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第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理（3）
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。
2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。
3.掌握逆定理判定直角三角形的方法，能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型。
学习重点：
1.勾股定理逆定理的探究、证明与内涵理解。
2.运用逆定理规范判定直角三角形。
学习难点：
1.逆定理演绎证明中辅助线添加与推理逻辑构建。
2.区分勾股定理与逆定理的适用场景，避免逻辑混淆。
学习过程
一、复习回顾
【回顾】什么是勾股定理？
二、探究新知
探究：勾股定理的逆定理
教材第169页
【说一说】我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为，那么”它的逆命题是怎样的？
【探究】如图，在△ABC中，已知AB=，BC=，AC=，且，那么△ABC是直角三角形吗？
【归纳】勾股定理的逆定理：
__________________________________________________________________________
几何语言：
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
三、例题精讲
例4判断由线段组成的三角形是不是直角三角形.
（1）；
（2）.
例5如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列各组数作为三角形的三边长，其中能组成直角三角形的是( )
A．1， 2， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．4， 5， 6
2.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定
3.在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
选做题
4.如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ，最大边所对的角是 .
5.已知中，，，，且满足．则边上的高为 ．
6.如图所示，已知，，，则的长为 ．
【综合拓展类作业】
7.如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，．
（1）求的度数；
（2）求的长．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么
六、作业布置
1.若三角形的三边长分别为且满足则此三角形中最大的角是( )
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定
2.如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
4.数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，．
（1）请你判断的形状，并说明理由：
（2）求三角形腰的长度．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】C
【解析】解： 故不是直角三角形，故不正确；
故不是直角三角形，故不正确；
故是直角三角形，故正确；
故不是直角三角形，故不正确.
故答案为：C .
2.【答案】A
【解析】解：∵在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：A、由a：b：c=2：3：4，设a=2x，b=3x，c=4x，
∴a2+b2=4x2+92=13x2，而c2=16x2
∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，本选项符合题意；
B、∠A+∠B=90°，得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
C、由∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
D、由b2=a2-c2得到b2+c2=a2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
故选：A.
4.【答案】直角三角形；直角.
【解析】解： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是：直角三角形；最大边所对的角是：直角，
故答案为：直角三角形；直角.
5.【答案】．
【解析】解：∵，
又∵
∴，
解得，
∵，
，
∴，即，
∴是直角三角形，∠C＝90°，
设斜边上的高为，
∴，
∴；
故答案为： ．
6.【答案】．
【解析】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
7.【答案】（1）解：∵，
∴是直角三角形，．
（2）解：∵，
∴，
∴在中，，
∴.
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：
∴该三角形为直角三角形.
故最大的角是直角
故答案为：B .
2.【答案】B
【解析】解：连接，
∵
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积；
故选B．
3.【答案】A
【解析】解：正方形的面积，
∴，
正方形的面积，
∴，
∴，
正方形的面积的，
，
∴，
∴
，
是中点，
，
故答案为：A．
4．【答案】（1）解：，，，
，
为直角三角形。
（2）解：设，则，
由（1）可知，
∴，
即：，
∵x＞0，
解得，
腰长为．
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第5章 直角三角形
5.2 勾股定理及其逆定理（3）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。
01
经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。
02
掌握逆定理判定直角三角形的方法，能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型。
03
02
新知导入
回顾
什么是勾股定理？
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么.
几何语言
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴。（或）
03
新知探究
说一说
我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为，那么”它的逆命题是怎样的？
逆命题为：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.
思考：勾股定理的逆命题是真命题吗？
03
新知探究
探究
如图，在△ABC中，已知AB=，BC=，AC=，且，那么△ABC 是直角三角形吗？
到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角.
03
新知探究
联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC 与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC 中有一个角为直角，则可判断△ABC是直角三角形. 下面我们按此思路来探索.
思考：有什么方法可以证明角相等？
先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一.
03
新知探究
如图，作Rt△A′B′C′，使∠C'=90°，B'C'=，A'C'=.
在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得，=.
因为，
所以=，
即A'B'=.
在△ABC和△A'B'C'中，
所以△ABC ≌ △A'B'C'（边边边）.
因此∠C = ∠C'= 90°.
所以△ABC是直角三角形.
03
新知探究
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言
∵在△ABC中，，
∴△ABC是直角三角形.
03
新知探究
直角三角形的判定方法
1.利用直角定义直接判定：若一个三角形中有一个内角是90°（直角），则这个三角形是直角三角形。
2.利用角的互余关系判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.利用勾股定理的逆定理判定：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.
03
新知探究
判断由线段组成的三角形是不是直角三角形.
（1）；
（2）.
例4
解:（1） 因为，，
所以.
因此，这个三角形是直角三角形.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
03
新知探究
解:（2） 因为，，
所以 .
因此，这个三角形不是直角三角形.
判定三角形的类别
1.确定最长边：c
2.验证与的关系：①若，则为直角三角形
②若，则为锐角三角形
③若，则为钝角三角形
03
新知探究
如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长.
例5
解:在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，
因为，
即，
所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°.
所以∠ADC=180°∠ADB=90°.
在Rt△ADC中，，
所以DC= = 15.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各组数作为三角形的三边长，其中能组成直角三角形的是( )
A．1， 2， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．4， 5， 6
2.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定
3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．=2:3:4 B．∠A+∠B=90°
C．∠A:∠B:∠C=1:2:3 D．=
C
A
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ，最大边所对的角是 .
5.已知中，，，，且满足．则边上的高为 ．
6.如图所示，已知，，，则的长为 ．
直角三角形
直角
2
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD．若AB=10，AC=17，BD=6，AD=8，．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求BC的长．
（1）解：∵
，
∴是直角三角形，．
04
课堂练习
（2）解：∵，
∴，
∴在中，，
∴.
05
课堂小结
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言
∵在△ABC中，，
∴△ABC是直角三角形.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.若三角形的三边长分别为，且满足，则此三角形中最大的角是( )
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．无法确定
B
06
作业布置
2.如图，四边形ABCD中，∠B=90°,AB=9m,BC=12m,CD=8m，AD=17m，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．108
B．114
C．122
D．158
B
06
作业布置
3.如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ）
A．
B．
C．
D．5
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片ABC，已知底边BC=20cm，点D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm．
（1）请你判断△BCD的形状，并说明理由.
（2）求三角形腰AB的长度．
（1）解：，，，
，
为直角三角形。
06
作业布置
（2）解：设，则，
由（1）可知，
∴，
即：，
∵＞0，
解得，
腰长为．
07
板书设计
勾股定理：
勾股定理的逆定理：
5.2 勾股定理及其逆定理（3）
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第三课时《5.2 勾股定理及其逆定理》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《勾股定理的逆定理》是湘教版八年级上册第5章《直角三角形》的第二节第三课时的内容。本节课是直角三角形判定的核心知识，与勾股定理形成“性质—判定”逻辑闭环，核心是通过三角形三边平方关系判定直角，搭建“数→形”转化桥梁。教材以古埃及绳结造直角情境切入，经猜想、拼图验证、演绎证明推导定理，既完善直角三角形研究体系，又承载“观察—猜想—验证—证明”探究方法，是培养数形结合思想与逻辑推理素养的重要载体，为后续几何综合判定奠定基础。
学习者分析 学生已掌握勾股定理、全等三角形判定等知识，能运用勾股定理计算边长，具备基础几何推理能力，但易混淆勾股定理与逆定理的逻辑方向，分不清“性质用直角求边、判定用边证直角”；演绎证明中，构造全等直角三角形的辅助线添加难自主突破，推理严谨性不足；应用时易忽略先找最长边再算平方关系的步骤，判定细节疏漏较多。
教学目标 1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法，能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型。 4.感受定理历史价值，养成科学探究习惯，激发几何探究兴趣。
教学重点 1.勾股定理逆定理的探究、证明与内涵理解。 2.运用逆定理规范判定直角三角形。
教学难点 1.逆定理演绎证明中辅助线添加与推理逻辑构建。 2.区分勾股定理与逆定理的适用场景，避免逻辑混淆。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 【回顾】什么是勾股定理？ 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，那么. 几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴。（或）学生活动1： 复习回顾 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：勾股定理的逆定理 【说一说】我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为 ，斜边为，那么”它的逆命题是怎样的？ 教师讲授： 逆命题为：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形. 教师提问：勾股定理的逆命题是真命题吗？ 【探究】如图，在△ABC中，已知AB=，BC=，AC=，且，那么△ABC是直角三角形吗？ 教师引导：到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角. 教师提问：有什么方法可以证明角相等？ 教师讲授：联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC 与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC 中有一个角为直角，则可判断△ABC是直角三角形. 下面我们按此思路来探索. 作图： 教师讲授：先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一. 教师讲授：如图，作Rt△A′B′C′，使∠C'=90°，B'C'=，A'C'=. 在Rt△A′B′C′中，根据勾股定理得，=. 因为， 所以=， 即A'B'=. 在△ABC和△A'B'C'中， 所以△ABC ≌ △A'B'C'（边边边）. 因此∠C = ∠C'= 90°. 所以△ABC是直角三角形. 【归纳】勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言 ∵在△ABC中，， ∴△ABC是直角三角形. 教师讲授： 直角三角形的判定方法 1.利用直角定义直接判定：若一个三角形中有一个内角是90°（直角），则这个三角形是直角三角形。 2.利用角的互余关系判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.利用勾股定理的逆定理判定：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.学生活动2： 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真思考 认真听讲 回答问题 认真听讲 认真观察 认真听讲 认真思考，尝试证明 认真听讲
学生认真听讲，了解勾股定理的逆定理 学生认真听讲，了解直角三角形的判定方法活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例4判断由线段组成的三角形是不是直角三角形. （1）； （2）. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方. 解：（1） 因为，， 所以. 因此，这个三角形是直角三角形. 解：（2） 因为，， 所以 . 因此，这个三角形不是直角三角形. 判定三角形的类别 1.确定最长边：c 2.验证与的关系：①若，则为直角三角形 ②若，则为锐角三角形 ③若，则为钝角三角形 例5如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长. 解：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8， 因为， 即， 所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°. 所以∠ADC=180°∠ADB=90°. 在Rt△ADC中，， 所以DC= = 15.学生活动3： 学生认真思考 认真听讲 独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考,独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形. 几何语言 ∵在△ABC中，， ∴△ABC是直角三角形. 直角三角形的判定方法 1.利用直角定义直接判定：若一个三角形中有一个内角是90°（直角），则这个三角形是直角三角形。 2.利用角的互余关系判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.利用勾股定理的逆定理判定：如果三角形的三条边满足，那么这个三角形是直角三角形.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各组数作为三角形的三边长，其中能组成直角三角形的是( ) A．1， 2， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．4， 5， 6 2.在△ABC中，BC＝5，AC＝4，AB＝3，则（ ） A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．无法确定 3.在中，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( ) A． B． C． D． 选做题： 4.如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ，最大边所对的角是 . 5.已知中，,,,且满足．则边上的高为 ． 6.如图所示，已知,,，则的长为 ． 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，，． （1）求的度数； （2）求的长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若三角形的三边长分别为，且满足则此三角形中最大的角是( ) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 2.如图，四边形中，，，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 3.如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 【综合拓展类作业】 4.数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，． （1）请你判断的形状，并说明理由： （2）求三角形腰的长度．
教学反思 本节课以情境驱动探究，多数学生能掌握定理内容与基础应用，但存在明显短板。一是证明环节突破难，学生难自主构造辅助线，需教师引导，几何推理创新性不足；二是定理混淆较突出，部分学生误用逆定理计算边长，对“性质与判定”逻辑差异理解不深；三是应用细节疏漏，未先找最长边导致判定失误。后续需分层拆解证明步骤，增设定理对比辨析活动，补充专项练习强化细节，提升学生推理与应用能力。
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第5章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边.上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 2.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。. 3.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 4.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
内容分析 本章从直角三角形的性质定理入手，先让学生认识直角三角形的一般性质和含30°角的特殊性质，为后续的度量计算和判定方法做铺垫；而勾股定理及其逆定理则从“数”的角度建立了直角三角形三边的数量关系，既是对“形”的性质的量化表达，也是代数与几何知识融合的典型载体，其实际应用和逆定理又进一步拓展了知识的适用场景；而直角三角形的判定则承接前面的性质，形成“性质—判定”的逻辑闭环，让学生完整掌握直角三角形的研究路径；最后的角平分线的性质则将直角三角形与角平分线的知识关联起来，既丰富了直角三角形的应用场景，也为后续几何问题的解决提供了新的工具。整体来看，本单元内容既巩固了之前的几何知识，又为后续四边形、圆等内容的学习奠定了推理和计算的基础。
学情分析 在学习本单元之前，学生已经积累了三角形内角和、全等三角形判定等几何知识，对“特殊图形具有特殊性质”有了初步的认知，具备简单的几何推理能力，但在面对“直角”这一特殊条件时，学生容易混淆“性质”与“判定”的逻辑关系，对“边、角、线”在直角三角形中的关联理解不够深入。从能力层面来看，学生能完成单一知识点的简单应用，但将实际问题抽象成直角三角形模型的能力还有待提升，在综合运用勾股定理、角平分线定理解决复杂问题时，容易出现思路混乱的情况；同时，学生对几何定理的“文字语言—符号语言—图形语言”三者之间的转化还不够熟练，常常会出现“能看懂定理，但不会用符号表达，也不会结合图形分析”的问题。从认知特点来看，学生对直观、具象的几何模型兴趣较高，愿意通过操作、观察等方式探究知识，但对抽象的定理推导和逻辑证明容易产生畏难情绪，需要借助具体的实例和动手活动来降低理解难度，帮助他们逐步建立几何思维。
单元目标 （一）教学目标 1.通过观察、操作直角三角形的实物与图形，抽象出直角三角形的性质、判定及相关定理的本质特征，能在具体情境中识别直角三角形的要素关系，建立“边—角—线”的关联，发展几何直观，提升从“具体图形”到“抽象概念”的转化能力。 2.经历勾股定理、角平分线性质定理等的推导过程，能运用演绎推理证明直角三角形的性质与判定，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等，在推理与运算中体会逻辑的严谨性，提升逻辑推理与数学运算素养。 3.能从实际问题（如测量距离、判断图形形状等）中抽象出直角三角形模型，运用勾股定理、角平分线性质等知识解决问题，体会数学与生活的联系，发展数学建模素养，增强用数学知识解决实际问题的应用意识。 4.了解勾股定理的历史背景与文化价值，感受数学知识的发展历程，在探究直角三角形相关知识的过程中，养成严谨求实的思维习惯，激发对数学学科的兴趣，提升数学文化素养与学科认同感。 （二）教学重点、难点 重点 1.直角三角形的性质（含30°角的直角三角形性质）与判定方法。 2.勾股定理及其逆定理的推导、应用；角平分线性质定理及其逆定理的理解与运用。 难点 1.勾股定理的逆定理的证明思路；“性质”与“判定”的逻辑区分。 2.综合运用直角三角形的性质、勾股定理、角平分线定理解决复杂几何问题和实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数5.1直角三角形的性质定理25.2勾股定理及其逆定理35.3直角三角形全等的判定15.4角平分线的性质2第4章小结与评价1综合与实践利用拼接探究勾股定理1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 直角三角形的性质定理（1）1.能准确表述直角三角形的3个核心定理，清晰区分“性质定理”与“判定定理”的逻辑差异。 2.能独立运用“三角形内角和定理”证明“两锐角互余”及逆定理，运用“作辅助线+全等三角形”证明斜边上的中线性质。 能运用3个定理解决“求直角三角形锐角度数”“判定三角形是否为直角三角形”“证明线段相等”等基础问题。任务一：复习导入，回顾什么是直角三角形。 任务二：探究新知，探究直角三角形的性质的判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.1 直角三角形的性质定理（2）1.通过折叠、测量等操作，直观感知含30°角的直角三角形的边的关系，抽象出“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质。 2.经历性质的证明过程，能运用全等三角形、等边三角形等知识完成演绎推理，能清晰表达证明思路，提升逻辑推理的严谨性和条理性。1.能在图形中准确识别对应边的关系，发展几何直观和数学抽象素养。 2.能运用该性质进行直角三角形的边长计算，能解决“线段长度”“高度测量”等实际问题。任务一：动手操作，直观感知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（1）1.通过方格计数、图形拼接等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系，抽象出勾股定理的本质，能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.经历勾股定理的证明过程，能运用面积法、全等三角形等知识完成演绎推理，能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。1.能在图形中准确识别直角边和斜边的平方关系。 2.能结合勾股定理进行直角三角形的边长计算、面积求解等运算。任务一：问题导入，认真过程。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.2 勾股定理及其逆定理（2）1.能从实际情境中，识别或构造直角三角形模型，明确模型中直角边、斜边与实际量的对应关系，完成“实际问题—数学模型—模型求解—实际验证”的完整建模流程。 2.能精准运用勾股定理及平方根化简、近似计算等知识，解决直角三角形边长求解问题。 能结合实际情境画出对应直角三角形示意图，借助图形直观梳理已知条件与所求问题的关联，灵活运用定理解决不同类型实际问题。任务一：复习导入，回顾勾股定理。 任务二：探究新知，数学建模. 任务三：例题精讲，模型求解。 任务四：巩固练习，课堂小结5.2 勾股定理及其逆定理（3）1.通过情境与操作，抽象逆定理内涵，能关联三边平方关系与直角三角形，发展几何直观与抽象能力。 2.经历定理探究与证明，能用全等知识完成严谨推理，理清证明思路，提升逻辑推理规范性。 3.掌握逆定理判定直角三角形的方法。能解决图形判定类问题，构建“数量计算→形状判定”模型.任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究逆定理。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结5.3 直角三角形全等的判定1.规范完成指定条件直角三角形尺规作图，感知作图与全等关联，发展直观与实操能力。 2.理解HL本质，能推导HL，规范用HL证明直角三角形全等，提升推理严谨性。能用HL解决全等证明、作图问题，构建直角三角形全等应用模型。任务一：复习导入，回顾全等三角形的判定。 任务二：探究新知，探究直角三角形的全等。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（1）1.掌握角平分线的性质定理及逆定理的内容。 2.通过推理证明的过程，体会几何定理的探究方法，区分性质与逆定理的逻辑关系，提升逻辑推理能力。能运用定理进行简单证明、计算与作图。 任务一：复习导入，回顾什么是角平分线。 任务二：探究新知，掌握角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识运用。 任务四：巩固练习，课堂小结。5.4角平分线的性质（2）理解角平分线性质定理与逆定理的应用场景，能从图形条件中识别“垂直距离”“线段相等”等关键要素。能运用定理解决“判断点的位置”“添加条件证明角平分线”“找特殊点”等问题。任务一：复习回顾角平分线的性质。 任务二：探究新知，运用角平分线的性质。 任务三：例题精讲，知识应用。 任务四：巩固练习，课堂小结。第5章 小结与评价1.梳理直角三角形的性质、判定、勾股定理及逆定理、角平分线性质等核心知识点，形成完整知识网络。 2.能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。 3.掌握直角三角形相关定理的内在关联，提升综合解题与知识迁移能力。能熟练运用上述定理解决计算、证明及实际应用问题，规范几何推理表达。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。综合与实践：利用拼接探究勾股定理通过拼接直角三角形和正方形的活动，回顾勾股定理的内容，探索勾股定理的多种证明方法。能结合图形拼接过程，用面积法推导勾股定理，提升动手实践能力和逻辑推理能力。任务一：问题导入，吸引兴趣。 任务二：认真思考， 探究证明。 任务三：合作交流， 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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