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北师大版2025—2026学年八年级上册期末名校真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·通道期末）在，2.36，，，0，六个数中，是无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2024八上·梅县区期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·玉林期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·乌当期末）关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（ ）
A．- B． C．﹣ D．
5．（2023八上·宁波期末）一次函数与正比例函数（ k，b是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八上·新兴期末）点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
8．（2024八上·朝阳期末）64的算术平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．
9．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
10．（2024八上·温州期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·万源期末）如图，对于下列给出的四个条件：①；②；③；④中，能判定的有 ．（填写正确条件的序号）
12．（2024八上·榆树期末）比较大小： 4（填“>”或“<”）.
13．（2024八上·普宁期末）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为 ．
14．（2024八上·峡江期末）已知：a，b是两个连续的整数，且 则 ．
15．（2023八上·余姚期末）已知，是直线（b为常数）上的两个点，则 （填入“<”、“=”或“>”）.
16．（2024八上·龙岗期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·峡江期末）计算：
（1）
（2）
18．（2025八上·上虞期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标．
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值．求的取值范围．
19．（2025八上·龙泉期末）在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
20．（2025八上·柯城期末）一辆货车和轿车同时从甲地出发驶向乙地．货车一直匀速行驶，轿车途中停车休息了，且休息前后行驶速度不变．若两车出发后距离甲地的路程与行驶时间的关系如图所示（部分被污染）．
（1）请画出被污染部分的函数图象．
（2）求轿车的速度及点A的纵坐标．
（3）求当时，两车相遇点距离甲地的路程．
21．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
22．（2025八上·慈溪期末）学习数学的乐趣在于探索，在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：，，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，，请完成下面的探索之旅．
（1）若已知，先判断直线经过哪两点？并求出的函数表达式；
（2）求，，三个值中最小的值．
23．（2024八上·光明期末）秦九韶年年，字道古，南宋著名数学家与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学他于年完成的著作数学九章中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么．
（1）在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，，，，垂足为，求的长；
（3）一个三角形的三边长分别为，，，，，求的值．
24．（2024八上·福田期末）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1） 先到达终点（填“甲”或“乙”）；
（2）根据图象，求出甲的函数表达式；
（3）求何时甲乙相遇？
（4）根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
25．（2019八上·南山期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为 ；
（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．
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北师大版2025—2026学年八年级上册期末名校真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·通道期末）在，2.36，，，0，六个数中，是无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，是无理数，
∴无理数有2个，
故答案为：A
【分析】根据无理数的定义结合题意对，2.36，，，0，六个数进行分类即可求解。
2．（2024八上·梅县区期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 无法进一步计算，A错误
B、，B错误
C、，C错误
D、 ，D正确
故答案为：D
【分析】根据二次根式的乘除法根据法则进行计算；加减法先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
3．（2024八上·玉林期末）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，
由题意可得：，
故答案为：D．
【分析】设小刚平均每小时植树x棵，小敏平均每小时植树y棵，根据“ 小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树 ”找到等量关系，列出二元一次方程组即可．
4．（2024八上·乌当期末）关于x，y的方程组的解是，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则p的值是（ ）
A．- B． C．﹣ D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 关于x，y的方程组的解是，
∴1+y=3，
解得：y=2，
∴1+2y=0，
解得：，
故答案为：A.
【分析】将x=1代入x+y=3求出1+y=3，再求出y=2，最后计算求解即可。
5．（2023八上·宁波期末）一次函数与正比例函数（ k，b是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、由直线经过一二四象限，则k＜0，b＞0，即kb＜0，
由正比例函数经过一三象限，则kb＞0，两者矛盾，故不符合题意；
B、由直线经过一三四象限，则k＞0，b＜0，即kb＜0，
由正比例函数经过一三象限，则kb＞0，两者矛盾，故不符合题意；
C、由直线经过一三四象限，则k＞0，b＜0，即kb＜0，
由正比例函数经过二四象限，则kb＜0，两者一致，故符合题意；
D、由直线经过一二三象限，则k＞0，b＞0，即kb＞0，
由正比例函数经过二四象限，则kb＜0，两者矛盾，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分别判断出各项中一次函数和正比例函数中kb的符号，若两者一致即符合题意.
6．（2023八上·新兴期末）点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵点关于轴对称点的坐标是.
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得解．
7．（2024八上·南明期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米，在长方体一底面的顶点有一只蚂蚁，它想吃点处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】B
【解析】【解答】解：第一种：将正面右面展开，如图①所示：
，
；
第二种，如图②所示：
，
；
第三种，如图③所示：
，
，
，
蚂蚁沿长方体侧面爬行的最短路程是.
故答案为：B.
【分析】蚂蚁经过两个面都有可能是最短路径，故此展开图有三种，先分别画出每一种平面展开图，把蚂蚁所走的路线放到同一个平面内，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理计算出每种情况所爬行的路程，比较大小即可.
8．（2024八上·朝阳期末）64的算术平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．﹣8 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：64的算术平方根是8，
故答案为：B.
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法分析求解即可.
9．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
10．（2024八上·温州期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质化简解题．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·万源期末）如图，对于下列给出的四个条件：①；②；③；④中，能判定的有 ．（填写正确条件的序号）
【答案】①③④
【解析】【解答】①∵，∴，∴①符合题意；
②∵无法证出，∴②不符合题意；
③∵，∴，∴③符合题意；
④∵，∴，∴④符合题意；
综上，能判定的结论是①③④，
故答案为：①③④.
【分析】利用平行线的判定方法逐项分析判断即可.
12．（2024八上·榆树期末）比较大小： 4（填“>”或“<”）.
【答案】<
【解析】【解答】解：∵，
14＜16，且，4＞0，
∴
故答案为：＜.
【分析】根据比较两个正数的平方的大小，从而得出这两个数的大小。
13．（2024八上·普宁期末）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵直线y＝ x＋3与y＝mx＋n交点的横坐标为1，
∴纵坐标为y＝ 1＋3＝2，
∴两直线交点坐标（1，2），
∴x，y的方程组的解为：，
故答案为：.
【分析】先将求二元一次方程组的解的问题转换为两个一次函数的图象交点问题，再结合函数图象直接求出方程组的解即可.
14．（2024八上·峡江期末）已知：a，b是两个连续的整数，且 则 ．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，
∵ ，且a，b是两个连续的整数，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：-1．
【分析】先求出 ，得出 ， ，代入求值即可．
15．（2023八上·余姚期末）已知，是直线（b为常数）上的两个点，则 （填入“<”、“=”或“>”）.
【答案】>
【解析】【解答】解：在一次函数中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：>.
【分析】根据一次函数图象的性质可得：y随x的增大而减小，据此进行比较.
16．（2024八上·龙岗期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AP∥OB，
∵A（0，8），
∴P点纵坐标为8，
又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝ 4，
∴P点坐标为（ 4，8）；
当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2，
设P点坐标为（a， a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
把A、P坐标代入可得，
解得，
∴直线AP的解析式为y＝x＋8，
令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82，
∵B（ 4，0），
∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16，
∵∠PAB＝∠ABO，
∴AC＝BC，
∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16，
解得a＝12，则 a＋4＝ 8，
∴P点坐标为（12， 8），
综上可知，P点坐标为（ 4，8）或（12， 8）．
故答案为：（ 4，8）或（12， 8）．
【分析】分情况讨论：当点P在y轴左侧时，连接AP，根据直线平行判定定理可得AP∥OB，则P点纵坐标为8，再将y=8代入直线解析式可得P点坐标为（ 4，8）；当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，设P点坐标为（a， a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b，根据待定系数法将点A，P坐标代入解析式可得直线AP的解析式为y＝x＋8，根据x轴上点的坐标特征可得C点坐标为（，0），再根据勾股定理可得AC2＝（）2＋82，BC2＝（）2＋＋16，根据等角对等边可得AC＝BC，建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·峡江期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式= =
（2）解：原式==8-9-2=-3
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减法求解即可；
（2）先利用平方差公式及立方根的性质化简，再求解即可.
18．（2025八上·上虞期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标．
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值．求的取值范围．
【答案】（1）解：由题知，将点代入得，，解得，，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：将点代入得，，解得，
则，，
∴点的坐标为．
（3）解：∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，
∴当时，一次函数的函数值不小于一次函数的函数值，
则，
解得，，
∴的取值范围是．
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）直接利用直线上点的坐标特征列关于m的方程求解即可；
（3）由于一次函数的函数值随着自变量x的增大而增大，则当x=6时其对应的函数值不小于一次函数的函数值，则由题意可列关于n的不等式并不解即可．
（1）解：由题知，将点代入得，，
解得，，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：将点代入得，，
解得，
则，，
∴点的坐标为．
（3）解：∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，
∴当时，一次函数的函数值不小于一次函数的函数值，
则，
解得，，
∴的取值范围是．
19．（2025八上·龙泉期末）在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
20．（2025八上·柯城期末）一辆货车和轿车同时从甲地出发驶向乙地．货车一直匀速行驶，轿车途中停车休息了，且休息前后行驶速度不变．若两车出发后距离甲地的路程与行驶时间的关系如图所示（部分被污染）．
（1）请画出被污染部分的函数图象．
（2）求轿车的速度及点A的纵坐标．
（3）求当时，两车相遇点距离甲地的路程．
【答案】（1）解：画出被污染部分的函数图象如图所示：
（2）解：轿车的速度为，
，
点A的纵坐标为
（3）解：货车的速度为，
货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为；
设线段AB对应的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
线段AB对应的函数关系式为
当，两车相遇时，得，
解得
答：当时，两车相遇点距离甲地的路程为．
【解析】【分析】（1）根据题干提供信息直接补充图象即可；
（2）由图象提供的信息可得轿车3小时行驶了300千米，根据速度＝路程时间计算轿车的速度；根据路程＝速度时间求出轿车在最初的内行驶的路程，即点A的纵坐标；
（3）由图象提供的信息可得货车4小时行驶了300千米，根据速度＝路程时间求出货车的速度，再由路程＝速度时间求出货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；利用A、B两点的坐标，由待定系数法求出线段AB对应的函数关系式，联立两函数解析式建立方程组并求解，y值即为当时，两车相遇点距离甲地的路程．
（1）解：画出被污染部分的函数图象如图所示：
（2）解：轿车的速度为，
，
点A的纵坐标为
（3）解：货车的速度为，
货车距离甲地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为；
设线段AB对应的函数关系式为、b为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
线段AB对应的函数关系式为
当，两车相遇时，得，
解得
答：当时，两车相遇点距离甲地的路程为．
21．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是 边上的高线， 是 边上的中线， ，点 是 中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：连结DE，如图，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC =90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB边上的中点，
∴AB =2DE，
∵AB=2CD，
∴CD= DE，
∵点F是CE中点，
∴DF⊥EC，
∵∠DFC =90°，
∴∠FDC+∠DCF=90°，
∵∠ADC =90°，
∴∠FDC+∠ADF =90°，
∴∠DCE=∠ADF
（2）解：∵∠BAC =90°，
在直角三角形ACB中，由勾股定理得：
EC===10，
∵点F是CE中点，
∴CF=5，
∵∠ADB=90°，E是AB边上的中点，
∴DE =AE =6，
∴CD=DE =6，
∵∠DFC =90°，
在直角三角形CDF中，由勾股定理得：
DF===
【解析】【分析】(1)连结DE，证明CD=DE得DF⊥EC，然后根据余角的性质即可证明∠DCE=∠ADF；
(2)由勾股定理求出EC的长度，从而求出CF的长度，由直角三角形斜边的中线得DE的长度，从而得CD=DE的长度，然后再利用勾股定理即可求出DE的长.
22．（2025八上·慈溪期末）学习数学的乐趣在于探索，在“探索一次函数的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的三个点：，，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数图象，并得到对应的函数表达式为：，，，请完成下面的探索之旅．
（1）若已知，先判断直线经过哪两点？并求出的函数表达式；
（2）求，，三个值中最小的值．
【答案】（1）解：由图象可知，直线过B、C两点符合条件，
将，代入得，
，
解得，，
∴的函数表达式为；
（2）解：∵，，为的时候y的函数值，∴由图象知，直线此时的函数值最小．
∴将代入得最小值为．
【解析】【分析】（1）由一次函数交轴于点，所以当时，直线交轴于负半轴，观察A、B、C三点，显然只有直线交轴于负半轴，即直线的解析式为，使用待定系数法求解即可；
（2）因为当时，，显然只有直线的函数值最小，即最小。
（1）解：由图象可知，直线过B、C两点符合条件，
将，代入得，
，
解得，，
∴的函数表达式为；
（2）解：∵，，为的时候y的函数值，
∴由图象知，直线此时的函数值最小．
∴将代入得最小值为．
23．（2024八上·光明期末）秦九韶年年，字道古，南宋著名数学家与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学他于年完成的著作数学九章中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么．
（1）在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，，，，垂足为，求的长；
（3）一个三角形的三边长分别为，，，，，求的值．
【答案】（1）解：由题意，，
．
（2）解：由题意，，
．
又，，
．
在中，．
（3）解：由题意，，，
，．
．
【解析】【分析】(1)依据题意，了解海伦一秦九韶公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
(2)依据题意，由海伦一秦九韶公式求得△ABC的面积，再由△ABC的面积求出BD，然后在Rt△BDC中，利用勾股定理即可求出CD；
(3)依据题意，由海伦一秦九韶公式建立关于b，c的方程组进而计算可以得解.
24．（2024八上·福田期末）甲、乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1） 先到达终点（填“甲”或“乙”）；
（2）根据图象，求出甲的函数表达式；
（3）求何时甲乙相遇？
（4）根据图象，直接写出何时甲与乙相距250米．
【答案】（1）乙
（2）解：设甲跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为y=kx，
∵经过点（20，5000），
，
解得：，
甲的函数解析式为：；
（3）解：设甲乙相遇后（即），乙跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为：，
∵经过点，，
∴，
解得，
乙的函数解析式为：，
再联立方程：
，解得，
甲乙在12分钟时相遇；
（4）解：设此时起跑了分钟，
根据题意得，或或或，
解得：或或或，
5分钟或11分钟或13分钟或19分钟时甲乙相距250米．
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可知：甲乙同时出发，甲跑完全程用时20分钟，乙跑完全程用时16分钟，∴乙先到达终点；
故答案为：乙；
【分析】（1）由于两人同时出发，依据图象找到两人跑完全程所用的时间，再比较大小即可得出答案；
（2）甲的图象经过坐标原点，是正比例函数，且经过点（20，5000），从而利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法求出当10＜x＜16时，乙跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式，再联立（2）所求的函数解析式，求解即可得出答案；
（4）分0＜x＜10、10＜x＜12、12＜x＜16与16＜x＜20，四种情况列出方程，求解即可.
25．（2019八上·南山期末）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），
则称点P′为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为 ；
（2）若点P的“5属派生点”P′的坐标为（3，﹣9），求点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．
【答案】（1）（7，﹣3）
（2）解：（Ⅱ）设P（x，y），
依题意，得方程组： ，
解得 ，
∴点P（﹣2，1）．
（3）∵点P（a，b）在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），
∴线段PP′的长为点P′到x轴距离为|ka|，
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
根据题意，有|PP'|=2|OP|，
∴|ka|=2a，
∵a＞0，
∴|k|=2．
从而k=±2
【解析】【解答】（Ⅰ）点P（﹣2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），
故答案为：（7，﹣3）；
【分析】（Ⅰ）根据“k属派生点”计算可得；（Ⅱ）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（Ⅲ）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
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