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第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。
01
经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。
02
能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题，在运算和应用中体会性质的实用价值。
03
02
新知导入
回顾
直角三角形的性质和判定定理是什么？
直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
03
新知探究
任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度.
任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D.
任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合.
03
新知探究
思考
在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？
BC=AB
思考：你能通过几何语言进行证明吗？
03
新知探究
已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.
求证：BC=AB.
证明：取斜边AB的中点D，连接CD.
根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD，
于是△DBC是等腰三角形.
由于∠ACB=90°，∠A=30°，
因此∠B = 60°.
于是△DBC是等边三角形，
因此BC=BD=AB.
03
新知探究
直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ BC=AB.
03
新知探究
思考
可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试.
答案:可以.下面我们用三角尺验证:如图所示，把两个含30°角的三角尺较长的直角边拼在一起，可以构成等边三角形，该等边三角形是轴对称图形，较长的直角边所在的直线为该等边三角形的一条对称轴。这时，两条较短的直角边之和为等边三角形的一边，而斜边也为等边三角形的一边，所以30°角所对的直角边等于斜边的一半.
03
新知探究
在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30√("3" )海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗 (已知√("3" )≈1. 732)
例2
思考：什么情况轮船会触礁？
当点A到轮船航线所在直线的距离大于20海里时不会触礁.
03
新知探究
分析：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D。AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
03
新知探究
解：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°，
∴AD=AO=×30=15≈25. 98(海里).
∵AD ≈ 25. 98 > 20，
∴轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
03
新知探究
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，
求证：∠A = 30°.
例3
证明:如图，取斜边AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD =AB=BD.
∵BC=AB，∴BC=BD=CD，
即△BDC为等边三角形.
∴∠B = 60°.
∵∠A+∠B=90°，∴∠A=90°∠B=30°
03
新知探究
如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF
因为∠BCA=90°，BC=CF，
所以AC垂直平分BF，
于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
又BC=AB ，BC=CF=BF，
方法二
03
新知探究
所以BF=AB，
因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形
所以∠B = 60°，
因此∠CAB = 90°- ∠B = 30°
方法二
03
新知探究
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
几何语言
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB，
∴∠A=30°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，则AB等于（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是边AC上一点，且AD=DB=4，则边BC的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
B
B
04
课堂练习
3.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC=150°，BC的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．7.5
B．5
C．10
D．5
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.在Rt△ABC中，若∠B=90°，AC=10cm，AB=5cm，则∠A= 度．
5.三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 cm．
6.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=75°，过点A，点C分别作AB，AC的垂线相交于点D，则= ．
60
4
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度 边AB与BC之间有什么关系
解：设∠A的度数为x，则∠B=2x，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
代入得：x+2x=90°，即3x=90°，解得x=30° 。
因此，∠A=30°，∠B=2×30°=60°。
∴AB=2BC。
05
课堂小结
直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
B
06
作业布置
2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
B
06
作业布置
3.如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为（ ）
A．3
B．4.5
C．6
D．7.5
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，求ON的长.
06
作业布置
解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，
∵∠ODP=90°，∠POD=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=OP= ×8=4，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5．
07
板书设计
直角三角形的性质3：
几何语言：
5.1 直角三角形的性质定理（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第二课时《5.1 直角三角形的性质定理》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《含30°角的直角三角形的性质》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第一节第二课时的内容。本节课是是“直角三角形性质定理”中的核心内容，承接一般直角三角形的性质，是“特殊角+特殊图形”的知识延伸。教材先通过“折叠含30°角的直角三角形”的操作活动引出性质，再用演绎推理完成证明，既体现了“从直观到抽象”的认知规律，也为后续勾股定理的应用、解直角三角形等内容奠定了基础。
学习者分析 学生已经掌握了直角三角形的基本性质、全等三角形的判定，对“特殊角（如直角、60°角）”的相关结论有初步认知，但对“30°角”与“对边和斜边的倍分关系”缺乏直观关联。从素养层面看，学生能完成简单的几何操作，但将“折叠操作”转化为“逻辑证明”的能力不足；能识别直角三角形的基本要素，但对“角的度数”到“边的长度关系”的推导思路不够清晰。此外，学生容易混淆“30°角对边是斜边的一半”的前提条件（必须是直角三角形），在实际应用中常忽略“直角”这一关键限制，需要通过实例和辨析强化理解。
教学目标 1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。 3.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题，在运算和应用中体会性质的实用价值，发展数学运算和应用意识。 4.在动手操作和探究证明的过程中，养成主动思考、敢于质疑的习惯，感受几何知识的严谨性，激发对数学探究的兴趣。
教学重点 含30°角的直角三角形的性质的探究与证明；性质在边长计算和实际问题中的应用。
教学难点 性质的演绎证明思路的形成。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】直角三角形的性质和判定定理是什么？ 直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：直角三角形的性质 【动手操作】任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度. 任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D. 任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合. 思考：在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？ 教师提问：你能通过几何语言进行证明吗？ 已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°. 求证：BC=AB. 证明：取斜边AB的中点D，连接CD. 根据直角三角形的性质定理得，CD= AB=BD， 于是△DBC是等腰三角形. 由于∠ACB=90°，∠A=30°， 因此∠B = 60°. 于是△DBC是等边三角形， 因此BC=BD=AB. 【归纳】直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴ BC=AB. 【思考】可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试. 答案:可以.下面我们用三角尺验证:如图所示，把两个含30°角的三角尺较长的直角边拼在一起，可以构成等边三角形，该等边三角形是轴对称图形，较长的直角边所在的直线为该等边三角形的一条对称轴。这时，两条较短的直角边之和为等边三角形的一边，而斜边也为等边三角形的一边，所以30°角所对的直角边等于斜边的一半. 学生活动2： 学生动手操作，直观感受 根据问题去观察，认真思考 认真思考 运用已学知识进行证明 认真听讲，了解直角三角形的性质 认真思考，举手回答问题 认真听讲活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：例题精讲教师活动3： 例2在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1. 732) 思考：什么情况轮船会触礁？ 教师讲授：当点A到轮船航线所在直线的距离大于20海里时不会触礁. 分析：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D。AD的长为A岛到轮船航道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB. 过点A作AD⊥OB，垂足为D. 在Rt△AOD中，AO=30海里，∠AOD=30°， ∴AD=AO=×30=15≈25. 98(海里). ∵AD ≈ 25. 98 > 20， ∴轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 例3如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB， 求证：∠A = 30°. 方法一 证明:如图，取斜边AB的中点D，连接CD. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD =AB=BD. ∵BC=AB， ∴BC=BD=CD，即△BDC为等边三角形. ∴∠B = 60°. ∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=90°∠B=30° 方法二 如图，延长BC到F，使CF=BC，连接AF 因为∠BCA=90°，BC=CF， 所以AC垂直平分BF， 于是AB=AF(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又BC=AB ，BC=CF=BF， 所以BF=AB， 因此BF = AB = AF，即△ABF是等边三角形 所以∠B = 60°， 因此∠CAB = 90°- ∠B = 30° 【归纳】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 几何语言 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB， ∴∠A=30°.学生活动3： 学生认真思考 认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考 认真思考，独立完成习题 认真听讲 一题多解，发散思维 认真听讲 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.在中，，，，则等于（ ） A．2 B．8 C．4 D．6 2.如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A． B． C．10 D．5 选做题： 4.在中，若，，，则 度． 5.三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 cm． 6.如图，中，，，过点，点分别作，的垂线相交于点，则 ． 【综合拓展类作业】 7.在中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ） A． B． C． D． 2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（ ） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【综合拓展类作业】 4.如图，已知，点在边上，，点M，N在边上，，若，求的长.
教学反思 本节课通过“折叠操作—猜想性质—证明性质—应用性质”的流程展开，大部分学生能直观感知并掌握性质的内容，但在证明环节，部分学生对“构造等边三角形”的辅助线添加思路理解困难，反映出学生“从操作到推理”的转化能力仍需加强。在应用环节，学生对“30°角必须在直角三角形中”的前提条件仍有疏漏，说明需要增加“反例辨析”的练习。后续教学中，应进一步强化“操作—推理”的衔接指导，设计更多“易混淆情境”的辨析题，帮助学生深化对性质的理解，同时要关注学生证明过程中的语言表达，提升逻辑推理的规范性。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第5章 直角三角形
5.1 直角三角形的性质定理（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。
2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。
3.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题，在运算和应用中体会性质的实用价值，发展数学运算和应用意识。
学习重点：
含30°角的直角三角形的性质的探究与证明；性质在边长计算和实际问题中的应用。
学习难点：
性质的演绎证明思路的形成。
学习过程
一、复习回顾
【回顾】直角三角形的性质和判定定理是什么？
探究新知
探究：直角三角形的性质
教材第159页
【动手操作】
任务一：画一个锐角为 30°的直角三角形用直尺分别测量斜边和直角边的长度.
任务二：将直角三角形剪裁下来，将直角三角形进行折叠，使点A与点B重合，找到AB的中点D.
任务三：将直角三角形进行折叠，使BC与BA所在直线重合.
思考：在一个锐角为 30°的直角三角板中，这个锐角所对直角边的长度与斜边的长度存在怎样的数量关系？你能通过几何语言进行证明吗？
【归纳】直角三角形的性质3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【思考】可以运用轴对称知识证明结论成立吗？试一试.
三、例题精讲
例2在A岛周围20海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1. 732)
例3如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求证：∠A = 30°.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.在中，，，，则等于（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
2.如图，在中，，，是边上一点，且，则边的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．的长是10，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A． B． C．10 D．5
选做题
4.在中，若，，，则 度．
5.三角形三内角的度数之比为1：2：3，最大边的长是8cm，则最小边的长是 cm．
6.如图，中，，，过点，点分别作，的垂线相交于点，则 ．
【综合拓展类作业】
7.在中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？
六、作业布置
1.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边沿所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AC，若CD＝2，则BD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（ ）
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
4.如图，已知，点在边上，，点M，N在边上，，若，求的长.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】】解：∵在中，，，
∴，
∵，
∴．
故选：B
2.【答案】B
【解析】解∶∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
故答案为∶B．
3.【答案】D
【解析】解：作交的延长线于E，则，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
4.【答案】60．
【解析】解：∵AC=10cm，AB=5cm，∠B=90°
∴∠C=30°
∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-30°-90°=60°
故答案为：60.
5.【答案】4．
【解析】解：三角形三内角的度数之比为1：2：3，
则最小的角是30度，最大角是直角，
因而最小边是30°的锐角所对的边，等于斜线的一半是4cm．
故答案为：4.
6.【答案】．
【解析】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
7.【答案】解：设∠A的度数为x，则∠B=2x，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
代入得：x+2x=90°，即3x=90°，解得x=30° 。
因此，∠A=30°，∠B=2×30°=60°。
∴AB=2BC。
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：如图所示，过点C作CD⊥AD，CD=3cm，
在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6cm．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】连接AD，如图所示：
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AC，CD=2，∠C=30°，
∴∠DAC=∠C=30°，AD=CD=2，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2AD=2×2=4，
故答案为：B.
3.【答案】C
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
在等边中，BD平分交于点，
，
．
故答案为：C．
4．【答案】解：过作于点，
在中，
，，
，
，
，，，
，
．
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