中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025—2026学年九年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·贵州期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·江津期末）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·北碚期末）如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．（2024九上·金沙期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·东莞期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，。以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ）。
A． B． C． D．
6．（2024·深圳模拟）如果两个相似三角形的面积比是 1∶2，那么它们的周长比是（ ）
A．1： 2 B．1： 4 C． D．2： 1
7．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·花都期末）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
9．（2024九上·江津期末）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对作“差绝对值运算”，得到，则
对作“差绝对值运算”的结果是；对进行“差绝对值运算”的结果是，则；对（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·武侯期末）如图，在一个改良版的飞镖盘中，是线段上的两个黄金分割点，连接．现向区域内随机投掷一枚飞镖，投中阴影部分的概率是 ．
12．（2024九上·温江期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
13．（2024九上·临江期末）已知，菱形的周长为52，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 .
14．（2024九上·西湖期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是
15．（2024九上·禅城期末） 国家通过药品集中带量采购，很多常用药的价格显著下降.某种药品经两次降价后，价格160元调整为40元，假设平均每次降价率为x， 则可列方程为 .
16．（2024九上·信宜期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·威宁期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·龙岗期末）新年平安，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶，设每顶头降价x元，平均每周的销售量为y顶.
（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是：
（2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元
19．（2024九上·嵊州期末）有一个转盘如图，让转盘自由转动．
（1）若转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率．
（2）若转盘转动两次，求一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率（用树状图或列表法表示）．
20．（2024九上·清苑期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数），函数的图象为曲线L．
（1）则的坐标是__________．
（2）若曲线L过时，求出k的值，并说明此时曲线L是否过．
（3）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是__________．
21．（2024九上·阳山期末）如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，．
（1）求证：四边形BGEF为菱形；
（2）求FG的长．
22．（2024九上·叙州期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．
（1）养鸡场面积 （用含x的代数式表示）；
（2）当鸡场面积为时，求边的长；
（3）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
23．（2024九上·渠县期末）如图，在与中，已知，，，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
24．（2024九上·青山湖期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
（1）猜想：，的位置关系是 ；
（2）求证：．
25．（2023九上·东莞期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）直接写出 ； ；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
（3）在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版2025—2026学年九年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·贵州期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可知，
即：，
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义得到，求出a的取值范围即可．
2．（2024九上·江津期末）在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得：
．
故答案为：D.
【分析】根据题意可知2023年下学期平均每天书面作业时长=2022 年下学期平均每天书面作业时长平均每天书面作业时长每学期的下降率，据此列出一元二次方程即可求解。
3．（2024九上·北碚期末）如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，
，
四边形的面积为1，
四边形的面积是9，
故答案为：D．
【分析】本题考查位似变换、相似多边形的性质．由题意可知两个多边形的相似比为，根据相似多边形的面积比等于相似比，可知两个图形的面积比为，据此可求出答案．
4．（2024九上·金沙期末）如图，直线，直线a，b相交于点，且与分别相交于点B，C和点D，E．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴DE=。
故答案为：B。
【分析】根据平行线分线段成比例即可得到DE的长度。
5．（2024九上·东莞期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，。以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵的顶点为，，，以点O为位似中心，在第四象限内作与的位似比为的位似图形
∴点C的坐标为，即
故答案为：A
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
6．（2024·深圳模拟）如果两个相似三角形的面积比是 1∶2，那么它们的周长比是（ ）
A．1： 2 B．1： 4 C． D．2： 1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，
∴这两个相似三角形的相似比是，
∴它们的周长比是，
故答案为：C.
【分析】由两个相似三角形的面积比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比.
7．（2024九上·南沙期末）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设这群猴子的总数是只
∴一队猴子数是
根据题意可得：
故答案为：D
【分析】设这群猴子的总数是只，则一队猴子数是，根据题意建立方程即可求出答案.
8．（2024九上·花都期末）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵正比例函数y1=k1x和反比例函数的图象交于A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点
∴y1＜y2，则 ﹣1＜x＜0或x＞1
故答案为：D
【分析】由题意可得，当正比例函数的图象在反比例函数的图象下方时，有y1＜y2，结合函数图象即可求出答案.
9．（2024九上·江津期末）对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对作“差绝对值运算”，得到，则
对作“差绝对值运算”的结果是；对进行“差绝对值运算”的结果是，则；对（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：对作“差绝对值运算”得到：
，故正确；
对进行“差绝对值运算”得到：
，
∴，
解得(舍去)或，故错误；
对(互不相等)进行“差绝对值运算”得到：，
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
当时，
；
综上，的“差绝对值运算”的化简结果一共有种，故错误；
∴正确的个数为个，
故答案为：．
【分析】根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出对应式子计算即可判断①，根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出一元二次方程求解即可判断②，根据分类讨论的思想，分出所有a，b，c大小比较的情况并根据新定义求出所有对应的结果，据此即可求解。
10．（2024九上·沙坪坝期末）如图，在正方形中，点E是上一点，过点E作交于点F，连接，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点作于，于，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】如图，过点作于，于，根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质可证得，得到，根据补角的定义可得，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理加以计算即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·武侯期末）如图，在一个改良版的飞镖盘中，是线段上的两个黄金分割点，连接．现向区域内随机投掷一枚飞镖，投中阴影部分的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵D、E是线段BC上的两个黄金分割点，
∴CE=BC，BD=BC，
∵CE+BD=BC+DE
∴DE=CE+BD-BC
将CE、BD代入计算，DE=BC+BC-BC，
化简得，DE=(-2)BC，
设△ABC高为h，
∵，，
.
故答案为：-2.
【分析】投中阴影部分的概率，就是求阴影部分面积与△ABC面积之比，两个三角形等高，面积之比等于底边之比，即的比值，DE=CE+BD-BC，利用黄金分割比值代入计算求解.
12．（2024九上·温江期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个不等实数根，
∴由根与系数的关系得：+=2m，=+m-1，
∵+-=-5，
∴2m-(+m-1)=-5，
即-m-6=0，
解得m=3或m=-2，
∵Δ=(2m)2-4(+m-1)>0，
解得m<1，
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】由根与系数的关系，结合+-=-5得到关于m的一元二次方程-m-6=0，解方程得m=3或m=-2，再根据Δ>0得到关于m的不等式，解得m<1，即可求解.
13．（2024九上·临江期末）已知，菱形的周长为52，一条对角线长为10，则另一条对角线长为 .
【答案】24
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AG=GC，BG=DG，AB=AC=CD=AD，
∵菱形的周长为52，
∴AD=52÷4=13，
∵一条对角线长为10，
∴设AC=10，
∴AG=5，
∴，
∴BD=2DG=24，
即另一条对角线长为24，
故答案为：24.
【分析】根据菱形的性质和勾股定理，结合图形计算求解即可。
14．（2024九上·西湖期末）如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：，
∴，
∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】根据得到，然后利用相似三角形的对应边成比例解题．
15．（2024九上·禅城期末） 国家通过药品集中带量采购，很多常用药的价格显著下降.某种药品经两次降价后，价格160元调整为40元，假设平均每次降价率为x， 则可列方程为 .
【答案】160（1-x）2=40
【解析】【解答】解：设均每次降价率为x
由题意可得：160（1-x）2=40
故答案为：160（1-x）2=40
【分析】根据经过两次降价后的价格=原价×(1-平均每次降价的百分率)2，列出方程即可.
16．（2024九上·信宜期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD＝AC＝2OA，即可得到答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·威宁期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
（2）解：
或
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法的计算方法求解一元二次方程即可。
18．（2024九上·龙岗期末）新年平安，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶，设每顶头降价x元，平均每周的销售量为y顶.
（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是：
（2）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元
【答案】（1）解：根据题意得： 降价（元）， 平均每周可多售出：顶，则 平均每周的销售量：
.
∴平均每周的销售量（顶）与降价（元）之间的函数关系式是.
（2）解：根据题意，得（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4 000，
整理，得 x2﹣23x+60＝0，
解得 x1＝3，x2＝20．
当 x＝3 时，68﹣x＝68﹣3＝65＞58，不符合题意，舍去.
当 x＝20 时，68﹣x＝68﹣20＝48＜58，符合题意．
∴每顶头盔应降价 20 元时， 该商店每周获得4000元的销售利润.
【解析】【分析】（1）根据题意得： 降价（元）， 平均每周可多售出：顶，则 平均每周的销售量：.
（2）根据列方程：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4 000解出即可.
19．（2024九上·嵊州期末）有一个转盘如图，让转盘自由转动．
（1）若转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率．
（2）若转盘转动两次，求一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率（用树状图或列表法表示）．
【答案】（1）解：转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一次落在白色，另一次落在灰色区域的有4种，
所以，一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率为．
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可．
（2）画树状图，得到所有的等可能结果，找到符合题意的结果数，根据概率公式解答即可．
（1）解：转盘转动一次，求指针落在白色区域的概率；
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一次落在白色，另一次落在灰色区域的有4种，
所以，一次落在白色，另一次落在灰色区域的概率为．
20．（2024九上·清苑期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为的整数），函数的图象为曲线L．
（1）则的坐标是__________．
（2）若曲线L过时，求出k的值，并说明此时曲线L是否过．
（3）若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是__________．
【答案】（1）
（2）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，
把代入解析式，求得，
，
当时，，
此时曲线L过点；
（3）
【解析】【解答】（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
，
故答案为：；
（3）解：当函数过点和时，，
当函数过点和时，，
∴若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：，
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数的应用.
（1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，据此可求出的坐标 ；
（2）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，据此可求出、的坐标，把代入反比例函数的解析式可求出k的值，再求出，y的函数值，据此可作出判断；
（3）先求出函数 过点和时的k的值，再求出函数 过点和时的k值，据此可求出k的取值范围．
（1）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
，
故答案为：；
（2）解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
，，，
把代入解析式，求得，
，
当时，，
此时曲线L过点；
（3）解：当函数过点和时，，
当函数过点和时，，
∴若曲线L使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：，
故答案为：．
21．（2024九上·阳山期末）如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，．
（1）求证：四边形BGEF为菱形；
（2）求FG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG＝∠BGF，
∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，
∴∠BGF＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝GE，
∵图形翻折后BG与GE完全重合，
∴BG＝GE，
∴EF＝BG，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∴四边形BGEF为菱形；
（2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°，
∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴FK＝AB＝8，BK＝AF，
在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10，
∴AF＝，
∴BK＝AF＝6，
∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4，
∴FG＝．
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得 AD∥BC，则∠EFG＝∠BGF，再根据折叠性质可得 ∠BGF＝∠EGF， 则 ∠BGF＝∠EGF，即EF＝GE，EF＝BG，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2） 过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， 根据矩形判定定理可得四边形ABKF是矩形，则FK＝AB＝8，BK＝AF，再根据勾股定理可得AF=6，再根据边之间的关系可得BK=6，GK=4，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EFG＝∠BGF，
∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线，
∴∠BGF＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠EGF，
∴EF＝GE，
∵图形翻折后BG与GE完全重合，
∴BG＝GE，
∴EF＝BG，
∴四边形BGEF为平行四边形，
∴四边形BGEF为菱形；
（2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°，
∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°，
∴四边形ABKF是矩形，
∴FK＝AB＝8，BK＝AF，
在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10，
∴AF＝，
∴BK＝AF＝6，
∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4，
∴FG＝．
22．（2024九上·叙州期末）近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．
（1）养鸡场面积 （用含x的代数式表示）；
（2）当鸡场面积为时，求边的长；
（3）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
【答案】（1）-2+28x
（2）解：由题可得：-2+28x=80
解的4或10
又∵墙AB=9
∴=4舍弃
∴CD=10米
（3）解：不能实现，理由如下：
当-2+28x=100
化简得：-14x+50=0
=-4ac=-4<0
∴该方程无实数解
∴不能实现
【解析】【解答】（1）解：，
，
；
故答案为：．
【分析】（1）先用含x的代数式表示DE的长，再根据长方形的面积求解即可；
（2）根据鸡场面积为80，结合（1）中所列的代数式，列一元二次方程并求解即可；
（3）根据鸡场面积为100，列一元二次方程，用根的判别式判定即可。
23．（2024九上·渠县期末）如图，在与中，已知，，，，，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过A作于G，
由（1）知，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据同角或等角的余角相等证得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证得 ；
（2）过A作于G， 先由得到 ，再利勾股定理求出AG的长，然后根据三角形的面积公式计算即可.
24．（2024九上·青山湖期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
（1）猜想：，的位置关系是 ；
（2）求证：．
【答案】（1）．
（2）证明：如图，作于点，于点，
，
正方形中，
，，平分，
四边形为正方形，
，，
矩形中，，
，
则，
即，
和中，
，
，
矩形是正方形，
，，
，
则，
即，
和中，
．
【解析】【解答】解：（1），
如图，作于点，于点，
，
正方形中，
，，平分，
四边形为正方形，
，，
矩形中，，
，
则，
即，
和中
，
，
矩形是正方形，
，，
，
则，
即，
和中，
，
，
等腰直角中有，
，
即，．
【分析】（1）如图所示，AE、CG的位置关系很明显不是平行，容易推测是垂直，但看起来简单，证明起来过程比较冗长；看到下一问是全等三角形的证明，如果结论得证，则可以由对应角相等得到AE
、CG的交角是90°，故思路比较清晰起来，先证；
（2）由正方形性质，可得一组全等证明需要的等边，由AC是角平分线想到角平分线性质可得等边，故尝试作于点，于点，得EQ=EP，由同角的余角相等得到证明EF=ED的条件，此时可以推导出矩形是正方形，至此证明全等的条件还缺少两对应边的夹角；再次由同角的余角相等得到该夹角相等，至此此时全等的条件足够，符合SAS定理，整理思路推导即可。由全等可知对应角，则有，垂直关系得证。
25．（2023九上·东莞期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）直接写出 ； ；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
（3）在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；1
（2）或；
（3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；
理由如下：
∵，，
∴，
设点P坐标为，
①当时，得：，
解得：或，
此时点P坐标为或；
②当时，得：，此时无解；
③当时，得：，
解得：，
此时点P坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，则，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上．
∴，
故答案为：3，1；
（2）解：∵，，
∴观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式求出解析式，再求出点B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）设点P坐标为，分类讨论：①当时，②当时，③当时，再利用两点之间的距离公式列出方程求解即可.
（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，则，
∴反比例函数的表达式为，
又∵点在反比例函数的图象上．
∴，
故答案为：3，1；
（2）解：∵，，
观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；理由如下：
∵，，
∴，
设点P坐标为，
①当时，得：，
解得：或，
此时点P坐标为或；
②当时，得：，此时无解；
③当时，得：，
解得：，
此时点P坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
