2.3 二次根式 教案（表格式） 2025-2026学年数学北师大版八年级上册
文档属性
| 名称 | 2.3 二次根式 教案（表格式） 2025-2026学年数学北师大版八年级上册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-11 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
3 二次根式
第1课时 二次根式的概念及乘除运算
课题 第1课时 二次根式的概念及乘除运算 授课人
教 学 目 标 1.认识二次根式,熟记二次根式的乘法、除法法则及其条件. 2.理解二次根式的乘除与积、商的算术平方根的关系,能运用法则进行二次根式的乘除运算. 3.在探究、合作活动中,培养学生的探究能力和合作意识. 4. 引导学生认识从特殊到一般的认知规律,大胆猜测结果,从例子中归纳出一般适用的方法. 5.通过探索规律,培养学生学习的主动性,使学生敢于探索,鼓励学生大胆猜想,积极与他人交流,增强学生学习数学的信心.
教学 重点 理解二次根式的乘除与积、商的算术平方根的关系.
教学 难点 能运用法则进行二次根式的乘除运算.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 观察下列代数式: ,,,,(其中b=24,c=25),这些式子有什么共同特征 特征:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 从学生比较熟知的具体的根式入手,观察它们的形式,让学生首先从感官上感知什么是二次根式,为二次根式的定义的提出做准备.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次根式的概念 像这样的式子就是我们本节课要学习的二次根式(板书课题).首先我们认识一下什么叫二次根式.(给出概念) 【概括新知】 一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数. 追问:你认为一个式子是二次根式应满足几个条件 学生思考后,得出结论:二次根号需要具备两个条件:(1)含有二次根号,即含有“”;(2)被开方数为非负数. 1.通过问题的解决加深对二次根式的认识和理解,比空洞的讲解文字定义更直观具体,易于理解接受.
活动 二: 探究 与 应用 【应用】 下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式 ,,,(x>0),,4,-,,(x≥0,y≥0). 处理方式:观察各式的特点,然后分别指名判断,并说明理由,重点强调根据二次根式具备的两个条件去判断. 解:,(x>0),,4,-,(x≥0,y≥0)是二次根式;,,不是二次根式. 【探究2】 二次根式的乘除法 【尝试·思考】 (1)计算下列各式,你能得到什么猜想 ×= ,= ; ×= ,= ; = ,= ; = ,= . 师生活动:引导学生利用=|a|进行化简,然后观察每组的两个算式的特点,在小组内交流观察到的结果,并用自己的语言进行表述. 结论:×=;×=;=;=. (2)根据上面的猜想,估计下面每组中的两个式子是否相等,借助计算器进行验证. ×与,与. 学情预设:学生很容易猜想得到×=,=,然后让学生利用计算器进行验证. (3)用字母表示你发现的猜想,你能说说这个猜想为什么正确吗 处理方式:可设两个被开方数为a,b(a≥0,b≥0),然后让学生类比前面的探究过程,得出结论.在证明猜想时,可让学生利用( )2=a(a≥0),把二次根式平方再进行比较,如果有同学有其他的方法,教师要进行适当的鼓励和表扬,激发学生的学习热情. 【概括新知】 二次根式的乘法法则和除法法则:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0). 【应用】 例1 (教材例1)计算: (1)×;(2). 处理方式:学生独立在练习本上完成,然后指名回答,说明计算的方法,有问题时其他同学进行修正.教师要强调书写,规范计算的步骤.对于(2)学生有不同的计算方法,教师要注意展示并进行说明. 2.利用二次根式的性质对二次根式进行化简,体会二次根式乘除法的计算过程和规律,从而得出二次根式的乘法法则和除法法则,培养学生观察规律、发现规律、总结规律的能力,体会数学中从特殊到一般的思想. 3.例1让学生逐步掌握运算技能,加深对二次根式乘除法的计算公式的印象.
活动 二: 探究 与 应用 解:(1)×===2; (2)====3. 例2 (教材例2)计算: (1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2; (4)(+3)(-3);(5)(-)×;(6). 师生活动:鼓励学生类比整式乘法和除法的相关运算,确定各算式对应的模型,然后再进行计算.教师选派三名同学进行板演,每名同学完成两道题,然后教师根据学生板演的过程进行讲评,强调计算的步骤以及准确性. 解:(1)3×2=3×2××=3×2×=6; (2)×-5=-5=-5=6-5=1; (3)(+1)2=( )2+2+12=5+2+1=6+2; (4)(+3)(-3)=( )2-32=13-9=4; (5)(-)×=×-×=-=6-1=5; (6)=+=+=2+3=5. 4.例2类比整式乘法的相关运算,侧重于二次根式乘除法运算方法的理解,以及乘法公式和乘法相关运算律的应用,提高学生灵活解题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列各式是二次根式的是 ( ) A. B. C. D.π 2.下列各数中,与的积为有理数的是 ( ) A. B.3 C.2 D.2- 3.计算:×= . ÷·= . 4.计算: (1)×;(2);(3)(2-1)2. 检验学生对本节知识的掌握情况,同时也是对本节知识的又一次巩固,有利于下节课知识的讲解.
【板书设计】 第1课时 二次根式的概念及乘除运算 1.二次根式的概念:一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数. 2.二次根式的乘法法则和除法法则:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0). 例1 例2 提纲挈领,重点突出.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过一组问题引出二次根式的概念,这节课教师和学生一起从具体的例子入手,通过比较、观察,归纳出二次根式的乘除法法则,然后应用二次根式的乘除法法则进行计算,在例题和练习题的选择上,既突出了本节课的重点(两个二次根式相乘除),又进行了知识的拓展(三个二次根式相乘除、带系数的二次根式相乘等),这样不仅有利于大多数学生的学习,也兼顾了部分优秀学生的发展. ②[讲授效果反思] 本课时的内容计算量比较大,在提高学生计算能力的同时,调动了学生学习的积极性,学习的效果比较好. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
第2课时 二次根式的化简及加减运算
课题 第2课时 二次根式的化简及加减运算 授课人
教 学 目 标 1.理解最简二次根式的意义,在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识. 2.利用二次根式及最简二次根式的概念及性质,能把一个二次根式化成最简形式,培养学生解决问题的能力. 3.能进行二次根式的加减计算,通过计算引导学生认识从特殊到一般的认知规律,大胆猜测结果,从例子中归纳出一般适用的方法.
教学 重点 二次根式的化简及加减运算.
教学 难点 把二次根式化成最简二次根式.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考: (1)当a≥0时,( )2=a. (2)二次根式的乘除法法则是什么 (提示:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0). 处理方式:提出问题,并指名回答,有问题时其他同学补充修正. 通过复习算术平方根的性质和二次根式的乘除法法则,为本节课的学习做好铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 最简二次根式的概念及其化简 教师说明:上节课我们已经归纳出:当a≥0,b≥0时,·=;当a≥0,b>0时,=.反过来,你能得到什么结论 学情预设:学生不难得出:当a≥0,b≥0时,就有=·;当a≥0,b>0时,就有=. 利用积或商的算术平方根可以把二次根式化成最简二次根式. 【应用】 例1 (教材例3)化简:(1); (2);(3). 师生互动:指导学生发现(1)(2)被开方数是积的形式,可以利用=·(a≥0,b≥0)进行化简;而(3)能看作两个数的商,可以利用=(a≥0,b>0)进行化简. 解:(1)=×=9×8=72; (2)=×=5; (3)==. 说明:例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数. 【概括新知】 一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式. 教师说明:在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; 1.理解知识间的必然联系,使学生能逆用二次根式的乘除法法则将二次根式进行化简.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式. 化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式. 【应用】 例2 (教材例4)化简:(1);(2);(3). 处理方式:对于(1)可引导学生将其化成完全平方数乘以另一个数的形式,然后再进行化简;(2)(3)鼓励学生多种方法进行计算.学生独立完成后在小组内进行交流,然后指名回答,教师展示过程,并进行讲评. 解:(1)==×=5; (2)===;(3)===. 学生回答后,教师提问:5是哪个数的算术平方根 (5是50的算术平方根) 【思考·交流】 (1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的 你是怎么判断是最简二次根式的 (2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会 与同伴进行交流. 处理方式:问题(1)先让学生独立思考,然后在小组内进行交流,说出判断的方法和理由;问题(2)让学生讨论,并举例进行说明,然后师生共同总结归纳. 【探究2】 二次根式的加减运算 想一想:我们已经知道2a+5a=7a,4xyz-9xyz=-5xyz,5π+3π-7π=π,…,那么15+13等于多少呢 学情预设:15+13=28. 教师说明:二次根式也可以进行加减运算,这时,以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应当将这些项合并. 【应用】 例3 (教材例5)计算: (1)+;(2)-;(3)(+)×. 处理方式:思考每个算式的计算方法,然后在小组内进行交流.教师指名回答后,让三名同学进行板演,其他同学独立完成,教师根据板演有针对性地进行讲评.说明问题(3)可利用乘法分配律进行计算,也可先计算括号里的加法,再算乘法. 解:(1)+=+=×+=4+=5; (2)-=-=-=; (3)(+)×=+=+=2+3=5. 变式 计算:-(+2). 2.通过计算理解最简二次根式的概念,明确判断的方法,对最简二次根式有更深刻的认识. 3.通过例题,进一步掌握二次根式的化简方法,使学生能采用不同的方法把二次根式化简成最简二次根式. 4.类比整式中的合并同类项的方法,得出被开方数相同的最简二次根式也可以进行合并,从而引申出二次根式的加减计算. 5.通过例题,让学生明确二次根式的加减法,可按“先化简——再判断——最后合并”进行计算,有时也利用乘法分配律进行二次根式的计算.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 1.若a,b为有理数,且++=a+b,则ab的值为( ) A. B. C. D.2 2.计算:-2+-3. 拓展提升,进一步让学生熟练掌握二次根式的化简,加深理解.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列式子中,属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是 ( ) A.+=2 B.+= C.4-2=2 D.-=2 3.化简:(1);(2);(3);(4). 4.计算: (1)-;(2)-3;(3)+6. 检验学生对本节知识的掌握情况,同时也是对本节知识的又一次巩固,有利于下节课知识的讲解.
【板书设计】 第2课时 二次根式的化简及加减运算 1.最简二次根式的概念: 一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式. 2.二次根式的加减法运算 例 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 学生边练习、边总结发现的规律,形成感知——发现——应用知识的流程体系,通过练习不断地强化学生对新知的理解和应用. ②[讲授效果反思] 本节课让学生理解最简二次根式的概念,知道如何化简二次根式,并能进行二次根式的加减运算,在化简的过程中,教师教会学生化简的方法. ③[师生互动反思] 让学生根据实例利用两个化简的公式:=·(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0)将二次根式进行化简,让同学们互相交流合作,这样既培养了他们的合作精神和探索能力,也让他们获得成功的体验.在教学时加强了师生互动的教学环节,充分调动学生的积极性,促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
第3课时 二次根式的混合运算
课题 第3课时 二次根式的混合运算 授课人
教 学 目 标 1.能进行二次根式的混合运算,并能将结果化为最简二次根式. 2.熟练应用二次根式的运算法则进行计算,提高学生的计算能力. 3.在探究、合作活动中,培养学生的探究能力和合作意识. 4.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
教学 重点 二次根式的混合运算.
教学 难点 能运用法则进行二次根式的混合运算,并能将结果化为最简二次根式.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题1:什么叫作最简二次根式 问题2:上节课我们学习了二次根式的化简,你能将下面式子化成最简二次根式吗 ①;②;③. 问题3:计算: (1)-;(2)3+21; (3)+;(4)-+. 处理方式:问题1由学生口答;问题2由学生独立完成后,指名发言;问题3由两名学生板演,其余学生在自己的练习本上完成,做完之后进行讲评. 以练习的形式帮助学生复习上节课的内容,强化学生对二次根式的化简及加减法的掌握和理解.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次根式的混合运算 出示问题: (1)请你计算:+,-. (2)小明是这样计算+的: +=+=+=. 分子、分母同乘的目的是什么 处理方式:让学生独立完成问题(1)的解题过程,分享计算的方法.然后教师展示小明的做法,帮助学生进行分析.对于(1)的第1个算式,如果其他同学有不同的做法,教师一起展示,并与同学们一起进行分析. (3)计算-,你有哪些方法 说明:让学生对比计算第1个算式的方法,完成(3)的计算.教师可指派两名同学进行板演,其他同学独立完成,并在小组内进行交流,教师巡视学生计算的步骤,并进行指导,然后讲评板演过程,并让其他同学说一说是否有其他的方法并与全班同学一起分享. 【应用】 例 (教材例6)计算: (1)-;(2)-+; 1.感受分母是无理数的二次根式的化简方法,体会方法的多样性,能熟练地把分母是无理数的二次根式化简成分母是有理数的最简二次根式,在分析的过程中总结归纳方法,提升解题能力.
活动 二: 探究 与 应用 (3)(-)÷;(4)+-. 处理方式:指派四名同学进行板演,待其他同学完成后,教师讲评板演过程,展示正确的书写步骤,详细讲解每一步的做法,有问题的同学进行修正. 解:(1)-=-=-=; (2)-+=-+=3-2+=; (3)(-)÷=÷-÷=-=-=-=2-=; (4)+-=+-=+3-3=-+3. 说明:在计算的过程中,鼓励学生提出不同的想法,并在全班进行交流,分享计算的经验,对于好的技巧和方法教师要给予表扬和鼓励,激发学生的学习热情. 【探究2】 二次根式混合运算的应用 【尝试·思考】 化简(-)·,其中a=28,b=7.你是怎么做的 说明:对于本题学生可能直接代入求值,也可能利用乘法分配律先把括号去掉再求值.两种方法教师都要给予肯定,鼓励学生用较简便的方法进行计算. 解:(-)·=·-·=-b, 当a=28,b=7时,原式=-7=-14=-13. 【思考·交流】 如图2-3-2,方格纸中每个小方格的边长均为1. 图2-3-2 (1)求梯形ABCD的周长. (2)求梯形ABCD的面积.你有哪些求解方法 与同伴进行交流. 处理方式:观察图形,让学生思考如何确定线段AB,CD,BC的长,使学生经过交流得出需要把这三条线段构造在三角形中,利用勾股定理即可求出长度;在求梯形的面积时,可利用“割补法”进行计算,让学生充分地思考与交流. 解:(1)由题意,得AD=6,CD==, CB==2,AB==5, 所以梯形ABCD的周长=AD+CD+CB+AB=6++2+5=6+6+2. (2)梯形ABCD的面积=5×7-×1×1-×2×4-×5×5=18(其他求解方法略). 2.鼓励学生利用多种方法进行计算,培养学生严谨细致的计算习惯,提高计算的正确率.在交流中认识到自己计算上存在的不足,提升认知. 3.感受化简求值问题在二次根式中的应用,掌握计算的方法,培养学生应用新知解决问题的能力. 4.使学生体会在网格中求线段的长度需要利用勾股定理来进行计算,而计算不规则图形的面积,需要把“不规则”转化为“规则”,体会转化思想在数学中的应用.
活动 二: 探究 与 应用 【应用】 例 如果梯形的上、下底长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少 解:梯形的面积=(2+4)× =(+2)× =×+2× =+2 =+2 =2+2×3 =(2+6)cm2. 归纳:二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样,整式的运算律、运算顺序、运算法则对于二次根式仍然适用.
【拓展提升】 1.估计(2-)的值应在 ( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 2.已知:a=,b=,则a与b的关系是 ( ) A.a-b=0 B.a+b=0 C.ab=1 D.a2=b2 3.如图2-3-3,长方形空地ABCD的长BC为π,宽AB为π,现准备在空地中划出长FG为(+1)π,宽EF为(-1)π的小长方形EFGH(图中阴影部分)作为花卉实验田. (1)求长方形空地ABCD的周长(结果化为最简); (2)求长方形花卉实验田EFGH的面积(结果化为最简). 图2-3-3 使学生熟练应用所学知识灵活解题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.计算-×的结果是 ( ) A. B.2 C. D. 2.已知等腰三角形的两边长为2和5,则此等腰三角形的周长为 ( ) A.4+5 B.2+10 C.4+10 D.4+5或2+10 3.计算: (1)-+; (2)-; (3)(2+)×-; (4)(2+1)2-(+3)(-3). 学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课在复习前面所学的基础上,引入新课.让学生回忆旧知识的同时,为新知识的学习做好铺垫. ②[讲授效果反思] 不能对学生过分要求运算技能技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等.通过教学,发现学生的运算能力有待提高,对这一部分知识要多加练习. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
第1课时 二次根式的概念及乘除运算
课题 第1课时 二次根式的概念及乘除运算 授课人
教 学 目 标 1.认识二次根式,熟记二次根式的乘法、除法法则及其条件. 2.理解二次根式的乘除与积、商的算术平方根的关系,能运用法则进行二次根式的乘除运算. 3.在探究、合作活动中,培养学生的探究能力和合作意识. 4. 引导学生认识从特殊到一般的认知规律,大胆猜测结果,从例子中归纳出一般适用的方法. 5.通过探索规律,培养学生学习的主动性,使学生敢于探索,鼓励学生大胆猜想,积极与他人交流,增强学生学习数学的信心.
教学 重点 理解二次根式的乘除与积、商的算术平方根的关系.
教学 难点 能运用法则进行二次根式的乘除运算.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 观察下列代数式: ,,,,(其中b=24,c=25),这些式子有什么共同特征 特征:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. 从学生比较熟知的具体的根式入手,观察它们的形式,让学生首先从感官上感知什么是二次根式,为二次根式的定义的提出做准备.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次根式的概念 像这样的式子就是我们本节课要学习的二次根式(板书课题).首先我们认识一下什么叫二次根式.(给出概念) 【概括新知】 一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数. 追问:你认为一个式子是二次根式应满足几个条件 学生思考后,得出结论:二次根号需要具备两个条件:(1)含有二次根号,即含有“”;(2)被开方数为非负数. 1.通过问题的解决加深对二次根式的认识和理解,比空洞的讲解文字定义更直观具体,易于理解接受.
活动 二: 探究 与 应用 【应用】 下列式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式 ,,,(x>0),,4,-,,(x≥0,y≥0). 处理方式:观察各式的特点,然后分别指名判断,并说明理由,重点强调根据二次根式具备的两个条件去判断. 解:,(x>0),,4,-,(x≥0,y≥0)是二次根式;,,不是二次根式. 【探究2】 二次根式的乘除法 【尝试·思考】 (1)计算下列各式,你能得到什么猜想 ×= ,= ; ×= ,= ; = ,= ; = ,= . 师生活动:引导学生利用=|a|进行化简,然后观察每组的两个算式的特点,在小组内交流观察到的结果,并用自己的语言进行表述. 结论:×=;×=;=;=. (2)根据上面的猜想,估计下面每组中的两个式子是否相等,借助计算器进行验证. ×与,与. 学情预设:学生很容易猜想得到×=,=,然后让学生利用计算器进行验证. (3)用字母表示你发现的猜想,你能说说这个猜想为什么正确吗 处理方式:可设两个被开方数为a,b(a≥0,b≥0),然后让学生类比前面的探究过程,得出结论.在证明猜想时,可让学生利用( )2=a(a≥0),把二次根式平方再进行比较,如果有同学有其他的方法,教师要进行适当的鼓励和表扬,激发学生的学习热情. 【概括新知】 二次根式的乘法法则和除法法则:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0). 【应用】 例1 (教材例1)计算: (1)×;(2). 处理方式:学生独立在练习本上完成,然后指名回答,说明计算的方法,有问题时其他同学进行修正.教师要强调书写,规范计算的步骤.对于(2)学生有不同的计算方法,教师要注意展示并进行说明. 2.利用二次根式的性质对二次根式进行化简,体会二次根式乘除法的计算过程和规律,从而得出二次根式的乘法法则和除法法则,培养学生观察规律、发现规律、总结规律的能力,体会数学中从特殊到一般的思想. 3.例1让学生逐步掌握运算技能,加深对二次根式乘除法的计算公式的印象.
活动 二: 探究 与 应用 解:(1)×===2; (2)====3. 例2 (教材例2)计算: (1)3×2;(2)×-5;(3)(+1)2; (4)(+3)(-3);(5)(-)×;(6). 师生活动:鼓励学生类比整式乘法和除法的相关运算,确定各算式对应的模型,然后再进行计算.教师选派三名同学进行板演,每名同学完成两道题,然后教师根据学生板演的过程进行讲评,强调计算的步骤以及准确性. 解:(1)3×2=3×2××=3×2×=6; (2)×-5=-5=-5=6-5=1; (3)(+1)2=( )2+2+12=5+2+1=6+2; (4)(+3)(-3)=( )2-32=13-9=4; (5)(-)×=×-×=-=6-1=5; (6)=+=+=2+3=5. 4.例2类比整式乘法的相关运算,侧重于二次根式乘除法运算方法的理解,以及乘法公式和乘法相关运算律的应用,提高学生灵活解题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列各式是二次根式的是 ( ) A. B. C. D.π 2.下列各数中,与的积为有理数的是 ( ) A. B.3 C.2 D.2- 3.计算:×= . ÷·= . 4.计算: (1)×;(2);(3)(2-1)2. 检验学生对本节知识的掌握情况,同时也是对本节知识的又一次巩固,有利于下节课知识的讲解.
【板书设计】 第1课时 二次根式的概念及乘除运算 1.二次根式的概念:一般地,形如(a≥0)的式子叫作二次根式,a叫作被开方数. 2.二次根式的乘法法则和除法法则:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0). 例1 例2 提纲挈领,重点突出.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过一组问题引出二次根式的概念,这节课教师和学生一起从具体的例子入手,通过比较、观察,归纳出二次根式的乘除法法则,然后应用二次根式的乘除法法则进行计算,在例题和练习题的选择上,既突出了本节课的重点(两个二次根式相乘除),又进行了知识的拓展(三个二次根式相乘除、带系数的二次根式相乘等),这样不仅有利于大多数学生的学习,也兼顾了部分优秀学生的发展. ②[讲授效果反思] 本课时的内容计算量比较大,在提高学生计算能力的同时,调动了学生学习的积极性,学习的效果比较好. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
第2课时 二次根式的化简及加减运算
课题 第2课时 二次根式的化简及加减运算 授课人
教 学 目 标 1.理解最简二次根式的意义,在探究中培养学生的思维能力和归纳概括的意识. 2.利用二次根式及最简二次根式的概念及性质,能把一个二次根式化成最简形式,培养学生解决问题的能力. 3.能进行二次根式的加减计算,通过计算引导学生认识从特殊到一般的认知规律,大胆猜测结果,从例子中归纳出一般适用的方法.
教学 重点 二次根式的化简及加减运算.
教学 难点 把二次根式化成最简二次根式.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考: (1)当a≥0时,( )2=a. (2)二次根式的乘除法法则是什么 (提示:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0). 处理方式:提出问题,并指名回答,有问题时其他同学补充修正. 通过复习算术平方根的性质和二次根式的乘除法法则,为本节课的学习做好铺垫.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 最简二次根式的概念及其化简 教师说明:上节课我们已经归纳出:当a≥0,b≥0时,·=;当a≥0,b>0时,=.反过来,你能得到什么结论 学情预设:学生不难得出:当a≥0,b≥0时,就有=·;当a≥0,b>0时,就有=. 利用积或商的算术平方根可以把二次根式化成最简二次根式. 【应用】 例1 (教材例3)化简:(1); (2);(3). 师生互动:指导学生发现(1)(2)被开方数是积的形式,可以利用=·(a≥0,b≥0)进行化简;而(3)能看作两个数的商,可以利用=(a≥0,b>0)进行化简. 解:(1)=×=9×8=72; (2)=×=5; (3)==. 说明:例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数. 【概括新知】 一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式. 教师说明:在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; 1.理解知识间的必然联系,使学生能逆用二次根式的乘除法法则将二次根式进行化简.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式. 化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式. 【应用】 例2 (教材例4)化简:(1);(2);(3). 处理方式:对于(1)可引导学生将其化成完全平方数乘以另一个数的形式,然后再进行化简;(2)(3)鼓励学生多种方法进行计算.学生独立完成后在小组内进行交流,然后指名回答,教师展示过程,并进行讲评. 解:(1)==×=5; (2)===;(3)===. 学生回答后,教师提问:5是哪个数的算术平方根 (5是50的算术平方根) 【思考·交流】 (1)你是怎么发现含有开得尽方的因数的 你是怎么判断是最简二次根式的 (2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会 与同伴进行交流. 处理方式:问题(1)先让学生独立思考,然后在小组内进行交流,说出判断的方法和理由;问题(2)让学生讨论,并举例进行说明,然后师生共同总结归纳. 【探究2】 二次根式的加减运算 想一想:我们已经知道2a+5a=7a,4xyz-9xyz=-5xyz,5π+3π-7π=π,…,那么15+13等于多少呢 学情预设:15+13=28. 教师说明:二次根式也可以进行加减运算,这时,以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用.当然,如果运算结果中出现某些项,它们各自化简后的被开方数相同,那么应当将这些项合并. 【应用】 例3 (教材例5)计算: (1)+;(2)-;(3)(+)×. 处理方式:思考每个算式的计算方法,然后在小组内进行交流.教师指名回答后,让三名同学进行板演,其他同学独立完成,教师根据板演有针对性地进行讲评.说明问题(3)可利用乘法分配律进行计算,也可先计算括号里的加法,再算乘法. 解:(1)+=+=×+=4+=5; (2)-=-=-=; (3)(+)×=+=+=2+3=5. 变式 计算:-(+2). 2.通过计算理解最简二次根式的概念,明确判断的方法,对最简二次根式有更深刻的认识. 3.通过例题,进一步掌握二次根式的化简方法,使学生能采用不同的方法把二次根式化简成最简二次根式. 4.类比整式中的合并同类项的方法,得出被开方数相同的最简二次根式也可以进行合并,从而引申出二次根式的加减计算. 5.通过例题,让学生明确二次根式的加减法,可按“先化简——再判断——最后合并”进行计算,有时也利用乘法分配律进行二次根式的计算.
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 1.若a,b为有理数,且++=a+b,则ab的值为( ) A. B. C. D.2 2.计算:-2+-3. 拓展提升,进一步让学生熟练掌握二次根式的化简,加深理解.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.下列式子中,属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是 ( ) A.+=2 B.+= C.4-2=2 D.-=2 3.化简:(1);(2);(3);(4). 4.计算: (1)-;(2)-3;(3)+6. 检验学生对本节知识的掌握情况,同时也是对本节知识的又一次巩固,有利于下节课知识的讲解.
【板书设计】 第2课时 二次根式的化简及加减运算 1.最简二次根式的概念: 一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫作最简二次根式. 2.二次根式的加减法运算 例 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 学生边练习、边总结发现的规律,形成感知——发现——应用知识的流程体系,通过练习不断地强化学生对新知的理解和应用. ②[讲授效果反思] 本节课让学生理解最简二次根式的概念,知道如何化简二次根式,并能进行二次根式的加减运算,在化简的过程中,教师教会学生化简的方法. ③[师生互动反思] 让学生根据实例利用两个化简的公式:=·(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0)将二次根式进行化简,让同学们互相交流合作,这样既培养了他们的合作精神和探索能力,也让他们获得成功的体验.在教学时加强了师生互动的教学环节,充分调动学生的积极性,促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
第3课时 二次根式的混合运算
课题 第3课时 二次根式的混合运算 授课人
教 学 目 标 1.能进行二次根式的混合运算,并能将结果化为最简二次根式. 2.熟练应用二次根式的运算法则进行计算,提高学生的计算能力. 3.在探究、合作活动中,培养学生的探究能力和合作意识. 4.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
教学 重点 二次根式的混合运算.
教学 难点 能运用法则进行二次根式的混合运算,并能将结果化为最简二次根式.
授课 类型 新授课 课时
教具 课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题1:什么叫作最简二次根式 问题2:上节课我们学习了二次根式的化简,你能将下面式子化成最简二次根式吗 ①;②;③. 问题3:计算: (1)-;(2)3+21; (3)+;(4)-+. 处理方式:问题1由学生口答;问题2由学生独立完成后,指名发言;问题3由两名学生板演,其余学生在自己的练习本上完成,做完之后进行讲评. 以练习的形式帮助学生复习上节课的内容,强化学生对二次根式的化简及加减法的掌握和理解.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次根式的混合运算 出示问题: (1)请你计算:+,-. (2)小明是这样计算+的: +=+=+=. 分子、分母同乘的目的是什么 处理方式:让学生独立完成问题(1)的解题过程,分享计算的方法.然后教师展示小明的做法,帮助学生进行分析.对于(1)的第1个算式,如果其他同学有不同的做法,教师一起展示,并与同学们一起进行分析. (3)计算-,你有哪些方法 说明:让学生对比计算第1个算式的方法,完成(3)的计算.教师可指派两名同学进行板演,其他同学独立完成,并在小组内进行交流,教师巡视学生计算的步骤,并进行指导,然后讲评板演过程,并让其他同学说一说是否有其他的方法并与全班同学一起分享. 【应用】 例 (教材例6)计算: (1)-;(2)-+; 1.感受分母是无理数的二次根式的化简方法,体会方法的多样性,能熟练地把分母是无理数的二次根式化简成分母是有理数的最简二次根式,在分析的过程中总结归纳方法,提升解题能力.
活动 二: 探究 与 应用 (3)(-)÷;(4)+-. 处理方式:指派四名同学进行板演,待其他同学完成后,教师讲评板演过程,展示正确的书写步骤,详细讲解每一步的做法,有问题的同学进行修正. 解:(1)-=-=-=; (2)-+=-+=3-2+=; (3)(-)÷=÷-÷=-=-=-=2-=; (4)+-=+-=+3-3=-+3. 说明:在计算的过程中,鼓励学生提出不同的想法,并在全班进行交流,分享计算的经验,对于好的技巧和方法教师要给予表扬和鼓励,激发学生的学习热情. 【探究2】 二次根式混合运算的应用 【尝试·思考】 化简(-)·,其中a=28,b=7.你是怎么做的 说明:对于本题学生可能直接代入求值,也可能利用乘法分配律先把括号去掉再求值.两种方法教师都要给予肯定,鼓励学生用较简便的方法进行计算. 解:(-)·=·-·=-b, 当a=28,b=7时,原式=-7=-14=-13. 【思考·交流】 如图2-3-2,方格纸中每个小方格的边长均为1. 图2-3-2 (1)求梯形ABCD的周长. (2)求梯形ABCD的面积.你有哪些求解方法 与同伴进行交流. 处理方式:观察图形,让学生思考如何确定线段AB,CD,BC的长,使学生经过交流得出需要把这三条线段构造在三角形中,利用勾股定理即可求出长度;在求梯形的面积时,可利用“割补法”进行计算,让学生充分地思考与交流. 解:(1)由题意,得AD=6,CD==, CB==2,AB==5, 所以梯形ABCD的周长=AD+CD+CB+AB=6++2+5=6+6+2. (2)梯形ABCD的面积=5×7-×1×1-×2×4-×5×5=18(其他求解方法略). 2.鼓励学生利用多种方法进行计算,培养学生严谨细致的计算习惯,提高计算的正确率.在交流中认识到自己计算上存在的不足,提升认知. 3.感受化简求值问题在二次根式中的应用,掌握计算的方法,培养学生应用新知解决问题的能力. 4.使学生体会在网格中求线段的长度需要利用勾股定理来进行计算,而计算不规则图形的面积,需要把“不规则”转化为“规则”,体会转化思想在数学中的应用.
活动 二: 探究 与 应用 【应用】 例 如果梯形的上、下底长分别为2 cm,4 cm,高为 cm,那么它的面积是多少 解:梯形的面积=(2+4)× =(+2)× =×+2× =+2 =+2 =2+2×3 =(2+6)cm2. 归纳:二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样,整式的运算律、运算顺序、运算法则对于二次根式仍然适用.
【拓展提升】 1.估计(2-)的值应在 ( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 2.已知:a=,b=,则a与b的关系是 ( ) A.a-b=0 B.a+b=0 C.ab=1 D.a2=b2 3.如图2-3-3,长方形空地ABCD的长BC为π,宽AB为π,现准备在空地中划出长FG为(+1)π,宽EF为(-1)π的小长方形EFGH(图中阴影部分)作为花卉实验田. (1)求长方形空地ABCD的周长(结果化为最简); (2)求长方形花卉实验田EFGH的面积(结果化为最简). 图2-3-3 使学生熟练应用所学知识灵活解题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.计算-×的结果是 ( ) A. B.2 C. D. 2.已知等腰三角形的两边长为2和5,则此等腰三角形的周长为 ( ) A.4+5 B.2+10 C.4+10 D.4+5或2+10 3.计算: (1)-+; (2)-; (3)(2+)×-; (4)(2+1)2-(+3)(-3). 学以致用,当堂检测,及时获知学生对所学知识的掌握情况.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课在复习前面所学的基础上,引入新课.让学生回忆旧知识的同时,为新知识的学习做好铺垫. ②[讲授效果反思] 不能对学生过分要求运算技能技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等.通过教学,发现学生的运算能力有待提高,对这一部分知识要多加练习. ③[师生互动反思] ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
同课章节目录