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第二十六章 二次函数 单元同步培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=x﹣1 B．y=
C．y=（x﹣1）2﹣x2 D．y=﹣2x2+1
2．下列图象中，是二次函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点P从右向左运动的运动路线在抛物线上，点P第一次到达x轴时的坐标为，则当点P再次到达x轴时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线 的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．若y=（m＋1） 是二次函数，则m=（ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
7．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2 5 D．有最大值 2，无最小值
8．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣2）（x+1） B．y= （x+1）2
C．y=2（x+3）2﹣2x2 D．y=1﹣ x2
9．已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y=－x2+x+6及一次函数y=－x+m，将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴的下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示）.当直线y=－x+m与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．顶点为 ，形状与函数 的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 .
12．下列四个二次函数：① ，② ，③ ，④ ．其中抛物线开口从大到小的排列顺序是 （填序号即可）．
13．若函数y=（m﹣3）xm2+2m﹣13是二次函数，则m= ．
14．一般地，形如 的函数是二次函数．
15．二次函数 图像的顶点坐标是 .
16．已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
18．若函数是关于的二次函数，求m的值？
19．已知函数y=（a+1）+（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
（1）函数为二次函数；
（2）函数为一次函数
20．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
21．一个二次函数y=（k﹣1）．求当x=0.5时y的值？
22．函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
23．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．
（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；
（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．
24．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
25．如图，将正方形放置在平面直角坐标系中的第一象限，点，点分别在轴，轴正半轴上，所在的直线方程为．
（1）求点和点的坐标；
（2）连接，将线段绕点顺时针方向旋转至BE的位置，交线段于点若，求直线的解析式．
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第二十六章 二次函数 单元同步培优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=x﹣1 B．y=
C．y=（x﹣1）2﹣x2 D．y=﹣2x2+1
【答案】D
【解析】【解答】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、是反比例函数，不符合题意；
C、y=-2x+1是一次函数，不符合题意；
D、y= ﹣2x2+1是二次函数，符合题意.
【分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答．
2．下列图象中，是二次函数的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：二次函数的图象是开口向上，顶点在原点的一条抛物线，
故A符合题意，
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的解析式可直接得到函数图象。
3．如图，点P从右向左运动的运动路线在抛物线上，点P第一次到达x轴时的坐标为，则当点P再次到达x轴时的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 ，
∴对称轴为 ，
∵ ，
∴点A与对称轴的距离为 ，
∴与x轴的另一个交点与对称轴的距离也为 ，即 ，
∴当点P再次到达x轴时的坐标为 ，
故答案为：C．
【分析】先求出对称轴为 ，再求出点 与对称轴的距离为 ，最后求点的坐标即可。
4．抛物线 的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵解析式为
∴顶点为
故答案为：D.
【分析】根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案.
5．若y=（m＋1） 是二次函数，则m=（ ）
A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；
解得m=7或-1；m≠-1，
∴m=7，
故答案为：B．
【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．
6．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
【答案】B
【解析】【解答】解：A、抛物线的开口向下，则A错误，故不符合题意；
B、对称轴是直线，则B正确，故符合题意；
C、当时，随的增大而增大，则C错误，不符合题意；
D、顶点坐标为，则D错误，故不符合题意；
故选B．
【分析】
对于抛物线，其顶点坐标为，对称轴为直线、当时开口向上，且在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时开口向下，且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
7．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 1.5，有最小值﹣2.5 B．有最大值 2，有最小值 1.5
C．有最大值 2，有最小值﹣2 5 D．有最大值 2，无最小值
【答案】C
【解析】【解答】解：看图象可知，在 0≤x≤4范围内，最大值为2，最小值为-2.5.
故答案为：C.
【分析】看图象获取信息，找出自变量的取值范围内，找出图象的最高点和最低点即可得出函数的最大值和最小值.
8．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x﹣2）（x+1） B．y= （x+1）2
C．y=2（x+3）2﹣2x2 D．y=1﹣ x2
【答案】C
【解析】【解答】A、整理得：y=x2﹣x﹣2，是二次函数，与要求不符；
B、整理得：y= x2+x﹣ ，是二次函数，与要求不符；
C、整理得：y=12x+18，不是二次函数，与要求相符；
D、y=1﹣ x2是二次函数，与要求不符．
故选：C．
【分析】将各函数关系式进行整理，然后再进行判断即可．
9．已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线P与抛物线关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴
∴抛物线的解析式为，
∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，
即
令，
∴，
解得：或，
设，
∵开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当时，要恒成立，此时，
∴当x=1时，即可，
得：，
解得：，
又∵
∴
故答案为：A
【分析】设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，由此得抛物线的解析式，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），即当时，要恒成立，此时，当x=1时，即可，即可得出a的范围。
10．已知二次函数y=－x2+x+6及一次函数y=－x+m，将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴的下方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示）.当直线y=－x+m与新图像有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解； 如图，
当y=0时， －x2+x+6=0，解得x=-2或3，则A（-2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的部分翻折到x轴下方的部分图象的解析式为：y=(x+2)(x-3)， 即y=x2-x-6(-2≤x≤3)， 当直线y=-x+m经过A（-2，0）时，2+m=0，解得m=-2；
当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x2-x-6=-x+m有相等的实数解， 解得m=-6， ∴当直线y=－x+m与新图像有4个交点时， m的范围是-6＜m＜2，
故答案为：D.
【分析】解方程-x2+x+6=0得A（-2，0），B（3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x-3），即y=x2-x-6（-2≤x≤3），然后求出直线y=-x+m经过点A（-2，0）时m的值和当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6（-2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=-x+m与新图象有4个交点时m的取值范围．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．顶点为 ，形状与函数 的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 .
【答案】
【解析】【解答】∵抛物线的形状与函数 的图象相同且开口方向相反
∴抛物线的解析式的二次项系数为 ，又其顶点为
∴抛物线解析式为 .
故答案为： .
【分析】据题意求得抛物线的二次项系数，由顶点 可直接写出解析式.
12．下列四个二次函数：① ，② ，③ ，④ ．其中抛物线开口从大到小的排列顺序是 （填序号即可）．
【答案】③①②④
【解析】【解答】解：根据题意，则
∵ ，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故答案为：③①②④．
【分析】 抛物线（a≠0）中，的绝对值越大，则抛物线的开口越小，据此判断即可.
13．若函数y=（m﹣3）xm2+2m﹣13是二次函数，则m= ．
【答案】﹣5
【解析】【解答】解：由题意得：m2+2m﹣13=2，m﹣3≠0，
解得：m1=3（不合题意舍去），m2=﹣5，
故答案为：﹣5．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出关于m的等式求出即可．
14．一般地，形如 的函数是二次函数．
【答案】y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）
【解析】【解答】解：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的函数是二次函数．
【分析】根据二次函数的定义作答即可．
15．二次函数 图像的顶点坐标是 .
【答案】(0，-1)
【解析】【解答】解：因为y＝x2－1＝(x－0)2－1，即当x＝0时，y＝-1，所以二次函数y＝x2－1的顶点坐标为(0，-1).
答案为：(0，-1).
【分析】二次函数的性质类型的题目，根据题意，把二次函数的一般形式转化为顶点式解析式；
再根据顶点式解析式即可求出二次函数的顶点坐标.
16．已知函数 的图象与函数 的图象恰好有四个交点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】【解答】当x≥1时，y= ；
当x＜1时，y= ；
∴ ，
二图象的交点为（1，-6）， y= 的最小值为 ，
画图象如下，
根据图象，可得直线 与 之间的部分有 个交点，
∴b的取值范围为 ＜b＜-6，
故填 ＜b＜-6.
【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图象确定b的范围即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11， 即m的值是11．
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．若函数是关于的二次函数，求m的值？
【答案】解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得：
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，把形如y=ax +bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，得到：解此方程组即可求解.
19．已知函数y=（a+1）+（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
（1）函数为二次函数；
（2）函数为一次函数
【答案】（1）解：当时，函数为二次函数，解得：a=1；
（2）解：当时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【解析】【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
20．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m=0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
【解析】【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
21．一个二次函数y=（k﹣1）．求当x=0.5时y的值？
【答案】解：
由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
把k=2代入y=（k﹣1）得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，再解即可；
根据k=2的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．
22．函数y=（kx-1）（x-3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
【答案】解：∵y=（kx-1）（x-3）=kx2-3kx-x+3=kx2-（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
【解析】【分析】将函数解析式转化为y=kx2-（3k+1）x+3，根据y是x的一次函数，则二次项系数为0；y是x的二次函数，则二次项系数≠0，即可解答。
23．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．
（1）若抛物线L有最高点，求m的取值范围；
（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线L有最高点，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2
（2）解：∵抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反，
∴m﹣2＝﹣1，
∴m＝1
【解析】【分析】（1）由抛物线L有最高点，可知抛物线开口向下，据此解答即可；
（2） 由抛物线L与抛物线y＝x2的性状相同，开口方向相反， 可知抛物线L与抛物线y＝x2的a值互为相反数，据此解答即可.
24．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【解析】【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数=2，且二次项系数≠0，建立方程和不等式，求解即可得函数解析式。
25．如图，将正方形放置在平面直角坐标系中的第一象限，点，点分别在轴，轴正半轴上，所在的直线方程为．
（1）求点和点的坐标；
（2）连接，将线段绕点顺时针方向旋转至BE的位置，交线段于点若，求直线的解析式．
【答案】解：（1）所在的直线方程为，
当时，，即，
当时，，解得，即，
，
如图，过点C作轴，垂足为H，
四边形ABCD是正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
点的坐标为，
同理可得：点的坐标为；
（2）设旋转角的大小为，
四边形是正方形，
，，，
是的一个外角，
，
，
，
由旋转的性质得：，
，
，
在中，由三角形的内角和定理得：，
即，
解得，
如图，过点作于点，连接AC，交BD于点N，则，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设直线的解析式为，
将和代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
故直线的解析式为．
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，利用平行四边形的判定与性质得出是解题关键．（1）根据题意可知：点A是一次函数与y轴的交点，故令x=0，可得y=4，由此可知：点A坐标为（0，4），由此可得点B坐标为（3，0），即可得出OB=3，OA=4，再根据正方形的性质：四边相等，四个角都是90°可知：∠ABC=90°，AB=BC，根据角的和差运算可知：∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠HBC=90°，根据同角的余角相等可知：∠OAB=∠HBC，根据全等三角形的判定定理AAS可证得：△OAB≌△HBC，再根据全等三角形的性质：对应边相等可知：CH=OB=3，BH=AO=4，由线段的和差运算可知：OH=OB+BH=7，由此可得出点C坐标为（7，3），同理可得点D坐标为（4，7），由此可得出答案；
（2）设旋转角∠DBE的大小为x，先根据正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出，再根据直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得，然后利用待定系数法求出直线BD的解析式，从而可得直线CE的解析式中的一次项系数，最后将点C的坐标代入即可得．
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