苏科版数学九年级下册第五章 二次函数提优专题教学课件 二次函数几何变换问题（44张PPT）

(共44张PPT)
二次函数的几何变换
平移变换：
图像平移变换口诀：
“左加右减，上加下减”
（1）顶点式的平移变换
y = a(x h)2 + k(a ≠ 0)向右平移m(m > 0)个单位得到：y = a(x h m)2 + k；
y = a(x h)2 + k(a ≠ 0)向左平移m(m > 0)个单位得到：y = a(x h + m)2 + k； y = a(x h)2 + k(a ≠ 0)向上平移n(n > 0)个单位得到：y = a(x h)2 + k + n；
y = a(x h)2 + k(a ≠ 0)向下平移n(n > 0)个单位得到：y = a(x h)2 + k n.
（2）一般式的平移变换
y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)向右平移m(m > 0)个单位得到：y = a(x m)2 + b(x m) + c； y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)向左平移m(m > 0)个单位得到：y = a(x + m)2 + b(x + m) + c； y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)向上平移n(n > 0)个单位得到：y = ax2 + bx + c + n；
y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)向下平移n(n > 0)个单位得到：y = ax2 + bx + c n.
二、对称变换：
（1）关于 x 轴对称
y = ax2 + bx + c的图像关于x轴对称后，得到的解析式是y = ax2 bx c；
y = a(x h)2 + k的图像关于x轴对称后，得到的解析式是y = a(x h)2 k；
（2）关于 y 轴对称
y = ax2 + bx + c的图像关于y轴对称后，得到的解析式是y = ax2 bx + c；
y = a(x h)2 + k的图像关于y轴对称后，得到的解析式是y = a(x + h)2 + k；
（3）关于原点对称
y = ax2 + bx + c的图像关于原点对称后，得到的解析式是y = ax2 + bx c；
y = a(x h)2 + k的图像关于原点对称后，得到的解析式是y = a(x + h)2 k；
（4）关于顶点对称
2a
2
y = ax2 + bx + c的图像关于顶点对称后，得到的解析式是y = ax2 bx + c b ；
y = a(x h)2 + k的图像关于顶点对称后，得到的解析式是y = a(x h)2 + k；
（5）关于点（m，n）对称
y = a(x h)2 + k的图像关于点(m, n)对称后， 得到的解析式是y = a(x + h 2m)2 + 2n k.
三、旋转变换：
在初中阶段不研究二次函数旋转变换。更多的是特殊点绕着特殊点旋转特 殊角度，比如旋转 90 度，就可以构造一线三等角基本模型。旋转 180 度， 就可以利用点对称或者中点坐标公式或者构造中位线相似来解决。
典型例题分析
例 1 已知抛物线y = x2 + 4mx 2，
①将抛物线向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后的 抛物线表达式为 ；
②将抛物线平移后使其顶点与原点重合，平移后的抛物线表达式为
；
③该抛物线关于原点对称的抛物线表达式为 ；
④该抛物线关于 x 轴对称的抛物线表达式为 ；
关于直线y = 1对称的抛物线表达式为 ；
⑤该抛物线关于 y 轴对称的抛物线表达式为 ；
关于直线x = 2对称的抛物线表达式为 ；
⑥将抛物线绕点( 2,0)旋转180°，则旋转后的抛物线表达式为 ．
【解答】y = x2 + 4mx 2 = (x + 2m)2 4m2 2，
①将抛物线向左平移 2 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后的 抛物线表达式为y = (x + 2m + 2)2 4m2 4
故答案为：y = (x + 2m + 2)2 4m2 4 = x2 + (4m + 4)x + 8m；
②将抛物线平移后使其顶点与原点重合，则抛物线的表达式为：y = x2； 故答案为：y = x2；
③该抛物线关于原点对称，则抛物线表达式为y = x2 + 4mx + 2，
故答案为：y = x2 + 4mx + 2；
④该抛物线关于 x 轴对称的抛物线表达式为：y = x2 4mx + 2，
故答案为：y = x2 4mx + 2；
关于直线y = 1对称，则新抛物线的顶点为：( 2m, 4m2 + 4)，则抛物线表 达式为y = (x + 2m)2 + 4m2 + 4，
故答案为：y = x2 4mx 2，y = (x + 2m)2 + 4m2 + 4 = x2 4mx + 4；
⑤关于 y 轴对称的抛物线表达式为：y = x2 4mx 2。关于直线x = 2对
称，则新抛物线的顶点为：(2m 4, 4m2 2)，故抛物线表达式为y = (x 2m + 4)2 4m2 2 = x2 + ( 4m + 8)x + 14 16m；
⑥将抛物线绕点( 2,0)旋转180°，新抛物线的顶点为：(2m 4,4m2 + 2)， 则旋转后的抛物线表达式为y = (x 2m + 4)2 + 4m2 + 2．故答案为：y =
(x 2m + 4)2 + 4m2 + 2 = x2 + (4m 8)x 14 + 16m．
1
2
2
例 2 直线y = m是平行于x 轴的直线，将抛物线y = x 4x
在直线y = m
上侧的部分沿直线y = m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函
数图象，若新的函数图象刚好与直线y = x有 3 个交点，则满足条件的 m
的值为 ．
1
2
1
2 2
2
【解答】根据题意∵ y = x 4x = (x + 4) + 8
，∴顶点为( 4,8)，
∴在直线y = m上侧的部分沿直线y = m翻折，翻折后的部分的顶点为
( 4, 8 + 2m)，
1
2
∵直线y = x与抛物线y = x 4x相交∴交点坐标为( 6,6)，(0,0)
2
∴ m = 6时，新的函数图象刚好与直线y = x有 3 个交点
1
2
2
翻折后的抛物线的解析式为y = (x + 4) 8 + 2m
，由题意：
{
1
2
2
y = (x + 4) 8 + 2m
y = x
，
消去 y 得到：x2 + 10x + 4m = 0，由题意 = 0时，满足条件，∴ 100 16m =
0，
∴ m = 25，综上所述，m = 6或25．
4 4
例 3 如图，将抛物线y = (x 1)2的图象位于直线y = 4以上的部分向下翻
折，得到新的图象（实线部分），若直线y = x + m与新图象只有四个交 点，则 m 的取值范围为
【解答】令y = 4，则4 = (x 1)2，解得x = 3或 1，∴ A( 1,4)，
平移直线y = x + m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共 点.
①当直线位于l1时，此时l1过点A( 1,4)，∴ 4 = 1 + m，即m = 3.
②当直线位于l2时，此时l2与函数y = (x 1)2的图象有一个公共点，∴方程
x + m = x2 2x + 1，
4
即x2 x + 1 m = 0有两个相等实根，∴ Δ = 1 4(1 m) = 0，即m = 3.
4
由①②知若直线y = x + m与新图象只有四个交点，m的取值范围为3 <
m < 3；故选：A.
例 4
如图，抛物线y = 2x2 + 8x 6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上
方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y = x + m
与C1，C2共有 3 个不同的交点，则m的取值范围是 .

【解答】
令y = 2x2 + 8x 6 = 0，即x2 4x + 3 = 0，解得x = 1或3，则点A(1,0)，B(3,0)，
由于将C1向右平移 2 个长度单位得C2，则C2解析式为y = 2(x 4)2 + 2(3 ≤ x ≤ 5)，当直线过A点时候，m = 1，令x 1 = 2(x 4)2 + 2，得到2x2 15x + 29 =
0，可知Δ < 0，此时，直线与C2无交点。当y = x + m1与C2相切时，令y = x + m1 =
y = 2(x 4)2 + 2，即2x2 15x + 30 + m1 = 0，Δ = 8m1 15 = 0，解得m1 =
2 2 2
8 8
15，当y = x + m 过点B时，即0 = 3 + m ，m = 3，当 3 < m < 15时直线，
1 2
8
y = x + m与C ，C 共有 3 个不同的交点，故答案是： 3 < m < 15.
针对提高训练
练 1
已知二次函数的表达式为y = x2 2x + 3，将其图象向右平移k(k > 0)个
单位，得到二次函数y1 = mx2 + nx + q的图象，使得当 1 < x < 3时，y1随 x增大而增大；当4 < x < 5时，y1随x增大而减小.则实数k的取值范围是（ ）
A. 1 ≤ k ≤ 3
C. 3 ≤ k ≤ 4
B. 2 ≤ k ≤ 3
D. 4 ≤ k ≤ 5
【练 1】解：∵y = x2 2x + 3 = (x + 1)2 + 4，∴将二次函数y = x2 2x + 3
的图象向右平移k(k > 0)个单位得y = (x k + 1)2 + 4的图象，∵新图象的对称 轴为直线x = k 1，∵当-1 < x <3 时，y 随 x 增大而增大；当4 < x < 5时，y 随 x 增大而减小，且抛物线开口向下，∴3 ≤ k 1 ≤ 4，解得4 ≤ k ≤ 5，
∴符合条件的二次函数y = mx2 + nx + q的表达式可以是y = (x 3)2 + 4 =
x2 + 6x 5，故答案可以为：y = x2 + 6x 5（答案不唯一），4 ≤ k ≤ 5；故 选：D.
练 2
已知抛物线y = x2 2mx 3经过点A( 2, n)，将点A先向右平移 3 个单位， 再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，则b的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.9
【练 2】解：∵y = x2 2mx 3 = (x m)2 m2 3，∴顶点为(m, m2
3)，将点A( 2, n)先向右平移 3 个单位，再向下平移b个单位得到(1, n b)，
∴m = 1，n b = 4，∵抛物线y = x2 2x 3经过点A( 2, n)，∴n = 4 + 4 3 = 5，∴b = 9，故选：D.
练 3
在平面直角坐标系中，若抛物线y = x2 + (2m n)x 2m 2与y = x2
(m + 2n)x + n关于直线x
= 1对称，则符合条件的 m，n 的值可以为（ ）
A. m = 6，n = 2
7 7
C. m = 1，n = 9
B. m = 1，n = 1
D. m = 2，n = 2
【练 3】解：∵抛物线y = x2 + (2m n)x 2m 2与y = x2 (m + 2n)x +
n关于直线x = 1对称，∴当x = 1时，y 相等，∴1 + 2m n 2m 2 = 1 m 2n + n，解得m = 2，故选：D.
练 4 在平面直角坐标系中，若抛物线y = x2 + (n 2m)x + m n与抛物线
y = x2 + (4m 6)x + 2m 3关于y 轴对称，则符合条件的m，n 的值为（ ）
A. m = 12，n = 9 B. m = 9，n = 12 7 7 7 7
C. m = 0，n = 3 D. m = 3，n = 0
【练 4】解：∵抛物线y = x2 + (n 2m)x + m n与抛物线y = x2 + (4m
+ 2 = 4 6 6)x + 2m 3关于 y 轴对称，∴ { = 2 3
解 得 m = 3
n = 0
{ ，故选：D.
练 5 已知二次函数y = ax2 + bx 1（a，b 是常数，a ≠ 0）的图象经过A(2,1)，
B(4,3)，C(4, 1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始 终在直线y = x 1上，则平移后所得抛物线与 y 轴交点纵坐标的（ ）
A.最大值为 1B.最小值为 1C.最大值为 1
2
D.最小值为 1
2
【练 5】解：∵A(2,1)，B(4,3)在直线y = x 1上，∴A或B是抛物线的顶点，
∵B(4,3)，C(4, 1)的横坐标相同，∴抛物线不会同时经过B、C点，∴抛物 线过点A和C两点，把A(2,1)，C(4, 1)代入y = ax2 + bx 1得
{
4 + 2 1 = 1
16 + 4 1 = 1
解得{
1
2
= ,
= 2,
1
2
1
2 2
2
∴二次函数为y = x + 2x 1 = (x 2) + 1
，∵顶点始终在直线y =
x 1上，∴抛物线向左、向下平移的距离相同，∴设平移后的抛物线为y =
1 1
2 2
2 2
(x 2 + m) + 1 m，令x = 0，则y = ( 2 + m) + 1 m =
1
2
1
2
1
2
(m 1) ，∴抛物线与 y 轴交点纵坐标最大值为 ，
2
故选：C.
练 6 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，然后
绕原点旋转180°得到抛物线y = x2 + 5x + 6，则原抛物线的解析式是（ ）
5
2
A. y = (x )
11 5
2
2 2
B. y = (x + )
11
5
2
C. y = (x )
2

4
1
4
5
2
2
D. y = (x + ) +
4
1
4
【练 6】解：∵抛物线的解析式为：y = x2 + 5x + 6，设原抛物线上有点
(x0, y0)，绕原点旋转180°后，变为( x0, y0)，点( x0, y0)在抛物线y =
0
x2 + 5x + 6上，将( x0, y0)代入y = x2 + 5x + 6得到新抛物线 y0 = x2
0
2
2
2 4
5 1
5x + 6，所以原抛物线的方程为y0 = x0 + 5x0 6 = (x0 ) + ，∴
2
2
5 1
4
向下平移 3 个单位长度的解析式为y0 = (x0 ) + 3 = (x0
5
2
2
)
11
4
. 故选：A.
练 7 抛物线的函数表达式为y = 3(x 2)2 + 1，若将 x 轴向上平移 2 个单
位长度，将 y 轴向左平移 3 个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标 系中的函数表达式为（ ）
A. y = 3(x + 1)2 + 3
C. y = 3(x 5)2 1
B. y = 3(x 5)2 + 3
D. y = 3(x + 1)2 1
【练 7】解：根据题意知，将抛物线y = 3(x 2)2 + 1向下平移 2 个单位长
度，再向右平移 3 个单位长度后所得抛物线解析式为：y = 3(x 5)2 1.
故选：C.
1
2
练 8 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y = x + 4
绕点A(2,0)旋转
2
180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为 .
1
2
2
【练 8】解：抛物线y = x + 4
的顶点坐标(0,4)，该顶点关于A(2,0)对称
的点的坐标是(4, 4). 根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表
2
达式为y = (x 4) 4
. 故答案是：
1 1
2
2 2
y = (x 4) 4.
练 9 将抛物线y = 2(x + 1)2 + 1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析
式为 ； 将抛物线y = 2(x + 1)2 + 1绕原点旋转180°后得到抛物线的解 析式为 .
【练 9】解：抛物线y = 2(x + 1)2 + 1的顶点坐标为( 1,1)，由于抛物线
y = 2(x + 1)2 + 1绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口 方向相反，则所得抛物线解析式为y = 2(x + 1)2 + 1；
抛物线y = 2(x + 1)2 + 1的顶点坐标为( 1,1)，由抛物线y = 2(x +
1)2 + 1绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(1, 1)，并且开口方向相反， 则所得抛物线解析式为y = 2(x 1)2 1.
故答案为y = 2(x + 1)2 + 1；y = 2(x 1)2 1.
练 10 如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线
1 1 2
1
2
C 上，那么，我们称抛物线C 与C 关联. 现将抛物线C1: y = (x + 1) 2
8
，
绕点P(t, 2)旋转180°得到抛物线C2，若抛物线C1与C2关联，则 t 的值为 .
1
2
【练 10】解：抛物线C1: y = (x + 1) 2的顶点M( 1, 2)；由于抛物线
8
2
P对称，∴抛物线C 的顶点坐标M′(2t + 1,6)，抛物线
C2是抛物线C1绕点P(k, 2)旋转180°所得，所以抛物线C1、C2的顶点关于点
1
C2: y = 8 (x (2t +
1))2 + 6；已知抛物线C1和抛物线C2相关联，那么点M′必在抛物线C1的函
1
2
数图象上，即：6 = (2t + 1 + 1) 2，解得：t
8
1 2
= 3、t = 5，故答案
为：3 或 5.