复数的概念及其几何意义
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课件19张PPT。bqr6401@126.com3.1数系的扩充和复数的概念bqr6401@126.com数系的扩充自然数有理数整数实数？bqr6401@126.com3.1 复数的概念知识回顾解一元二次方程 。对于实系数一元二次方程 ，
，方程没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ bqr6401@126.com引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定： 虚数单位（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． bqr6401@126.com形如 的数，叫做复数
（complex number)． 复数的表示形式通常用字母 z 表示，即当 时，z 是实数a．当 时，z 叫做虚数．当 且 时， 叫做纯虚数．两复数a+bi与c+di相等的充要条件是:a＝c且b=d；即实部与虚部分别相等。两复数相等的充要条件bqr6401@126.com全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .复数集bqr6401@126.comN Z Q R C思考数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？bqr6401@126.com例1：实数m取什么值时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？解：（1）当 ，即 时，复数z是实数．（2）当 ，即 时，复数z是虚数．（3）当 ，且 ，即 时，复数z 是纯虚数．新授课bqr6401@126.com新授课例2 已知 ，其中 ，求解：由复数相等的定义，得方程组解得练习课本练习P104 1、2、3bqr6401@126.com复数的几何意义如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用Z（a，b）表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面引入点其中：x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点y，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点都表示非纯虚数。bqr6401@126.com新授课复数z=a+bi?复平面内的点Z（a，b）?平面向量平面向量bqr6401@126.com新授课例3：实数m取什么值时，复数
对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？bqr6401@126.com练习：P105 1、2、3bqr6401@126.com 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」
直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。 自然数返回bqr6401@126.com 零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 整数返回bqr6401@126.com分 数 原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。 返回bqr6401@126.com 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。
法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。 无理数返回bqr6401@126.com 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的贡献。 实数返回bqr6401@126.com复数 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 返回
，方程没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ bqr6401@126.com引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定： 虚数单位（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立． bqr6401@126.com形如 的数，叫做复数
（complex number)． 复数的表示形式通常用字母 z 表示，即当 时，z 是实数a．当 时，z 叫做虚数．当 且 时， 叫做纯虚数．两复数a+bi与c+di相等的充要条件是:a＝c且b=d；即实部与虚部分别相等。两复数相等的充要条件bqr6401@126.com全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .复数集bqr6401@126.comN Z Q R C思考数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？bqr6401@126.com例1：实数m取什么值时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？解：（1）当 ，即 时，复数z是实数．（2）当 ，即 时，复数z是虚数．（3）当 ，且 ，即 时，复数z 是纯虚数．新授课bqr6401@126.com新授课例2 已知 ，其中 ，求解：由复数相等的定义，得方程组解得练习课本练习P104 1、2、3bqr6401@126.com复数的几何意义如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用Z（a，b）表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面引入点其中：x轴叫实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数； 除了原点y，虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的点都表示非纯虚数。bqr6401@126.com新授课复数z=a+bi?复平面内的点Z（a，b）?平面向量平面向量bqr6401@126.com新授课例3：实数m取什么值时，复数
对应的点
（1）位于第一、三象限？
（2）位于第四象限？bqr6401@126.com练习：P105 1、2、3bqr6401@126.com 自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。 英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus （石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」
直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。 自然数返回bqr6401@126.com 零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空 位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 整数返回bqr6401@126.com分 数 原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。 返回bqr6401@126.com 为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即 ）不能是有理数。
15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。
法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。 无理数返回bqr6401@126.com 实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859年 开始）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872 ）作出了杰出的贡献。 实数返回bqr6401@126.com复数 从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代 数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又 用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。 返回