矛盾.
则，即
即，方程无解，故.
同理可得A集合中负数的个数小于等于4.
构造满足题意.
综上所述，的最大值为9.
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性
【解析】【分析】（1）根据集合具有性质的定义计算a+b+c和abc，判断结果是否∈A，结合反例可判断两个集合是否具有性质.
（2）根据k是“个数”，是整数，故对的取值进行分类讨论，根据集合具有性质的定义进行判断.
（3）根据集合具有性质，且不妨设，计算对于的范围进行分类讨论即可得到结果.
（1）具有性质，不具有性质.
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
当任意三个元素中有，则三个元素的乘积为，当任意三个不同元素不含，
则，，，
，可知具有性质
对于，任意三个不同的元素的和或积必有一个属于，
，，因此不具有性质.
（2）设，集合具有性质，
记中不小于1的元素个数为，
当时，，且，不具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，例如具有性质，
当时，，且不具有性质，
所以的取值范围为；
（3）显然取最大时，，因为.
设集合有个正实数，且不妨设.
现取三元集，其中
由于，故，只能是.
注意到是两两不等的实数.
①当时，有
又因为这个元素都在中，
所以只能是，则为等比数列，
取，则有(*)
显然有，否则若.
再取三元集，其中，又因为，
同理可得，
取，则有与式矛盾.
②当时，有，由①同理可得.
③当时，有
则，则为等比数列，
取，则有，
则，有
由①同理可得，，
当时，由前面分析可知
且，
对于三元集和，，
显然，否则推出矛盾.
则，即
即，方程无解，故.
同理可得A集合中负数的个数小于等于4.
构造满足题意.
综上所述，的最大值为9.
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