数学归纳法
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课件19张PPT。1数学归纳法2 从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，他爸爸发现了，问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。于是，他爸爸就想考一考，他说：“那你写出自己的名字给我看看吧”，“万百千”写名字结果可想而知。” "万百千"的笑话事例13创设问题情景事例2：某人看到树上乌鸦是黑的，深有 感触地说：“天下乌鸦一般黑”。
事例3：an=（n2-5n+5）2
则a1= ， a2= ，
a3= ， a4= ，试猜想Sn 。
思考：这三个例子使用了什么样的猜想方法？结果是否正确？4我们需要一种更加强有力的归纳法，来确保结论的正确！ 事例4 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾猜想，当n∈N 时， 一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立． 5引入：怎样推倒一排并排的单车？首先，一定先看看第一台有沒有被推倒。接着看看，如果第一台推倒，第二台会不会跟着倒。如果第二台推倒，第三台会不会跟着倒。6引入：怎样推倒一排并排的单车？即证明 “对于任一正整数k，如果第k台倒了，第k+1台也会跟着倒”，那不管有几台单车，总会全被推倒。首先，如果我们推倒了第一台单车。要是能证明 后面的单车会一台一台接着倒那不管有几台单车，总会全被推倒。7这种方法思想正是数学归纳法的精髓！8二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与正整数n有关的命题,可用按下列步骤来进行:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1，有时可能需要前几个值)时命题成立；
(2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。【归纳奠基】【归纳递推】9（2）猜想 通项的公式； , , 的值；例1 在数列{}中, ＝1, (n∈ ), （1）计算 （3）试用数学归纳法证明你的结论．101112课堂练习:C13B14C15例3 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，
（1）试猜测第n层外壳的面积s。
（2）将这些和累加起来你会发现什么规律？试证明你的结果。16解:s1=1
s2=(1+2)2－1=8
s3=(1+2+3)2－9=27
s4=(1+2+3+4)2－36=64
…
sn=(1+2+…+n)2－(n－1)2=n3例3 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层外壳的面积s。1713=1
13+23=9
13+23+33=36
13+23+33+43=100
…
试猜测：
13+23+33+43+ … +n3=
(1+2+3+…+n)2=12=(1+2)2=(1+2+3)2=(1+2+3+4)218BD19B10、证明：
事例3：an=（n2-5n+5）2
则a1= ， a2= ，
a3= ， a4= ，试猜想Sn 。
思考：这三个例子使用了什么样的猜想方法？结果是否正确？4我们需要一种更加强有力的归纳法，来确保结论的正确！ 事例4 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾猜想，当n∈N 时， 一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 ＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立． 5引入：怎样推倒一排并排的单车？首先，一定先看看第一台有沒有被推倒。接着看看，如果第一台推倒，第二台会不会跟着倒。如果第二台推倒，第三台会不会跟着倒。6引入：怎样推倒一排并排的单车？即证明 “对于任一正整数k，如果第k台倒了，第k+1台也会跟着倒”，那不管有几台单车，总会全被推倒。首先，如果我们推倒了第一台单车。要是能证明 后面的单车会一台一台接着倒那不管有几台单车，总会全被推倒。7这种方法思想正是数学归纳法的精髓！8二、挖掘内涵、形成概念：证明某些与正整数n有关的命题,可用按下列步骤来进行:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1，有时可能需要前几个值)时命题成立；
(2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。【归纳奠基】【归纳递推】9（2）猜想 通项的公式； , , 的值；例1 在数列{}中, ＝1, (n∈ ), （1）计算 （3）试用数学归纳法证明你的结论．101112课堂练习:C13B14C15例3 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，
（1）试猜测第n层外壳的面积s。
（2）将这些和累加起来你会发现什么规律？试证明你的结果。16解:s1=1
s2=(1+2)2－1=8
s3=(1+2+3)2－9=27
s4=(1+2+3+4)2－36=64
…
sn=(1+2+…+n)2－(n－1)2=n3例3 如图，把边长为1的正方形看作第一层壳，其面积为s1，在它外面再镶上面积为s2 的第二层外壳，使之构成边长为1+2的正方形，再镶上为 s3的第三层外壳，使之构成边长为1+2+3的正方形，依次下去，试猜测第n层外壳的面积s。1713=1
13+23=9
13+23+33=36
13+23+33+43=100
…
试猜测：
13+23+33+43+ … +n3=
(1+2+3+…+n)2=12=(1+2)2=(1+2+3)2=(1+2+3+4)218BD19B10、证明：