人教版九年级下册 第27章相似 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册 第27章相似 单元测试（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 107.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-12 13:48:37 | ||
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文档简介
人教版九年级下 第27章 相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，D、E分别为AC，AB的中点，则△ADE与△ABC的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为3：4，若△ABC面积为27，则△DEF的面积为（ ）
A．36 B．48 C．54 D．72
3．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（-3，-3） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（-6，-3）
4．如图，在正方形ABCD中，点E为边BC延长线上一点，连接AE，交DB，DC分别于M，N两点．若AM=NE=2，则MN的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，直线AD∥BE∥CF，若AB：BC=1：2，DE=9，则EF的长是（ ）
A．4.5 B．18 C．9 D．12
6．如图，E是 ABCD边AB的延长线上一点，DE交BC于F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=8，则A′B′的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
9．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB CD=BE EC；④BE ED=AE EC．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=2，BC=4，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
11．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（ ）
A．四边形AECD的周长是20 B．△ABC∽△FEC
C．∠B+∠ACD=90° D．EF的长为
12．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：①DE=CN；②；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤GN+EG=BG；其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
13．已知，则代数式=______．
14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且满足∠ACD=∠ABC，若AC=3，AD=2，则DB=______．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，连接CD，满足∠A=∠BCD，点E为AB中点，连接CE．若BD=1，CD=2，则CE的长为______．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，连接CD．点E是BD中点，过点E作EF⊥AC于点F，EF交CD于点G．若，则FG= ______．
17．点P是正方形ABCD的边BC上的一个动点（与B，C不重合），连接PA，并将PA绕点P顺时针旋转90°至PG，连接CG，AG，PD，且AG，PG分别交CD于点E和点F，连接PE，有下列结论：①PE=PB+EC，②∠GCD=45°，③，④若设∠BAP=30°，则，其中正确结论的序号有 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为18，求各边的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB=∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若AD=6，CD=8，DF=4，求CE的长．
21．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．
（1）求证：△ADF∽△BGF；
（2）若E为BC中点，
①求证：DF=AD；
②连接CF，若CF=2，求正方形ABCD的边长．
22．如图，在矩形ABCD中，∠DBC=30°，AB=4，点E是对角线BD上一动点，点E以1个单位长度/秒的速度从点D出发，向点B运动，运动时间为t.过点E作EM⊥AE，交BC于点M．
（1）如图1，当t=4时，求BM的长．
（2）点E在运动过程中，∠AME的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠AME的大小；（3）如图2，点N是点M关于AE的对称点，连接CN，AN，求证：CN=MN．
人教版九年级下第27章相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、C 7、C 8、B 9、C 10、D 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、； 16、； 17、②③；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）设，
∴a=2t,b=3t,c=4t,
∴；
（2）∵a+b+c=18，
∴2t+3t+4t=18，
∴t=2，
∴a=4，b=6，c=8．
19、（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠EBA=∠BEC，
又∵∠EAB=∠EBC，
∴△ABE∽△BEC．
（2）解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB=DC=4，
∵DE=3，
∴CE=1，
∵△ABE∽△BEC，
∴，
∴AB CE=BE2=4×1=4，
∴BE=2．
20、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵△DCF∽△CEB，DF=4，CD=8，
∴，
即，
∴CE=12．
21、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=BC=AD．
∵BF⊥AE，
∴∠BFG+∠AFG=90°，
∵FG⊥DF，
∴∠AFG+∠AFD=90°，
∴∠BFG=∠AFD．
∵四边形AGFD的内角和为360°，∠BAD=∠GFD=90°，
∴∠AGF+∠ADF=180°．
∵∠AGF+∠BGF=180°，
∴∠BGF=∠ADF，
∴△ADF∽△BGF；
（2）①证明：∵E为BC中点，
∴BE=BC=，
∴tan∠BAE=，
由（1）知：△ADF∽△BGF，
∴=2，
∴AD=2BG，DF=2GF，
∴AB=2BG，
∴G为AB的中点，
∵AF⊥BF，
∴GF=，
∴AD=2GF，
∴DF=AD；
②解：过点F作FH⊥BC于点H，如图，
设正方形的边长为2x,则AB=BC=2x,BE=EC=x,
∵tan∠BAE=，
∴设BF=a,则AF=2a,
∵AF2+BF2=AB2，
∴（2a）2+a2=（2x）2，
∵a＞0，x＞0，
∴a=x,
∴BF=x,AF=x.
同理求得：EF=x,
∴．
∴．
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴FH∥AB，
∴△EFH∽△EAB，
∴，
∴FH=AB=x,EH=BE=x,
∴CH=CE+EH=x.
∵FH⊥BC，
∴FH2+CH2=CF2，
∴，
∵x＞0，
∴x=，
∴正方形ABCD的边长为2．
22、（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠1=30°，
∴∠2=60°，
∵∠BAD=90°，
∴BD=8，
∵DE=4×1=4，
∴BE=BD-DE=4，
∵AB=4，
∴AB=BE，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠3=60°，
∵∠AEM=90°，
∴∠4=∠AEM-∠3=30°，
∴∠4=∠1，
∴MB=ME，
∴M在BE的垂直平分线上，
∴AM⊥BE，
∴∠5=，
∴BM=AB tan∠5=4×=，
∴ME=；
（2）解：∠AME的大小不发生变化，为60°，理由如下：
取AM中点H，连接HB，HE，
∵∠ABM=∠AEM=90°，
∴AH=HE=HM，BH=AH=MH，
∴AH=HM=HE=HB，
∴A，B，M，E在以H为圆心AH为半径的圆上，
∴∠AME=∠ABD=60°；
（3）证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵∠AMN=60°，AE垂直平分MN，
∴AM=AN，
∴△AMN为等边三角形，
∴AN=MN，∠MAN=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO，
∵∠ABO=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=AO，∠BAO=60°，
∵∠BAM=∠BAO-∠MAO=60°-∠MAO，
∠NAO=∠MAN-∠MAO=60°-∠MAO，
∴∠BAM=∠NAO，
∵AM=AN，
∴△ABM≌△AON（SAS），
∴∠AON=∠ABM=90°，
∴NO⊥AC，
∴NO垂直平分AC，
∴NA=NC，
∴NC=NM．
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，D、E分别为AC，AB的中点，则△ADE与△ABC的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为3：4，若△ABC面积为27，则△DEF的面积为（ ）
A．36 B．48 C．54 D．72
3．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（12，9），B（9，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（ ）
A．（-3，-3） B．（-4，-3） C．（-3，-4） D．（-6，-3）
4．如图，在正方形ABCD中，点E为边BC延长线上一点，连接AE，交DB，DC分别于M，N两点．若AM=NE=2，则MN的长度为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，直线AD∥BE∥CF，若AB：BC=1：2，DE=9，则EF的长是（ ）
A．4.5 B．18 C．9 D．12
6．如图，E是 ABCD边AB的延长线上一点，DE交BC于F，则图中的相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB=8，则A′B′的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
9．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点E是线段BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，给出下面四个结论：①AE⊥DE；②∠AEB=∠EDC；③AB CD=BE EC；④BE ED=AE EC．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=2，BC=4，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
11．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（ ）
A．四边形AECD的周长是20 B．△ABC∽△FEC
C．∠B+∠ACD=90° D．EF的长为
12．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，延长BG交CD于点F，延长CG交BD于点H，交AB于N下列结论：①DE=CN；②；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤GN+EG=BG；其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共5小题）
13．已知，则代数式=______．
14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且满足∠ACD=∠ABC，若AC=3，AD=2，则DB=______．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，连接CD，满足∠A=∠BCD，点E为AB中点，连接CE．若BD=1，CD=2，则CE的长为______．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，连接CD．点E是BD中点，过点E作EF⊥AC于点F，EF交CD于点G．若，则FG= ______．
17．点P是正方形ABCD的边BC上的一个动点（与B，C不重合），连接PA，并将PA绕点P顺时针旋转90°至PG，连接CG，AG，PD，且AG，PG分别交CD于点E和点F，连接PE，有下列结论：①PE=PB+EC，②∠GCD=45°，③，④若设∠BAP=30°，则，其中正确结论的序号有 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知a、b、c是△ABC的三边长，且，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为18，求各边的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB=∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE=∠A．
（1）求证：△DCF∽△CEB；
（2）若AD=6，CD=8，DF=4，求CE的长．
21．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，BF⊥AE于点F，连接DF，FG⊥DF交AB于点G．
（1）求证：△ADF∽△BGF；
（2）若E为BC中点，
①求证：DF=AD；
②连接CF，若CF=2，求正方形ABCD的边长．
22．如图，在矩形ABCD中，∠DBC=30°，AB=4，点E是对角线BD上一动点，点E以1个单位长度/秒的速度从点D出发，向点B运动，运动时间为t.过点E作EM⊥AE，交BC于点M．
（1）如图1，当t=4时，求BM的长．
（2）点E在运动过程中，∠AME的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠AME的大小；（3）如图2，点N是点M关于AE的对称点，连接CN，AN，求证：CN=MN．
人教版九年级下第27章相似单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、B 3、B 4、C 5、B 6、C 7、C 8、B 9、C 10、D 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、； 15、； 16、； 17、②③；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）设，
∴a=2t,b=3t,c=4t,
∴；
（2）∵a+b+c=18，
∴2t+3t+4t=18，
∴t=2，
∴a=4，b=6，c=8．
19、（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠EBA=∠BEC，
又∵∠EAB=∠EBC，
∴△ABE∽△BEC．
（2）解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB=DC=4，
∵DE=3，
∴CE=1，
∵△ABE∽△BEC，
∴，
∴AB CE=BE2=4×1=4，
∴BE=2．
20、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∵△DCF∽△CEB，DF=4，CD=8，
∴，
即，
∴CE=12．
21、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=BC=AD．
∵BF⊥AE，
∴∠BFG+∠AFG=90°，
∵FG⊥DF，
∴∠AFG+∠AFD=90°，
∴∠BFG=∠AFD．
∵四边形AGFD的内角和为360°，∠BAD=∠GFD=90°，
∴∠AGF+∠ADF=180°．
∵∠AGF+∠BGF=180°，
∴∠BGF=∠ADF，
∴△ADF∽△BGF；
（2）①证明：∵E为BC中点，
∴BE=BC=，
∴tan∠BAE=，
由（1）知：△ADF∽△BGF，
∴=2，
∴AD=2BG，DF=2GF，
∴AB=2BG，
∴G为AB的中点，
∵AF⊥BF，
∴GF=，
∴AD=2GF，
∴DF=AD；
②解：过点F作FH⊥BC于点H，如图，
设正方形的边长为2x,则AB=BC=2x,BE=EC=x,
∵tan∠BAE=，
∴设BF=a,则AF=2a,
∵AF2+BF2=AB2，
∴（2a）2+a2=（2x）2，
∵a＞0，x＞0，
∴a=x,
∴BF=x,AF=x.
同理求得：EF=x,
∴．
∴．
∵FH⊥BC，AB⊥BC，
∴FH∥AB，
∴△EFH∽△EAB，
∴，
∴FH=AB=x,EH=BE=x,
∴CH=CE+EH=x.
∵FH⊥BC，
∴FH2+CH2=CF2，
∴，
∵x＞0，
∴x=，
∴正方形ABCD的边长为2．
22、（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠1=30°，
∴∠2=60°，
∵∠BAD=90°，
∴BD=8，
∵DE=4×1=4，
∴BE=BD-DE=4，
∵AB=4，
∴AB=BE，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠3=60°，
∵∠AEM=90°，
∴∠4=∠AEM-∠3=30°，
∴∠4=∠1，
∴MB=ME，
∴M在BE的垂直平分线上，
∴AM⊥BE，
∴∠5=，
∴BM=AB tan∠5=4×=，
∴ME=；
（2）解：∠AME的大小不发生变化，为60°，理由如下：
取AM中点H，连接HB，HE，
∵∠ABM=∠AEM=90°，
∴AH=HE=HM，BH=AH=MH，
∴AH=HM=HE=HB，
∴A，B，M，E在以H为圆心AH为半径的圆上，
∴∠AME=∠ABD=60°；
（3）证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵∠AMN=60°，AE垂直平分MN，
∴AM=AN，
∴△AMN为等边三角形，
∴AN=MN，∠MAN=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO，
∵∠ABO=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=AO，∠BAO=60°，
∵∠BAM=∠BAO-∠MAO=60°-∠MAO，
∠NAO=∠MAN-∠MAO=60°-∠MAO，
∴∠BAM=∠NAO，
∵AM=AN，
∴△ABM≌△AON（SAS），
∴∠AON=∠ABM=90°，
∴NO⊥AC，
∴NO垂直平分AC，
∴NA=NC，
∴NC=NM．