中小学教育资源及组卷应用平台
直角三角形 单元真题模拟检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，5，7 B．4，6，8 C．3，4，5 D．，，
3．如图，已知△ABC中，AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，则AC的长为（ ）
A．10 B．11 C． D．
4．在Rt ABC中，∠ABC=90 ，BC=6，AC=8，则Rt ABC的斜边AB上的高CD的长是（ ）
A． B． C．9 D．6
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=1cm，BE= cm，则BC等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．（ +1）cm
7．在△ABC中，AB=8，AC=15，BC=17，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
8．定义：△ABC中，一个内角的度数为 ，另一个内角的度数为 ，若满足 ，则称这个三角形为“准直角三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，.若按如下步骤作图：以点为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点；再分别以点B，D为圆心，适当长为半径画弧，两弧的一个交点落在边BC上，连接DE.则的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 .
12．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）
13．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
14．如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理，连结，若正方形的面积为29，，则的长为 ．
15．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为 度．
16．如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，且，连接．
（）如图，当时，若，则 度；
（）如图，设，在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，，，，请你连结．
（1）计算的长；
（2）判断的形状并说明理由；
（3）计算四边形的面积．
18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：
如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，求池水的深度．
19．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2 ，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积.
20．如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为B，C，OB=OC，证明：AO平分∠BAC．
21．“平地秋千为起，踏板一尺高地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，二公高士好争，算出索长有几？（注：二步=10尺）”这是商人出身的明代珠算大师程大位在他的部17卷的数学巨著《直指算法统宗》中用词的形式给出的一道题．这词生动地描绘了少女荡秋千的欢快场景，也是一道在当时颇有分量的数学题，你能解答这道题目吗？大意是“当秋千静止时，它的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里的每1步合5尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终是有这状态的，现在问：这个秋千的绳索有多长？”
22．如图，BD平分∠ABC．∠ABD=∠ADB．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD⊥CD，∠BAD=α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．
23．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．
24．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
25．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.
（2）已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
直角三角形 单元真题模拟检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，平分，在上取一点P，过P做，若，则P点到OA的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点P做于点M，
∵，平分，
∴，
故答案为：D.
【分析】过点P做于点M，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解．
2．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，5，7 B．4，6，8 C．3，4，5 D．，，
【答案】C
【解析】【解答】解：A选项：，不能构成直角三角形，故A选项错误；
B选项：，不能构成直角三角形，故B选项错误；
C选项：，能构成直角三角形，故C选项正确；
D选项：，不能构成直角三角形，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断，即可得到答案.
3．如图，已知△ABC中，AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC于点E，点M，N为垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，则AC的长为（ ）
A．10 B．11 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
如图，连接AD，AE，
∵ AB 的垂直平分线交BC于点D，AC 的垂直平分线交BC于点E，
∴AD=BD=3，AE=EC=5，
∴AD2=9，AE2=25，DE2=16，
∴AD2+，DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，
∴AC===，
故答案为：C.
【分析】根据垂直平分线的性质知AD、AE的长，根据勾股定理逆定理判定Rt△ADE，再根据勾股定理求AC的长.
4．在Rt ABC中，∠ABC=90 ，BC=6，AC=8，则Rt ABC的斜边AB上的高CD的长是（ ）
A． B． C．9 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理有： ，
在Rt△ABC中，由等面积法可知： ，
代入数据： ，
解得： ，
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理算出AB=10，然后再由Rt△ABC中等面积法得到 即可求解.
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】【解答】∵在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD= BC．
∵BC=8，
∴BD=4
在Rt ABD中
AD= =3
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得AD⊥BC，BD= BC．利用勾股定理即可求出AD的长.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=1cm，BE= cm，则BC等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．（ +1）cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE=1cm，BE= cm，
∴BD= =2cm，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=1cm，
∴BC=CD+BD=3cm，
故选：C．
【分析】根据勾股定理求出BD，根据角平分线的性质求出CD，计算即可．
7．在△ABC中，AB=8，AC=15，BC=17，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=8，BC=17，AC=17，
∵152+82=172，即AC2+AB2=BC2，
∴三角形是直角三角形，
故选B
【分析】根据已知可得三边符合勾股定理的逆定理判断即可．
8．定义：△ABC中，一个内角的度数为 ，另一个内角的度数为 ，若满足 ，则称这个三角形为“准直角三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥AB，
∵∠C=90°，
∴AB= ，
∴设∠ABD= ，∠BAD= ，
∵∠BAD+∠CAD+∠ABD=90°，
即 + +∠CAD=90°
∵ ，
∴∠CAD=∠BAD= ，
∴AD是∠CAB的平分线，
∴DE=DC，AE=AC，BE=AB-AE=10-8=2，
设DC=DE=x，
则BD=BC-DC=6-x，
∵BD2=BE2+DE2，
∴（6-x）2=22+x2，
整理得12x=32，
∴x= .
故答案为：C.
【分析】过D作DE⊥AB，利用勾股定理求出AB，因为 △ABD是“准直角三角形”， 结合∠BAD、∠CAD和∠ABD之和为90°，可得∠CAD=∠BAD，则AD是∠CAB的平分线，于是DE=DC，设DC为x，
把BD用含x的代数式表示，在Rt△AED中，利用勾股定理列方程求出x， 即DC的长.
9．如图，在中，.若按如下步骤作图：以点为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点；再分别以点B，D为圆心，适当长为半径画弧，两弧的一个交点落在边BC上，连接DE.则的周长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，AD=AB，BE=DE，
∴CE+DE=CE+BE=BC=4，
∵CD=AC-AD=AC-AB=5-3=2，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+BC=2+4=6.
故答案为：B.
【分析】根据作图痕迹可得AD=AB，BE=DE，求得CE+DE=4，CD=2，即可求解.
10．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，∠ACB=90°，则的关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：设正△XYZ的边长为u，过顶点X作XV⊥YZ，V为垂足，如图，
在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，
∵XV⊥YZ，
∴ ，∠XVY=90°，
∴在Rt△XYV中，有 ，
∴正△XYZ的面积为： ，
如图，可知△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，
设Rt△ABC的三边为：AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有： ，
则根据上述所推出的正三角形的面积公式，可知△AGC、△AFB、△BCH的面积分别为： 、 、 ，
则根据上图有： ， ， ，
即有 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
故答案为：C.
【分析】设正△XYZ的边长为u，过顶点x作XV⊥YZ，V为垂足，则利用勾股定理可得XV，然后根据三角形的面积公式表示出S△XYZ，由题意可得△AGC、△AFB、△BCH是正三角形，设Rt△ABC的三边为AC=b，AB=C，BC=a，根据勾股定理有a2+b2=c2，表示出△AGC、△AFB、△BCH的面积，结合面积间的和差关系进行计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 .
【答案】12
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
∵AD平分∠CAB，，
∴DE=CD=3，
∵，
∴；
故答案为：12.
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出DE的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABD的面积.
12．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）
【答案】（4+4 ）
【解析】【解答】解：由题意得，在△ACB中，∠C=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠A=45°，
∴∠ABC=∠A，
∴AC=BC．
∵BC=4，
∴AC=4，
由AC2+BC2=AB2得
AB= ，
所以此树在未折断之前的高度为（4+4 ）米．
故答案是：（4+4 ）．
【分析】由于∠ABC=45°，即△ABC是等腰Rt△，AC=BC=4米，由勾股定理可求得斜边AB的长；进而可求出AB+AC的值，即树折断前的高度．
13．如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝140°，则∠EDF＝ ．
【答案】50°
【解析】【解答】解：根据∠AFD=140°可得：∠DFC=180°-140°=40°，根据BD=CF，BE=CD可以利用HL定理得出Rt△BED和Rt△CDF全等，则∠EDB=∠DFC=40°，则根据平角的性质可得：∠EDF=180°-90°-40°=50°.
【分析】由∠AFD=140°可知∠DFC=40°，根据“AAS”证明Rt△BED≌Rt△CDF，再利用全等的性质可以得到∠BDE=∠CFD=40°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案。
14．如图，清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理，连结，若正方形的面积为29，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形的面积为29，
∴，
∵四个全等的直角三角形，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积求出边长，然后利用勾股定理解答．
15．如图所示，在四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为 度．
【答案】110
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，CB=CD，且CA=CA
∴△ABC≌△ADC
∴∠BCA=∠DCA
∵∠BAC=35°，∠ABC=90°
∴∠BCA=55°
∴∠BCD=2∠BCA=110°．
故答案为：110°．
【分析】利用HL判定△ABC≌△ADC，得出∠BCA=∠DCA，利用已知求得∠BCA=55°，所以∠BCD=2∠BCA=110°．
16．如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，且，连接．
（）如图，当时，若，则 度；
（）如图，设，在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示）
【答案】；
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
即，
∵∠BAD=35°，
∴∠CAE=35°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-∠CAE-∠AED-∠ACE=180°-35°-60°-60°=25°，
故答案为：；
（）同理（）可证，，
∴，
∵，，
∴，
∴∠ACE=，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（）根据题意，易证，可得，再根据平行线的性质得到，即可证明是等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，再得到是等边三角形，即得，最后根据三角形内角和定理即可得出答案.
（）同理（）可得，得到，，由等腰三角形的性质得，即得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，，，，请你连结．
（1）计算的长；
（2）判断的形状并说明理由；
（3）计算四边形的面积．
【答案】（1）解：连接，
∵，AB=4，BC=3，
∴.
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
由（1）得AC=5，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵，，
∴．
【解析】【分析】（）在Rt△ABC中，用勾股定理计算即可求解；
（）由题意，根据勾股定理的逆定理可得∠ACD=90°，然后根据直角三角形的定义即可判断是直角三角形；
（）根据三角形的面积公式计算即可求解.
（1）连接，
∵，
∴
（2）是直角三角形，理由：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）∵，，
∴．
18．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：
如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，求池水的深度．
【答案】解：设池水的深度为x尺，
由题意得，（x+1）2＝x2+（）2，
解得，x＝12，
答：池水的深度为12尺．
【解析】【分析】根据题意先求出 （x+1）2＝x2+（）2， 再求解即可。
19．如图所示，在四边形ABCD中，AB=2 ，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积.
【答案】解：连接BD，
∵∠C=90°，
∴△BCD为直角三角形，
∴BD2=BC2+CD2=22+12=（ ）2，BD＞0，
∴BD= ，
在△ABD中，
∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×2 × + ×2×1=6.
∴四边形ABCD的面积是6.
【解析】【分析】连接BD，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BD的长， 再利用勾股定理的逆定理求得△ABD是直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，利用三角形的面积公式进行计算即可.
20．如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为B，C，OB=OC，证明：AO平分∠BAC．
【答案】证明：∵OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°，
在Rt△OAB和Rt△OAC中，
∴△OAB≌△OAC（HL），
∴∠OAB=∠OAC，
即AO平分∠BAC．
【解析】【分析】此题利用HL来证明△OAB≌△OAC，从而得出∠OAB=∠OAC，所以AO平分∠BAC．
21．“平地秋千为起，踏板一尺高地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，二公高士好争，算出索长有几？（注：二步=10尺）”这是商人出身的明代珠算大师程大位在他的部17卷的数学巨著《直指算法统宗》中用词的形式给出的一道题．这词生动地描绘了少女荡秋千的欢快场景，也是一道在当时颇有分量的数学题，你能解答这道题目吗？大意是“当秋千静止时，它的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里的每1步合5尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终是有这状态的，现在问：这个秋千的绳索有多长？”
【答案】解：设秋千的绳索长为x尺即AC=x，根据题意BC=10，AB=x+1-5
∴在Rt△ABC中，可列方程为：
x2=102+（x+1-5）2，解得：x=14.5
∴绳索的长为14.5尺．
【解析】【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x+1-5）尺，利用勾股定理列方程求解．
22．如图，BD平分∠ABC．∠ABD=∠ADB．
（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD⊥CD，∠BAD=α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC，
∴AD∥BC．
（2）解：
∵AD∥BC，且∠BAD=α，
∴∠ABC=180°-α，
，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
=.
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的判定和直角三角形的性质。（1）根据“BD平分∠ABC和∠ABD=∠ADB”可得∠ADB=∠DBC，则可证AD∥BC．（2）依据AD∥BC，且∠BAD=α，可得∠ABC=180°-α，根据角平分线可知 ，由BD⊥CD知∠BDC=90°，根据直角三角形锐角互余，可得 。这一问，也可用别的方法：由（1）知：∠ADB=∠ABD，而 ∠BAD=α ，则，由垂直知：∠ADC=90°，由平行可知，∠DCB+∠ADC=180°，则∠DCB=180°-∠ADC=180°-（90°+90°-）=
23．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠BFC度数．
【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠CBF=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵ ，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠CAE=25°，
∴∠BAE=45°-25°=20°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=20°，
∴∠BFC=90°-20°=70°．
【解析】【分析】（1）根据题目条件，由两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，即可证明两个直角三角形全等。
（2）在直角三角形CBA中，根据题意可得，∠BAC=45°，即可求得∠BAE=20°，根据（1）中证明的 Rt△ABE≌Rt△CBF ，即可求得∠FCB=20°，在直角三角形BFC中，根据三角形的内角和为180°，即可求得∠BFC的度数。
24．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
【答案】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半
【解析】【分析】分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，利用角平分线的性质可证得CG=CH，再由AB=AD，就可证得△ABC面积=△ACD面积，再证明 △AEC面积=△CDF面积 ，即可证得四边形AECF面积=△ABC面积，四边形ABCD面积=2△ABC面积，然后就可得出四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半。
25．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.
（2）已知PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ.判断△PQC的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：AP=CQ．
理由如下：
∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ．
（2）解：△PQC是直角三角形．
理由如下：∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ=PB=4．
又CQ=AP=3，PC=5，
∴PQ2+QC2=42+32=25=PC2，
∴△PQC是直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△BPQ为等边三角形，根据等边三角形的三个角都相等得出∠ABC=60°，推得∠CBQ=∠ABP，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP≌△CBQ，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（2））根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形得出△PBQ是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出PQ=PB=4，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角得出△PQC是直角三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
