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图形的相似 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．生活中到处可见黄金分割的美，如上图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）．
A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米
2．已知 ， ， ， 是成比例线段，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP·AB；④AB·CP=AP·CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是( )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
4．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，五线谱是由等距离，等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．3
6．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB∥EF∥CD，点F在BC上，AC与BD交于点E，AB＝2，CD＝3，则EF长为（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．2.5
8．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2）
C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
9．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M，N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ．
12．如图，某小区门口的栏杆短臂AO＝1m，长臂OB＝12m．当短臂端点高度下降AC＝0.5m，则长臂端点高度上升BD等于 m（栏杆的宽度忽略不计）；
13．如图所示，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器面板上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点（即 是 与 的比例中项），支撑点 是靠近点 的黄金分割点，则 cm， cm．
14．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D'＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ .
15．如图，△ABC接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝ .
16．如图，一张矩形纸片中，（m为常数）.将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P.当点H落在的中点时，且，则 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知(a+b)：(b+c)：(c+a)=7：14：9.
（1）求a：b：c 的值；
（2）求 的值.
18．有一块三角形铁片ABC，BC=12．高AH=8，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．
19．如图，平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE与AD相交于点F，若BC=8，CD=3，AE=1．求：AF的长．
20．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
21．小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树 的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部 ，如图，围栏 米，小刚在 延长线 点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点 时，恰好可以通过镜子看到树顶 ，这时小刚眼睛 与地面的高度 米， 米， 米；同时，小亮在 的延长线上的 处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶 的仰角 ， 米，请根据题中提供的相关信息，求出古树 的高度.
22．如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF、CF，CF与OA交于点G.
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：OD·EG=OG·EF；
（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半径.
23．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE AB＝AD AC．
（1）求证：∠FEB＝∠C；
（2）连接AF，若，求证：EF AB＝AC FB．
24．如图，在中，，，点D是上一点，作交射线于E，平分交于F．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）若，求．
25．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D．已知小华的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少
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图形的相似 单元综合知识梳理卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．生活中到处可见黄金分割的美，如上图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）．
A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米
【答案】D
【解析】【解答】解：∵雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，
∴，
∵b为2米，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；
故答案为：D．
【分析】根据黄金比例的定义可得，再结合b=2，求出a的值即可。
2．已知 ， ， ， 是成比例线段，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
解得：d＝12.5.
故答案为：C.
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得 ，又由a＝2cm，b＝5cm，c＝5cm，即可求得d的值.
3．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP·AB；④AB·CP=AP·CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是( )
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：当∠ACP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB；
故①符合题意；
当∠APC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB；
故②符合题意；
当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB；
故③符合题意；
当CP AB＝AP CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似．
故④不符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
4．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【解析】【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP
再证明时注意图形中隐含的相等的角。
【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD=∠A=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角。
5．如图，五线谱是由等距离，等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，
，
五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
，
，
解得，
故答案为：C．
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出BC的长即可。
6．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，
∴S△ADE= S△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =（ ）2= ，
∴ = ，
故答案为：D
【分析】由相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可。
7．如图，AB∥EF∥CD，点F在BC上，AC与BD交于点E，AB＝2，CD＝3，则EF长为（ ）
A．1 B．1.2 C．2 D．2.5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥EF∥CD，
∴△EFC∽△ACB，△BEF∽△BCD，
∴
由①+②得
解之：EF=1.2.
故答案为：B.
【分析】由已知A可证得B∥EF∥CD，△EFC∽△ACB，△BEF∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，再由①+②，建立关于EF的方程，解方程求出EF的长。
8．在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2）
C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，﹣6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（﹣2，﹣4）
故答案为：A．
【分析】根据题意首先得出这两个三角形的位似比，而且这两个三角形分别位于位似中心的异侧，根据位似的性质A点的对应点A'的坐标只需要在A点的横纵坐标上分别乘以位似比的相反数即可。
9．如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，且正方形的边长为，则，
∴，
设，则，
∴，解方程得，，
经检验是原方程的解，
∴，则，
故答案为：．
【分析】设，则，根据题意列出方程，再求解即可。
10．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M，N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：（1）当0＜x≤1时，如图1，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴ ，
即 ，
∴MN=x，
∴y= CP×MN= （0＜x≤1），
∵﹣ ＜0，∴函数图象开口向下；（2）当1＜x＜2，如图2，
同理证得，△CDB∽△CNM，
，
即 ，
∴MN=2﹣x，
∴y= CP×MN= （2﹣x）×（2﹣x）= ，
∵ ＞0，
∴函数图象开口向上；
综上，答案A的图象大致符合；
故答案为：A．
【分析】（1）当0＜x≤1时，由菱形的性质及平行线分线段成比例得出△AMN∽△ABD，再由相似三角形的性质得出MN=x，再由y= CP×MN得出解析式，找到图像开口方向；（2）当1＜x＜2，方法同（1）一样得出MN=2﹣x，再由y= CP×MN得出解析式，找到图像开口方向；综上所述得出结论。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AD：DE=3：5，AE=8，
∴AD=3，DE=5；
∵∠C=∠E，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴AD DE=BD DC（相交弦定理），而BD=4，
∴DC=．
故答案为．
【分析】求出AD、DE的长度；证明A、B、E、C四点共圆，运用相交弦定理列出关于线段DC的等积式，即可解决问题．
12．如图，某小区门口的栏杆短臂AO＝1m，长臂OB＝12m．当短臂端点高度下降AC＝0.5m，则长臂端点高度上升BD等于 m（栏杆的宽度忽略不计）；
【答案】6
【解析】【解答】解：设长臂端点高度上升BD为x米，
则 ，
∴解得：x＝6．
故答案为：6．
【分析】根据相似三角形的性质，可知：，进而即可求解．
13．如图所示，乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器面板上，支撑点 是靠近点 的黄金分割点（即 是 与 的比例中项），支撑点 是靠近点 的黄金分割点，则 cm， cm．
【答案】；
【解析】【解答】解：由题意及 得：
（cm）；
（cm），
（cm）；
故答案为 ； ．
【分析】根据题意及黄金分割比直接进行求解即可．
14．已知四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D'＝2：4，AB＝2，则A'B'＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'相似，边AB与边A'B'是对应边，S四边形ABCD：S四边形A'B′C′D′＝2：4，
∴，
∵AB＝2，
∴A′B′＝2.
故答案为：2.
【分析】根据相似图形的面积比等于相似比的平方可得相似比，结合AB的值就可求出A′B′的值.
15．如图，△ABC接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：作直径AE，连接CE，
∴∠ACE=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB=90°，
∴∠ACE=∠AHB，
∵∠B=∠E，
∴△ABH∽△AEC，
∴，
∴，
∵AC=24，AH=18，AE=2OC=26，
∴.
故答案为：.
【分析】作直径AE，连接CE，由圆周角定理可得∠ACE=90°，∠B=∠E，根据垂直的概念可得∠AHB=90°，证明△ABH∽△AEC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．如图，一张矩形纸片中，（m为常数）.将矩形纸片沿折叠，使点A落在边上的点H处，点D的对应点为点M，与交于点P.当点H落在的中点时，且，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长PC、EH交于G，
四边形ABCD是矩形，
，，，
∴△CGH∽△BEH，
，，
H落在BC的中点，
，
，，
，
设，，
则，，，，
由翻折可得：，
，
∽，
，
，
解得：，
，，
，
，
.
故答案：.
【分析】延长PC、EH交于点G，根据矩形的性质可得DG∥AB，推出△CGH∽△BEH，得，则HG=HE，CG=BE，设CP=x，BE=a，则AB=CD=3x，AE=3x-a，CG=a，GP=x+a，由折叠得HG=HE=AE=3x-a，证△CGH∽△HGP，由相似三角形对应边成比例建立方程可用含x的式子表示出a，可得CG、HG，进而用勾股定理表示出CH，从而即可解决此题.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 已知(a+b)：(b+c)：(c+a)=7：14：9.
（1）求a：b：c 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵(a+b)：(b+c)：(c+a)=7：14：9，
∴可设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k(k≠0)，
∴a+b+c=15k，
∴a=k，b=6k，c=8k.
a：b：c=1：6：8
（2）解：
【解析】【分析】（1）设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，然后求出a=k，b=6k，c=8k，计算比值即可；
（2）把a=k，b=6k，c=8k代入分式计算解答即可.
18．有一块三角形铁片ABC，BC=12．高AH=8，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．
【答案】解：(1)种方案更好一些．设方案(1)中DE=x．根据题意，得 ．解得 ， ，面积为 ；设方案(2)中DE=2y．根据题意，得 ．解得y=3，面积为18．∵ ，∴(1)种方案更好一些
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得：DG∥BC，于是可得 ADG∽ ABC，根据相似三角形的性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比可得比例式求得矩形边长，并求得矩形的面积；
（2）同理可求得矩形的面积，比较两个矩形的面积的大小即可判断设计方案（1）更好。
19．如图，平行四边形ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE与AD相交于点F，若BC=8，CD=3，AE=1．求：AF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，
∴△EAF∽△EBC，
∴ ，
∵BC=8，CD=3，AE=1，
∴BE=4，
∴ ，
∴AF=2．
【解析】【分析】根据题中的条件，可证明△EAF∽△EBC，再根据对应边成比例，求出AF的值。
20．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
【答案】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴
∴EC＝2AE＝，
∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件先证明四边形AEFD是平行四边形．再证明∠AEF＝90°． 即可求证；
（2）根据矩形的性质以及已知条件证明 △AEC∽△CFD， 利用相似三角形的性质列出比例式求得EC的值，从而求解.
21．小刚和小亮想用测量工具和几何知识测量公园古树 的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部 ，如图，围栏 米，小刚在 延长线 点放一平面镜，镜子不动，当小刚走到点 时，恰好可以通过镜子看到树顶 ，这时小刚眼睛 与地面的高度 米， 米， 米；同时，小亮在 的延长线上的 处安装了测倾器（测倾器的高度忽略不计），测得树顶 的仰角 ， 米，请根据题中提供的相关信息，求出古树 的高度.
【答案】解：设古树AB的高度为x米，
∵ ， 米，
∴ 米，
∴ 米，
∴ 米，
由题意可知，在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： .
故古树AB的高度为15米.
【解析】【分析】设古树AB的高度为x米，用含x的代数式表示出BD，BC，BE的长；再证明△ABE∽△GFE，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于x的方程，解方程求出x的值.
22．如图，在△OAB中，OA=OB，C为AB中点，以O圆心，OC长为半径作圆，AO与⊙O交于点E，直线OB与⊙O交于点F和D，连接EF、CF，CF与OA交于点G.
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）求证：OD·EG=OG·EF；
（3）若AB=8，BD=2，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：证明：∵OA=OB，C为AB中点，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线.
（2）解：证明：∵OA=OB，C为AB中点，
∴∠AOC=∠BOC，
∴ ，
∴∠EFC=∠DFC，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF，
∴∠EFC=∠OCF，
又∵∠EGF=∠OGC，
∴△EGF∽△OGC，
∴ ，
∵OD=OC，
∴ ，
∴ OD·EG=OG ·EF．
（3）解：∵AB=8，C为AB中点，
∴BC=4，
设⊙O的半径为r，
∵在Rt△OCB中，OC2+BC2=OB2，
∴r2+42=(r+2)2，
解得：r=3，
∴⊙O 的半径为3．
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一”易得OC⊥AB，即直线AB是⊙O的切线；（2）要证OD·EG=OG·EF，就要证 ，而OD=OC，就要证 ，则要证△EGF∽△OGC，而∠EGF=∠OGC，只需要证∠EFC=∠OCF即可；（3）在Rt△OCB中，⊙O的半径为r，由勾股定理构造方程解答.
23．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE AB＝AD AC．
（1）求证：∠FEB＝∠C；
（2）连接AF，若，求证：EF AB＝AC FB．
【答案】（1）证明：∵AE AB＝AD AC．
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED＝∠C，
又∵∠AED＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠C．
（2）解：∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，
∴△EFB∽△CFD，
∴∠FBE＝∠FDC，
∵，
∴，
∴△FBA∽△CDF，
∴∠FEB＝∠C
∴AF＝AC，
∵∠FEB＝∠C，
∴∠FEB＝∠AFB，
又∵∠FBE＝∠ABF，
∴△EFB∽△FAB，
∴，
∵AF＝AC，
∴EF AB＝AC FB．
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等证相似；
（2）根据两个角相等证 △EFB∽△CFD， 利用对应边成比例，再证 △FBA∽△CDF， 利用相似三角形的性质，结合等腰三角形的判定进行证明。
24．如图，在中，，，点D是上一点，作交射线于E，平分交于F．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）若，求．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，
∴∠BAD＝∠FDC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△CDF，
∴＝，
∴AB CF＝BD CD
（2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H．
∵∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC＝3，
∴BC＝AB＝6，
∵AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，AH＝BH＝CH＝3，
∵AD⊥DE，∠AED＝75°，
∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，
∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，
∴∠DAH＝30°，DH＝AH tan30°＝，
∴BD＝3+，CD＝3﹣，
∵AB CF＝BD CD，
∴3 CF＝（3+）（3﹣），
∴CF＝；
（3）解：如图2﹣1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设BD＝a，则CD＝3a，BC＝4a．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AH＝HB＝HC＝2a，DH＝a，∠C＝∠B＝45°，
∵∠AHD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，
∴∠ADH+∠EDG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，
∴∠ADH＝∠DEG，
∴△ADH∽△DEG，设EG＝CG＝y，CD=3a，则DG＝3a+y，
∴＝，
∴＝，
解得y＝3a，
∴CG＝EG＝3a，EC＝a，
∵CF＝＝＝a，
∴AF＝AC﹣CF＝a﹣a＝a，EF＝CF+CE＝a+a＝a，
∴＝＝．
【解析】【分析】（1）可根据两角对应相等的两个三角形相似，证得 △ABD∽△CDF， 然后根据相似三角形的性质得出结论即可；
（2） 如图2中，过点A作AH⊥BC于H，首先根据勾股定理求得BC=6，再根据等腰三角形的性质得出BH＝CH＝3，AH＝BH＝CH＝3，再根据角的计算 求得∠ADH=60°，可求得DH=，从而得出 BD＝3+，CD＝3﹣， 然后根据（1）的结论，即可求得CF的长度；
（3）如图2-1， 过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设BD＝a，则CD＝3a，BC＝4a ，利用相似三角形的性质，求出AF、EF即可解决问题。
25．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D．已知小华的身高是1.6米，两个路灯的高度都是9.6米，且．
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少
【答案】（1）解：设.
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
∴，
即两个路灯之间的距离．
（2）解：设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，连接，并延长交的延长线于点F，则即为此时他在路灯A下的影子长，
设 ，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解，并且符合实际意义，
所以当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影子长是．
【解析】【分析】（1）设，根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，再根据其相似比性质代入相应值计算即可求出答案；
（2）设小华走到路灯B的底部时头的顶部为E，则即为此时他在路灯A下的影子长，连接，并延长交的延长线于点F，设 ，根据直线平行性质及相似三角形判定定理可得，再根据其相似比性质代入相应值计算即可求出答案.
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