2025-2026学年人教A版数学必修第一册课后达标：1.4.2充要条件（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学必修第一册课后达标：1.4.2充要条件（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 44.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-14 20:09:11 | ||
图片预览
文档简介
1.4.2充要条件
一．选择题
1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若“xA．{a|a≥3}
B．{a|a≤－1}
C．{a|－1≤a≤3}
D．{a|a≤3}
3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是( )
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是( )
A B
C D
二．填空题
7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为 .
8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______
三．解答题
10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件．
12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．
1.4.2充要条件
一．选择题
1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：由题意得甲 乙 丙 丁，但乙甲，
因此甲 丁，丁甲，所以甲是丁的充分不必要条件．故选A．
2．若“xA．{a|a≥3}
B．{a|a≤－1}
C．{a|－1≤a≤3}
D．{a|a≤3}
B 解析：因为“x3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是( )
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
D 解析：a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D 解析：当x＝－3，y＝1时，x6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是( )
A B
C D
AD 解析：对于A，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p q，但qp，所以p是q的充分不必要条件；对于B，p q，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，所以pq，q p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
二．填空题
7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为 .
解析：因为x2－8x＋15＝0的两个根为3和5，所以A＝{3，5}．
因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
所以B＝ 或B＝{3}或B＝{5}．
当B＝ 时，a＝0；
当B＝{3}时，3a－1＝0，所以a＝；
当B＝{5}时，5a－1＝0，所以a＝.
所以a的值可以是0，，.
故实数a的取值集合为.
8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
{m|m>2} 解析：因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，即m>2.
9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______
充要条件 【解析】 a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形，
三．解答题
10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝1，A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，所以A＝{x|3≤x≤8}．
因为B＝{x|x≤－2，或x≥5}，
所以A∪B＝{x|3≤x≤8}∪{x|x≤－2，或x≥5}＝{x|x≤－2，或x≥3}．
(2)因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，所以A?B．
①若A＝ ，则2a＋1>3a＋5，即a<－4，满足题意；
②若A≠ ，则或
即或
所以a≥2或－4≤a≤－.
综合①②知，实数a的取值范围为.
11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件．
证明：必要性：若＋＋2＝，
则＝，
所以a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，
即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，
故(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0.
因为a，b是正实数，所以a＋b＋2＞0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
充分性：若a＋b＝1，
则＋＋2＝
＝＝
＝＝.
综上，“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件．
12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．
【证明】 (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc △ABC为等边三角形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，
所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，
所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上可知，命题得证．
1/7
一．选择题
1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若“x
B．{a|a≤－1}
C．{a|－1≤a≤3}
D．{a|a≤3}
3．“ab＞4”是“a＞2且b＞2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是( )
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(跨学科融合)(多选)已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充分不必要条件的电路图是( )
A B
C D
二．填空题
7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为 .
8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______
三．解答题
10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件．
12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．
1.4.2充要条件
一．选择题
1．设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：由题意得甲 乙 丙 丁，但乙甲，
因此甲 丁，丁甲，所以甲是丁的充分不必要条件．故选A．
2．若“x
B．{a|a≤－1}
C．{a|－1≤a≤3}
D．{a|a≤3}
B 解析：因为“x
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.“a，b中至少有一个不为零”的充要条件是( )
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
D 解析：a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
5．“x＜y”是“|x|＜|y|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D 解析：当x＝－3，y＝1时，x
A B
C D
AD 解析：对于A，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p q，但qp，所以p是q的充分不必要条件；对于B，p q，所以p是q的充要条件；对于C，开关S，S1与灯泡L串联，所以pq，q p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，开关S闭合，则灯泡L亮，反之，灯泡L亮，不一定有开关S闭合，所以p q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
二．填空题
7．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值集合为 .
解析：因为x2－8x＋15＝0的两个根为3和5，所以A＝{3，5}．
因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以B是A的真子集，
所以B＝ 或B＝{3}或B＝{5}．
当B＝ 时，a＝0；
当B＝{3}时，3a－1＝0，所以a＝；
当B＝{5}时，5a－1＝0，所以a＝.
所以a的值可以是0，，.
故实数a的取值集合为.
8．若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.
{m|m>2} 解析：因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{x|x>m}是{x|x>2}的真子集，即m>2.
9．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的_______
充要条件 【解析】 a2＋b2＝c2 △ABC为直角三角形，
三．解答题
10．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝1，A＝{x|2a＋1≤x≤3a＋5}，所以A＝{x|3≤x≤8}．
因为B＝{x|x≤－2，或x≥5}，
所以A∪B＝{x|3≤x≤8}∪{x|x≤－2，或x≥5}＝{x|x≤－2，或x≥3}．
(2)因为“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，所以A?B．
①若A＝ ，则2a＋1>3a＋5，即a<－4，满足题意；
②若A≠ ，则或
即或
所以a≥2或－4≤a≤－.
综合①②知，实数a的取值范围为.
11．已知a，b是正实数，求证：“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件．
证明：必要性：若＋＋2＝，
则＝，
所以a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，
即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，
故(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0.
因为a，b是正实数，所以a＋b＋2＞0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
充分性：若a＋b＝1，
则＋＋2＝
＝＝
＝＝.
综上，“a＋b＝1”是“＋＋2＝”的充要条件．
12.证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边的边长．
【证明】 (1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc △ABC为等边三角形)：
因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，
即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，
所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；
(2)必要性(由△ABC为等边三角形 a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：
因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，
所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
综上可知，命题得证．
1/7
同课章节目录
- 第一章 集合与常用逻辑用语
- 1.1 集合的概念
- 1.2 集合间的基本关系
- 1.3 集合的基本运算
- 1.4 充分条件与必要条件
- 1.5 全称量词与存在量词
- 第二章 一元二次函数、方程和不等式
- 2.1 等式性质与不等式性质
- 2.2 基本不等式
- 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
- 第三章 函数概念与性质
- 3.1 函数的概念及其表示
- 3.2 函数的基本性质
- 3.3 幂函数
- 3.4 函数的应用（一）
- 第四章 指数函数与对数函数
- 4.1 指数
- 4.2 指数函数
- 4.3 对数
- 4.4 对数函数
- 4.5 函数的应用（二）
- 第五章 三角函数
- 5.1 任意角和弧度制
- 5.2 三角函数的概念
- 5.3 诱导公式
- 5.4 三角函数的图象与性质
- 5.5 三角恒等变换
- 5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）
- 5.7 三角函数的应用