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二次函数 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝-（x-）2-2的顶点坐标是（ ）
A．（，2） B．（-，2） C．（-，-2） D．（，-2）
3．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．关于二次函数y=(x+2)2-4，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(2，-4)
C．该函数的最大值是-4 D．当x≥-2时，y随x的增大而增大
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．若二次函数 bx+c(a，b，c 是实数，a≠0)的图象经过点(a，c)，则( )
A．a>0 B．a<0 C．b>0 D．b<0
7．对于二次函数y＝﹣ （x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
8．已知二次函数（其中是自变量），当时.y随的增大而增大，且时，y的最小值为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．-1
9．抛物线y＝x2＋4x＋3是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x－2）2＋5 B．y＝（x＋2）2－1
C．y＝（x＋1）2＋1 D．y＝（x－1）2＋1
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把抛物线y＝x2+2x﹣3向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 ．
12．已知二次函数y＝kx2﹣3x＋1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 ．
13．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
14．如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了 m（结果保留根号）．
15．抛物线 与 的一个交点坐标是 ，则另一个交点坐标是 ．
16．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
18．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线L：经过点A，L与线段的另一个交点为点C（不与点B重合），为抛物线上点A，C之间的一动点．
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）求b，c的数量关系（要求有必要过程）；
（3）若L经过的中点，
①求L的解析式（要求有必要过程）；
②请直接写出点P到距离的最大值______．
19．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉．
（1）假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式；
（2）现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
20．已知二次函数.
（1）将二次函数化成的形式；
（2）求图象与轴，轴的交点坐标.
21．已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b(ab≠0)的图象在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点(-1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1图象的顶点，
①求证：2a+b=0．
②当122．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与轴交于点.
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点是抛物线上任意一点（不与点重合），直线经过A，B两点，当时，总有，求的最小值.
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上
（1）求出直线l的函数解析式；
（2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围
24．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
25．年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量个与销售单价元满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为元？
（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
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二次函数 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. 当a=0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意
B.；是一次函数，故本选项不符合题意；
C.是二次函数，故本选项符合题意；
D.是分式函数，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一般地，形如 的函数（ 是常数， ），叫做二次函数，根据二次函数的定义逐个判断即可.
2．抛物线y＝-（x-）2-2的顶点坐标是（ ）
A．（，2） B．（-，2） C．（-，-2） D．（，-2）
【答案】D
【解析】【解答】解：因为y＝-（x-）2-2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（，-2）.
故答案为：D.
【分析】二次函数的顶点式“y=a(x-h）2+k”的顶点坐标为（h，k），据此可直接得出答案.
3．如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，
②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，
③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．
④错误．
综上所述，①③正确，共2个．
故答案为：B
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点、二次函数的图象与性质结合题意对①②③④逐一判断即可求解。
4．关于二次函数y=(x+2)2-4，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是(2，-4)
C．该函数的最大值是-4 D．当x≥-2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 二次函数y=(x+2)2-4 ，a=1，函数图象的开口向上，故A选项错误；
B、 二次函数y=(x+2)2-4， 顶点坐标是，故B选项错误；
C、a=1，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故C选项错误；
D、对称轴直线，函数图象开口向上， 当x≥-2时，y随x的增大而增大 ，故D选项正确．
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质，开口方向向上，顶点坐标为，对称轴直线，逐项判断即可．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意；
D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象性质.若a>0，一次函数过一、三象限，二次函数开口向上，与y轴交于负半轴；若a<0，一次函数过二、四象限，二次函数开口向下，与y轴交于正半轴.据此匹配选项即可.
6．若二次函数 bx+c(a，b，c 是实数，a≠0)的图象经过点(a，c)，则( )
A．a>0 B．a<0 C．b>0 D．b<0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数 b，c是实数， 0)的图象经过点(a，c)，
∴抛物线的对称轴为直线
故答案为：D .
【分析】利用抛物线的对称性求得 解得b=- 解答即可.
7．对于二次函数y＝﹣ （x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣ （x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；
图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣ （x﹣2）2﹣3，即 ，无解，故选项D错误.
故答案为：B.
【分析】A、观察二次函数可知a=＜0，抛物线开口向下，由二次函数的性质可知在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小；
B、结合A的结论，由二次函数的性质可知当x＝2时，函数取得最大值，最大值是﹣3；
C、由二次函数的解析式可知，图象的顶点坐标为（2，﹣3）；
D、由题意令y=0可得关于x的一元二次方程，根据负数没有平方根可判断图象与x轴没有交点.
8．已知二次函数（其中是自变量），当时.y随的增大而增大，且时，y的最小值为，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．-1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴抛物线的对称轴为x= 2，
∵当时，随的增大而增大，
∴抛物线开口向下即a＜0，
∵当时，的最小值为-7，
∴x=-6时，函数有最小值，
解得a= .
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为x= 2，由当x≤-2时，y随x的增大而增大，可知a＜0， 确定出-6≤x≤5时y的最小值，然后结合y的最小值为-7就可求出a的值.
9．抛物线y＝x2＋4x＋3是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x－2）2＋5 B．y＝（x＋2）2－1
C．y＝（x＋1）2＋1 D．y＝（x－1）2＋1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴将其向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线的解析式为： ，
即 ．
故答案为：C．
【分析】先求出，再计算求解即可。
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①符合题意，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②符合题意，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③不符合题意，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④符合题意．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．把抛物线y＝x2+2x﹣3向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 ．
【答案】y＝x2﹣6
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴把抛物线y＝x2+2x﹣3向下平移2个单位，得：y＝（x+1）2﹣6；
再向右平移1个单位，得：y＝x2﹣6．
故答案为y＝x2﹣6．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
12．已知二次函数y＝kx2﹣3x＋1的图象与x轴有公共点，则常数k的取值范围是 ．
【答案】k≤ 且k≠0
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣3x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝（ 3）2 4k≥0，
解得k≤
，
又∵y＝kx2﹣3x＋1是二次函数，
∴k≠0，
∴k的取值范围是k≤
且k≠0，
故答案为：k≤
且k≠0．
【分析】将二次函数与x轴交点个数问题转为一元二次方程根的判别式的问题，再列出不等式求解即可。
13．某公司新产品上市30天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元．
【答案】1800
【解析】【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=kt，
把（30，60）代入得30k=60，
解得k=2，
∴日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y=2t，
当0把（20，30）代入得20a=30，
解得a=1.5，
∴当0当20设日销售利润为m元，
当0故当t=20时，m取得最大值，此时m=1200，
当20故当t=30时，m取得最大值，此时m=1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元.
故答案为：1800.
【分析】首先根据图1，利用待定系数法求出日销售量y与销售天数t之间的函数关系式；然后根据图2，分当014．如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了 m（结果保留根号）．
【答案】2 ﹣4
【解析】【解答】设抛物线的解析式为：y=ax2，
∵水面宽4m时，拱顶离水面2m，
∴点（2，-2）在此抛物线上，
∴-2=a 22，
∴a=-
∴抛物线的解析式为：y=- x2，
当水面下降1m时，即y=-3时，-3=- x2，
∴x=± ，
∴此时水面的宽度为：2 ，
即此时水面的宽度增加了（2 -4）m．
故答案为2 -4
【分析】根据已知给出的直角坐标系，进而求出二次函数解析式，在通过把-3代入抛物线即诶是得出水面宽度，即可得出答案。
15．抛物线 与 的一个交点坐标是 ，则另一个交点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：已知 与 的一个交点坐标是 ，
可得 ，解得 ，所以抛物线为 ，
把 代入得 ，解得 或 ，
则另一个与 的交点坐标为 .
故答案为： .
【分析】先将x=-1代入求出k的值，再将y=0代入，求出x的值，即可得到另一个交点的坐标。
16．抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：
①；
②若，则；
③若，则关于x的一元二次方程 无实数解；
④点，在抛物线上，若，，总有，则．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵抛物线经过（-1，1），（m，1）两点，且．
∴对称轴为直线：， ，
∵，
∴，故①错误，
∵，∴m-(-1)>0-(-1)，即m-(-1)>1，
∴（-1，1），（m，1）两点之间距离大于
又∵
∴时，
∴若，则，故②正确；
由①得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为：
∵抛物线经过（-1，1），
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，t取得最大值为2，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
由a<0可知抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
∵，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据对称性求出抛物线的对称轴，进面可得，即可判断①，根据（-1，1），（m，1)两点之间的距离大于1，即可判断②，根据抛物线经过(-1，1)得出c=b+2，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值，即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴满足的不等式组，解不等式组，即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：①，∴；
②∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（2）解：由题意可知，点)在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，，都有，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，解得，
∴的取值范围是
【解析】【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式解答即可；
②利用二次函数的开口方向和增减性解题即可；
（2）得到点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出t的取值范围即可.
18．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线L：经过点A，L与线段的另一个交点为点C（不与点B重合），为抛物线上点A，C之间的一动点．
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）求b，c的数量关系（要求有必要过程）；
（3）若L经过的中点，
①求L的解析式（要求有必要过程）；
②请直接写出点P到距离的最大值______．
【答案】（1），
（2）解：将点代入抛物线L：，
得，，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵，∴的中点，
①将、代入抛物线L：，
∴，
解得： ，
∴L的解析式为，
②
【解析】【解答】（1）解：在中，
令，解得，
则B的坐标是，
令，解得，
则A的坐标是；
故答案为：，；
（2）②联立直线与抛物线L：得，
，解得：，，
∴，，
设点，点P到的距离为h，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，h的最大值为，
∴点P到AB距离的最大值为．
【分析】（1）利用一次函数解析式直接求出点A、B的坐标即可；
（2）将点A（3，0）代入可得，再化简可得；
（3）①将点A、D的坐标分别代入，求出b、c的值即可；
②联立方程组求出点A、C的坐标，再设点，点P到的距离为h，利用“”可得，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：在中，
令，解得，
则B的坐标是，
令，解得，
则A的坐标是；
故答案为：，；
（2）解：将点代入抛物线L：，
得，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴的中点，
①将、代入抛物线L：，
∴，
解得： ，
∴L的解析式为，
②联立直线与抛物线L：得，
，解得：，，
∴，，
设点，点P到的距离为h，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，h的最大值为，
∴点P到AB距离的最大值为．
19．被誉为“中轴线上第一桥”的万宁桥（如图1），是北京中轴线15个遗产构成要素之一，是中轴线上最古老的桥梁，也是北京市目前唯一还在为社会交通服务的元代桥梁．据记载，元代初建时桥下的净空高度约为6米，其后由于湖底淤积逐渐增高，桥下的净空高度不断减小，遂给人难以通船的感觉．
（1）假设万宁桥拱截面为抛物线，以抛物线对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2），求该抛物线的解析式；
（2）现有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行（如图2）．水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把A、B、E代入解析式得
，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船能通过，理由：
船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米
则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，
当时，代入，
解，
∴此船能通过桥洞．
【解析】【分析】（1）由题意知，，，，设抛物线解析式为，根据待定系数法将点A，C，E坐标代入即可求出答案.
（2）由题意可得长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，将x=2代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：
由题意知，，，，
设抛物线解析式为，
把A、B、E代入解析式得
，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）解：此船能通过，理由：
船正对着桥洞在河中航行，水面到棚顶的高度为米，遮阳棚的宽为4米，水位高1米
则长方体形状的遮阳棚最右上端的坐标为：，
当时，代入，
解，
∴此船能通过桥洞．
20．已知二次函数.
（1）将二次函数化成的形式；
（2）求图象与轴，轴的交点坐标.
【答案】（1）解：
=+2x+1-4
=
（2）解：当与x轴相交时，y=0；
可得；
因式分解可得（x+3)(x-1)=0；
解得 x=-3或1；
∴与x轴的交点坐标为(-3，0)和（1，0）
当与y轴相交时，x=0，此时y=-3；
∴与y轴的交点为（0，-3）
【解析】【分析】（1）根据配方法将二次函数化成顶点式即可；
（2）根据二次函数图象与坐标轴的交点的坐标的关系，与x轴的交点坐标中纵坐标为0，与y轴的交点坐标中横坐标为0，将已知坐标代入函数即可求出坐标.
21．已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b(ab≠0)的图象在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点(-1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1图象的顶点，
①求证：2a+b=0．
②当1【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：
（2）解：①∵y1=ax2+bx=a(x+)2
∴顶点坐标为(-，)
∵函数y2的图象经过y1图象的顶点
∴=a()+b，整理得2ab+b2=0．
∵ab≠0，
∴2a+b=0．
②∵b=-2a，
∴y1=ax2+bx=ax2-2ax=ax(x-2)，
y2=ax+b=ax-2a=a(x-2)，
∴y1-y2=a(x-2)(x-1)．
∵1∴x-2<0，x-1>0，(x-2)(x-1)<0，
∴当a>0时，a(x-2)(x-1)<<0，y1当a<0时，a(x-2)(x-1)>0，y1>y2．
【解析】【分析】（1）根据“函数y1的图象过点(-1，0)，函数y2的图象过点(1，2)”列出方程组，再求出a、b的值即可；
（2）①先求出函数y1的顶点坐标(-，)，再将其代入y2=ax+b(ab≠0)，可得=a()+b，整理得2ab+b2=0，再求出2a+b=0即可；
②先利用作差法可得y1-y2=a(x-2)(x-1)，再结合10时；当a<0时，最后比较大小即可.
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与轴交于点.
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若点是抛物线上任意一点（不与点重合），直线经过A，B两点，当时，总有，求的最小值.
【答案】（1）解：因为抛物线过点， 所以4+2b+c=4，所以.
（2）解：由（1）得与轴交于点，
当时，，
点的坐标为，
直线经过点，
，
，
令
整理得0，解得（舍去），
解得，
的最小值为-2.
【解析】【分析】(1)将点的坐标代入，适当变形后，得到b，c之间的关系；
（2）根据抛物线与y轴交点A，取x=0，求出交点坐标，再设，求出方程的解，转化为关于b的不等式，由此求最小值.
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上
（1）求出直线l的函数解析式；
（2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围
【答案】（1）解：把点，代入中，
得：，解得，
直线的解析式为：；
（2）解：根据题意可得：，
，
抛物线开口向上，对称轴为，
自变量满足时，函数的最小值为，
当时，有，
或，
在对称轴左侧，随的增大而减小，
时，有最小值，
；
在对称轴右侧，随的增大而增大，
时，有最小值；
综上所述：或；
（3）解：直线的解析式为：，
抛物线与直线联立：，
，
，
，
抛物线与y轴交点为，对称轴为；
时，抛物线对称轴为，
当时，，当时，，则，即，
，
时，抛物线对称轴为，
当时，，即，
，
的取值范围为：或．
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法把点，代入中，计算即可求出直线的解析式，解答即可 ；
（2）分两种情况：时，抛物线对称轴为，时，抛物线对称轴为，分别求解即可解答；
（3）当结合已知得到、当时解得，结合，分别求解即可解答．
24．大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：
（1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式；
（2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
【答案】（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式，根据待定系数法将点代入即可求出答案.
（2）将y=1.5代入抛物线表达式可得，再根据两点间距离可得，设直线的函数关系式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入可得直线的函数关系式为，设，根据直线平行性质可得，再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：由题意可得，
设与之间的函数关系式，将点代入，
得，解得．
水流所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到地面的距离定为1.5米，
将代入得：
，
解得：，
，
，
设直线的函数关系式为，将点，代入得，
，解得：，
直线的函数关系式为，
设，
，
，
，
，
当时，有最大值，为1，
做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米．
25．年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量个与销售单价元满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为元？
（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设一次函数关系式为，
由图象可得，当时，；时，，
，
解得：，
销售单价不低于成本价且不高于成本价的倍，
与之间的关系式为：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得或，
，
，
答：每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为元时，该商家每天的销售利润为元；
（3）解：设该商家每天获得的利润为元，
则，
，，
当时，最大，最大值为，
答：当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，再根据销售单价不低于成本价且不高于成本价的倍，求出x的取值范围即可；
（2）利用利润公式求出， 再解方程求解即可；
（3）利用利润公式求出w关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可。
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