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苏科版2025—2026学年八年级上册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·番禺期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形
2．（2024八上·雨城期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·遵义期末）点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·宁明期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
5．（2024八上·南关期末）若，则a的值为（ ）
A．2 B．16 C．﹣16 D．±16
6．（2024八上·南充期末）已知a，b，c为△ABC三边，且满足，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
7．（2024八上·宽城期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
8．（2024八上·斗门期末）与的边重合，．添加下一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
10．（2024八上·遂川期末）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·慈溪期末）已知一次函数，当时，，则的值为 ．
12．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，于点D，，，则BC的长为 ．
13．（2024八上·南关期末）函数自变量x的取值范围是 ．
14．（2024八上·朝阳期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣1与y＝ax（a≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ．
15．（2024八上·黔东南期末）如图，在四边形中，，则的长为 ．
16．（2025八上·成都期末）如图，与都是等边三角形，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接、．若，，则的长 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·宁波期末）已知y关于x的一次函数．
（1）当时，；当时，，求k，b的值；
（2）若，是该一次函数图象上的两点，求证：．
18．（2024八上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AB的中点，过点A作l1∥BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）试证明△BCE是等腰三角形.
19．（2024八上·永年期末）已知：的平方根是与，且的算术平方根是3．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
20．（2024八上·宁乡市期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
21．（2024八上·万州期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
22．（2024八上·璧山期末）上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
23．（2024八上·拱墅期末）已知在平面直角坐标系中，有两点P(-3，-2)，点A（3，1）．
（1）写出点P到x轴的距离
（2）求出直线PA的解析式
（3）试判断点B（a-3，）是否在此直线上
24．（2024八上·雅安期末）如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．
25．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
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苏科版2025—2026学年八年级上册期末综合进阶提升卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·番禺期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．长方形 C．直角三角形 D．平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：因为三角形具有稳定性，所以四个选项中的图形具有稳定性的是直角三角形．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
2．（2024八上·雨城期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】观察图形，用割补法求得的面积，根据网格图的特征用勾股定理求出的长，再用等面积法可得关于AD的方程，解方程即可求解．
3．（2024八上·遵义期末）点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：C．
【分析】利用关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数解题即可．
4．（2024八上·宁明期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．如果两个数相等，则它们的绝对值也相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、原命题的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题，∴A符合题意；
B、原命题的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题，∴B不符合题意；
C、原命题的逆命题是对应角相等三角形的是全等三角形，假命题，∴C不符合题意；
D、原命题的逆命题是如果两数的平方相等，那么这两个实数相等，假命题，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先分别求出每一个选项的逆命题，再分别判断是否是真命题即可.
5．（2024八上·南关期末）若，则a的值为（ ）
A．2 B．16 C．﹣16 D．±16
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据算术平方根可直接得出a的值．若一个非负数x的平方等于a，即x2=a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作x=．
6．（2024八上·南充期末）已知a，b，c为△ABC三边，且满足，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴（a-b）b=c（a-b），
∴（b-c）（a-b）=0，
∴b-c=0或a-b=0，
∴b=c或a=b，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法将原式变形为（b-c）（a-b）=0，可得b=c或a=b，从而可证出△ABC是等腰三角形.
7．（2024八上·宽城期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：
在△AOB和△A'OB'中
∴△AOB≌△A'OB'（SAS）
故答案为：B
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
8．（2024八上·斗门期末）与的边重合，．添加下一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C、、、，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D、、、，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】全等三角形的判定：SAS，ASA，AAS，SSS，HL．据此判定．
9．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
A、乙队即为AC所在直线的函数表达式，假设该函数表达式为y乙=k乙x+b乙，∵ 乙队始终以 的速度匀速前进 ，∴k乙=5，将C点（1.5，6）代入，得到6=5×1.5+b，解得b=-1.5，∴乙队的函数表达式为y乙=5x-1.5，当y乙=0时，解得x=0.3，即A点坐标为（0.3，0），意思就是乙队比甲队晚出发 ，故选项A正确；
B、OB段即甲队开始时候的函数表达式，则速度=斜率=3÷0.5=6，而“ 甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半 ”，即BC段函数表达式的斜率就是6÷2=3。设BC段函数表达式为y减速甲=3x+b减速甲，将C点（1.5，6）代入，得到6=3×1.5+b减速甲，解得b减速甲=1.5，∴ 甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为 ，故选项B正确；
C、甲队在0.5h的时候开始减速，此时乙队的前进路程为5×0.5-1.5=1km，故选项C正确；
D、当甲队前进0.25h的时候，此时前进的路程为6×0.25=1.5km，该同学在1.5km的地方等待乙队，此时乙队需要用时列式为1.5=5x-1.5，解得x=0.6h，因此甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 0.6h 后被乙队追上，则他掉队时甲所前迸了0.25h。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】本题根据图象和条件，分别求出乙队的函数表达式和甲队两部分的函数表达式，然后根据四个选项分别代入进行详细的计算，即可找出正确的选项。
10．（2024八上·遂川期末）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
A：由图可知，正比例函数，但一次函数图象交y轴于负半轴了，故不符题意
B：由图可知，函数和一次函数k值相同了，故不符合题意
C：由图可知，正比例函数，但一次函数图象交y轴于正半轴了，故不符题意
D：由图可知，正比例函数，与一次函数图象相交且一次函数交y轴于正半轴，故符合题意
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象的性质，k值一正一负判定是相交排除B，当k大于0时y＝kx 过原点在一、三象限且y＝﹣kx+k与y轴交于正半轴，故可选出正确答案D。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·慈溪期末）已知一次函数，当时，，则的值为 ．
【答案】1或
【解析】【解答】（1）当x=-1时，y=1，则当x=2时，y=4。即，解得；
（2）当x=-1时，y=4，则当x=2时，y=－1。即，解得
故答案为：1或－1.
【分析】因为k的值未知，所以应当分类讨论：当时，y随x的增大而增大 ；当时，y随x的增大而减小。
12．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，于点D，，，则BC的长为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：设BC为x，则CD为x-1，
∵，
∴
解得：
故答案为：5.
【分析】设BC为x，则CD为x-1，进而根据勾股定理列出方程：解此方程即可.
13．（2024八上·南关期末）函数自变量x的取值范围是 ．
【答案】x＞﹣1
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得，
故答案为：．
【分析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数即；分式有意义的条件是分母不为0即，综上得到，解不等式即可得到答案．
14．（2024八上·朝阳期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x﹣1与y＝ax（a≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴方程组的解为，
即的解为：，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的交点坐标就是以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．据此求解即可。
15．（2024八上·黔东南期末）如图，在四边形中，，则的长为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：延长交于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点E ，根据三角形内角和定理可得，再根据等角对等边得，利用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”，即可得到，进而得到CD的长.
16．（2025八上·成都期末）如图，与都是等边三角形，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接、．若，，则的长 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，设与的交点为，作于点，设，
点关于的对称点为点，
，，，，
，，
与都是等边三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】 连接BE，设CE与BF的交点为G，作BH⊥AF于点H，设BE=x， 由轴对称性质得BC=BE，CF=EF，FG⊥EC，EG=GC，由等边对等角得∠BEC=∠BCE，∠FEC=∠FCE，结合等边三角形性质得BC=AB=BD=BE，再由等边对等角得∠BEA=∠BAE，根据平角定义、三角内角和定理、等量代换及四边形内角和定理推出∠AFC+∠ABC=180°，结合等边三角形性质可推出∠AFC=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△CEF是等边三角形，得EF=EC=FC=2，由勾股定理算出GF、BG，由等腰三角形的三线合一得HE=AE=2.5，根据BH2=BF2-HF2=BE2-HE2建立方程，求出x得值，从而可求出BF的长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·宁波期末）已知y关于x的一次函数．
（1）当时，；当时，，求k，b的值；
（2）若，是该一次函数图象上的两点，求证：．
【答案】（1）解：设由题意得，
解得
（2）解：把分别代入得
∴
【解析】【分析】（1）根据一次函数上点的坐标特征得到方程组，解此方程组即可求解；
（2）把分别代入得，进而代入计算即可.
18．（2024八上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AB的中点，过点A作l1∥BC，过点B作l2⊥CD于F，l1与l2交于点E，连接CE、DE.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）试证明△BCE是等腰三角形.
【答案】（1）证明：∵l1∥BC
∴∠EAB＋∠ABC＝180°
∵∠ABC＝90°
∴∠EAB＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°
∵l2⊥CD
∴∠EBC＋∠DCB＝90°
∵∠EBC＋∠EBA＝90°
∴∠DCB＝∠EBA
在△AEB和△BDC中
∴△AEB≌△BDC（ASA）
（2）证明：由△AEB≌△BDC（已证）得AE＝BD
∵D为AB的中点，即AD＝BD
∴AE＝AD
∵∠ABC＝90°，AB＝AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠BAC＝45°∴∠EAC＝90°－45°＝45°
∴∠EAC＝∠DAC
在△EAC和△DAC中
∴△EAC≌△DAC（SAS）
∴DC＝CE
由（1）△AEB≌△BDC得BE＝CD
∴BE＝CE
∴△BCE是等腰三角形
【解析】【分析】（1）先利用角的运算及等量代换求出∠DCB＝∠EBA，再利用“ASA”证出△AEB≌△BDC即可；
（2）先证出△ABC是等腰直角三角形，可得∠EAC＝∠DAC，再利用“SAS”证出△EAC≌△DAC，可得DC＝CE，再结合BE＝CD，证出 BE＝CE，可得△BCE是等腰三角形.
19．（2024八上·永年期末）已知：的平方根是与，且的算术平方根是3．
（1）求的值；
（2）求的立方根．
【答案】（1）解：的平方根是与，且的算术平方根是3，
，，
解得：，
（2）解：，，
，
的立方根是2．
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质及算术平方根的性质即可求出答案.
（2）将a，b值代入代数式，再根据立方根的性质即可求出答案.
20．（2024八上·宁乡市期末）如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，
即．
（2）解：，
，
即．
，，
≌，
．
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及等量代换可得；
（2）先利用“ASA”证出≌，再利用全等三角形的性质可得.
21．（2024八上·万州期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．
（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．
【答案】（1）解：由题意得
，，，
如图，过作，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
解得：，
答：山地C距离公路的垂直距离为；
（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，
则，
，
，
由（1）可知，，
，
有危险需要暂时封锁，
在中，
，
，
即需要封锁的公路长为．
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用；
（1）过作，因为，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再利用等面积法可列出式子，代入数据可求出答案；
（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三角形的性质可得：，比较与的大小可判断是否有危险需要暂时封锁 ，再利用勾股定理得，可求出 需要封锁的公路长．
22．（2024八上·璧山期末）上午8时，一条船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛处，从望灯塔，测得，．
（1）求从海岛到灯塔的距离；
（2）这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔的距离最短？
【答案】（1）解：由题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：如图，过点C作CP⊥AB于点P，
根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，，
∵，
∴，
∴在中，（海里），
∵，
．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【解析】【分析】 （1）根据已知条件得到∠ACB=60°-30°=30°，
根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
23．（2024八上·拱墅期末）已知在平面直角坐标系中，有两点P(-3，-2)，点A（3，1）．
（1）写出点P到x轴的距离
（2）求出直线PA的解析式
（3）试判断点B（a-3，）是否在此直线上
【答案】（1）解：∵
∴点P到x轴的距离为：.
（2）解：设直线PA的解析式为：
∴
∴直线PA的解析式为：.
（3）解：不在
理由：令
当此时
∴当a=-12时，点B在此直线上.
【解析】【分析】（1）根据点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值，据此即可求解；
（2）设直线PA的解析式为：，利用待定系数法把点P和点A的坐标代入，即可求解；
（3）把代入直线解析式，观察得到的y值是否与点B的纵坐标相等即可.
24．（2024八上·雅安期末）如图，已知直线：与轴，轴交于点，点，直线经过点，与直线交于点．
（1）求点的坐标及直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）点为直线上一动点，若有，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点在直线上
∴
即
设直线的表达式为，且直线过点，
∴
解，得
∴直线的解析式
（2）解：∵直线与轴交于点
∴
∴
∴
（3）解：作交于点，设，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
解得或，
∴或
【解析】【分析】（1）把点D的坐标代入直线y=2x+5中求出m的值，再根据待定系数法求出的函数表达式即可．
（2）先求出A点坐标，再根据坐标确定三角形ACD的底和高，利用三角形的面积公式求解即可；
（3）作PE⊥OB交AB于点E，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示点P和点E的坐标，根据列方程即可求出m的值，进而可求出P点坐标。
25．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；
（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
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