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苏科版2025—2026学年九年级上册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·定州期末）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．21个 B．14个 C．20个 D．30个
2．（2024九上·潮南期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
3．（2024九上·哈尔滨期末）如图，与相切于点，的延长线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·西湖期末）四边形内接于，，则m，n满足条件（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·广东期末）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C．±16 D．±17
6．（2024九上·五华期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
7．（2024九上·汕尾期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·任丘期末）张明在对一组数据“6▲，15，28，63，39，28”进行分析时，发现第一个两位数的个位数字被墨水弄脏看不到了，此时统计结果不受影响的统计量是（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
9．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·越城期末）如图，AB是的直径，，弦是上的动点，取AP的中点，则CD的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024·讷河期末）甲、乙两人参加社会实践活动，随机选取“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 .
12．（2024九上·房山期末）如图，在3×3的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，点C在OB上，则的长为 .
13．（2024九上·衡阳期末）关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
14．（2023九上·府谷期末）小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 .
15．（2023九上·宜宾期末）我市某新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的100辆增长到3月份的121辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 .
16．（2025九上·安州期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南岸期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·威远期末）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题．
（1）本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图 ．
（2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数．
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率．
19．（2024九上·万源期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
20．（2024九上·延边期末）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，，三点恰好在半圆上，延长到点，作直线，使得·
（1）求证：是半圆的切线.
（2）若，求阴影部分的面积.
21．（2024九上·福州期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
22．（2024九上·昌邑期末）小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏，先将梅花2，3，4，5和红心2，3，4，5分别洗匀，并分开将正面朝下放在桌子上，游戏者在4张梅花牌中随机抽1张，再在4张红心牌中随机抽1张，规定：当两次所抽出的牌面上数字之积为奇数时，他就可获奖.
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）游戏者获奖的概率是多少？
23．（2024九上·汝城期末） 某运动服专卖店在销售中发现，某款运动服每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接国庆节，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件运动服降价元，那么平均可多售出件．
（1）设每件童装降价 元时，每天卖出 件，每件可盈利 元；用的代数式表示
（2）若该专卖店计划平均每天盈利元，那么每件运动服应降价多少元？
24．（2023九上·永善期末）如图，是边长为4的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边、相交于点D、E，，垂足为F.
（1）求证：直线是的切线；
（2）当直线与相切时，求的半径.
25．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
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苏科版2025—2026学年九年级上册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·定州期末）在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中大约有红球（ ）
A．21个 B．14个 C．20个 D．30个
【答案】A
【解析】【解答】由题意可得：
解得：x＝21，
经检验，x=21是原方程的解
故红球约有21个，
故选：A．
【分析】本题考查利用频率估计概率.在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此可列出方程：，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
2．（2024九上·潮南期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴
原式=
故答案为：B.
【分析】将代入原方程得到将待求式化简即可求解.
3．（2024九上·哈尔滨期末）如图，与相切于点，的延长线交于点，连结．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=38°，
∴∠AOB=52°，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，OB=OC，
∴∠C=∠OBC==26°.
故答案为：B.
【分析】连接OB，根据圆的切线的性质可得∠OBA=90°，由直角三角形两锐角互余可求得∠AOB的度数，然后根据三角形的外角的性质和等边对等角可求解.
4．（2024九上·西湖期末）四边形内接于，，则m，n满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 圆内接四边形，
∴，
∵，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，据此不难得到m、n的关系.
5．（2024九上·广东期末）若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为（ ）
A．16 B．17 C．±16 D．±17
【答案】C
【解析】【解答】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2；因为它们的积为63，所以，解得，；所以当时，另一个数为9，其和为16，当时，另一个为-7，其和为-16
故答案为：C
【分析】设两个奇数其中较小的为x，则另一个为x＋2，根据题意列出方程，再求解即可。
6．（2024九上·五华期末）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【答案】B
【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故答案为：B．
【分析】根据“ 程计划安排7天，每天安排4场比赛 ”列出方程x（x﹣1）＝4×7即可。
7．（2024九上·汕尾期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接，，
∵，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，，根据切线性质可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，再根据四边形内角和即可求出答案.
8．（2024九上·任丘期末）张明在对一组数据“6▲，15，28，63，39，28”进行分析时，发现第一个两位数的个位数字被墨水弄脏看不到了，此时统计结果不受影响的统计量是（ ）
A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数
【答案】D
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为28与39的平均数，与被涂污数字无关．
故答案为：D
【分析】本题考查平均数、中位数、方差和众数.根据平均数、方差和众数的定义可知：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，据此可排除A，B，C选项；根据中位数的定义可得：这组数据的中位数为28与39的平均数，据此可选出答案.
9．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
10．（2023九上·越城期末）如图，AB是的直径，，弦是上的动点，取AP的中点，则CD的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为以为直径的，连接，
∵，
∴当点在的延长线上时，的值最大，
∵是的直径，，弦，
∴，
∴是等边三角形，
，
取的中点，连接，
则，，
在中，，
，
，
∴的最大值为，
故答案为：A．
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理．如图，连接，根据，可得，进而可得，据此可证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，根据是的直径，，弦，可得，进而可证明是等边三角形，取的中点，连接，利用勾股定理可求出，利用含30°角的性质可得：，进而可求出CD，求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024·讷河期末）甲、乙两人参加社会实践活动，随机选取“做社区志愿者”和“做交通引导员”两项中的一项，两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：设“做社区志愿者”记为A，“做交通引导员”记为B，
列树状图如下
一共有4种结果，两人同时选择“做社区志愿者”的只有1种情况，
∴P（两人同时选择“做社区志愿者”）=
故答案为：.
【分析】设“做社区志愿者”记为A，“做交通引导员”记为B，列树状图，可得到所以等可能的结果数及两人同时选择“做社区志愿者”的情况数，然后利用概率公式进行计算.
12．（2024九上·房山期末）如图，在3×3的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，点C在OB上，则的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：
【分析】根据勾股定理及扇形性质可求出OA长，再根据弧长公式即可求出答案.
13．（2024九上·衡阳期末）关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵方程x2－x+m=0没有实数根，
∴△=，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据根的判别式求解。方程没有实数根，判别式的值小于零，即，再解不等式即可。
14．（2023九上·府谷期末）小华在解方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 .
【答案】0
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：或，
故答案为：0.
【分析】对原方程因式分解可得x(x-8)=0，求解即可得到方程的另一根.
15．（2023九上·宜宾期末）我市某新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的100辆增长到3月份的121辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 .
【答案】10%
【解析】【解答】解：设从1月份到3月份的月平均增长率为，根据题意得，
解得：（舍去）
∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%，
故答案为：10%.
【分析】设从1月份到3月份的月平均增长率为x，由题意可得2月份的销售量为100(1+x)，3月份的销售量为100(1+x)2，然后根据3月份为121辆建立方程，求解即可.
16．（2025九上·安州期末）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，是的内切圆，点N，点P分别是，x轴上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，
点的坐标为，
点的坐标为，
，，
设与三边的切点为，，，连接，，，则，，，设，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，，
，，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【分析】延长到点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值；由点的坐标的特征求得线段，，用三角形的面积关系求得的半径，延长交于点，利用矩形的性质和勾股定理求得的长度，然后由线段的构成可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南岸期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据配方法结合题意解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解。
18．（2024九上·威远期末）为了了解学生对围棋、象棋、军棋、跳棋、五子棋五项活动的喜爱情况，学校随机调查了一些学生，已知每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题．
（1）本次被调查的学生有 名，请补全条形统计图 ．
（2）求扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数．
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生围棋比赛，请用列表法或画树状图法求甲同学和乙同学同时被选中的概率．
【答案】（1）100；补全条形统计图如下：
（2）解：扇形统计图中“五子棋”对应的扇形的圆心角度数为 ．故答案为：．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为．
【解析】【解答】解：（1）本次被调查的学生人数为：30÷30%=100，
∴象棋的人数为：100-30-20-10-5=35，
条形统计图为：
故答案为：100；条形统计图如图.
【分析】（1）利用“围棋”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“象棋”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先求出“五子棋”的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
19．（2024九上·万源期末）关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴．
解得：．
（2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，，
∵，
∴
，
根据勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴的周长为．
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，对应的判别式，代入相应值计算即可求出答案；
（2）设，是关于x的一元二次方程的两实数根，根据根与系数的关系可得，，根据配方法可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案.
20．（2024九上·延边期末）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，，，，三点恰好在半圆上，延长到点，作直线，使得·
（1）求证：是半圆的切线.
（2）若，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴是的直径，即在上，
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴是半圆的切线；
（2）解：∵
∴
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得再根据三角形内角和定理可得，则再根据切线的判定定理即可求出答案.
（2）根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，根据扇形面积和三角形面积可得，，则，即可求出答案.
21．（2024九上·福州期末）如图，中，，点D在边上，以为直径的与直线相切于点E，连接，且．连接交于点F．
（1）求证：．
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）解：如下图，连接，
与相切于点E，
，
，
，
，
是的半径，，
与相切于点C，
，
在和中，，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，且，
，
解得：，
，
，
点O、点A都在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
，
，
，
线段，的长分别是1、．
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，接着证明与相切于点C，即，然后利用"HL"证明，得到，进而即可求解；
（2）利用勾股定理求出BC的长度，进而得到OA的长度，然后利用等面积法证明，进而可求出OC的长度，再证明垂直平分，则，据此即可求出CE的长度，进而即可求解.
22．（2024九上·昌邑期末）小明为班上联欢会设计一个摸扑克牌获奖游戏，先将梅花2，3，4，5和红心2，3，4，5分别洗匀，并分开将正面朝下放在桌子上，游戏者在4张梅花牌中随机抽1张，再在4张红心牌中随机抽1张，规定：当两次所抽出的牌面上数字之积为奇数时，他就可获奖.
（1）利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果；
（2）游戏者获奖的概率是多少？
【答案】（1）解：画树状图如图所示.
由图知，积共有16种等可能的结果数.
（2）解：游戏者获奖的概率为.
【解析】【分析】（1）先画出树状图即可得到共有16种等可能的结果数；
（2）根据简单事件的概率进行计算即可求解。
23．（2024九上·汝城期末） 某运动服专卖店在销售中发现，某款运动服每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接国庆节，该店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件运动服降价元，那么平均可多售出件．
（1）设每件童装降价 元时，每天卖出 件，每件可盈利 元；用的代数式表示
（2）若该专卖店计划平均每天盈利元，那么每件运动服应降价多少元？
【答案】（1）；；
（2）解：依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件运动服应降价元或元．
【解析】【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：x，，
【分析】（1）根据题意写出代数式即可求解；
（2）根据（1）中代数式结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解。
24．（2023九上·永善期末）如图，是边长为4的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边、相交于点D、E，，垂足为F.
（1）求证：直线是的切线；
（2）当直线与相切时，求的半径.
【答案】（1）证明：连接OE，如图：
∵是等边三角形
∴ ∠C=∠OBE=60°
∵ OB=OE
∴ ∠OEB=∠OBE=60°
∵ EF⊥AC
∴ ∠EFC=90°
∴ ∠FEC=30°
∴ ∠OEF=180°-∠OEB-∠FEC=90°
∴ 直线EF是的切线 ；
（2）解：设 的半径为r，则OB=OE=OD=r
∵ 是边长为4的等边三角形
∴ AB=BC=AC=4，∠A=60°
∴ CE=4-r，AD=4-2r，
由（1）知：∠FEC=30°，EF⊥AC
∴FC=CE=（4-r）
∴ AF=4-（4-r）
∵ DF 与相切
∴ ∠ODF=∠ADF=90°，
∴ AF=2AD=2（4-2r）
∴ 4-（4-r）=2（4-2r）
解得：r=
∴的半径为.
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握圆的切线判定与性质是关键。（1）由等边和OB=OE得 ∠OEB=60°，由EF⊥AC得∠FEC=30°，可证∠OEF=90°，可证EF是∠FEC=30°；（2）设半径为r，得OB=OE=OD=r，由等边 的边长为4得 CE=4-r，AD=4-2r；根据∠FEC=30°，EF⊥AC得AF=4-（4-r）；根据 DF 与相切 ，∠A=60°得AF=2AD=2（4-2r），可得r.
25．（2024九上·绍兴期末）已知一次函数，反比例函数．
（1）若，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数，求正整数k的值；
（2）若，两函数图象所有交点的横坐标都大于，求实数m的最大值．
【答案】（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
。
（2）解：∵，∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，二次函数的图象和性质．
（1） 当，两函数图象在第一象限内交点的横坐标是整数可得：，再根据都是正整数，可列出方程组或，解方程组可求出k的值，据此可求出答案；
（2）当 时，一次函数为，进而可得，变形可得：，采用换元法令，则，再由函数图象所有交点的横坐标都大于，令，通过配方可得：，利用二次函数的性质可求出m的最大值.
（1）解：∵，
∴一次函数，反比例函数．
，
，
都是正整数，
∴或，
或（舍去），
验证得当时符合题设，
；
（2）解：∵，
∴一次函数，
，
，
，令，则，
∵两函数图象所有交点的横坐标都大于，
∴，
，
所以当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
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