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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·章贡期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·湘西期末）如图，是的半径，弦是优弧上一点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·清城期末）如图，已知，，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·连山期末）物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·南沙期末）如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
6．（2024九上·四会期末）如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·黔东南期末）一次函数与二次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020九上·宜春期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放宜春二套 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．地球绕着太阳转
9．（2025九上·诸暨期末）等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
10．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·都江堰期末）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ．
12．（2024九上·揭阳期末）若均不为0)，那么 .
13．（2024九上·防城期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为 .
14．（2024九上·桐乡市期末）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
15．（2024九上·缙云期末）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
16．（2024九上·进贤期末）已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·番禺期末）某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可多售出2件．
（1）要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利1200元，问每件运动衫应降价多少元？
（2）当每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
18．（2024九上·红桥期末）已知的半径为5，四边形内接于，．
（1）如图①，若，求弦和的长；
（2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小．
19．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，，其中．
（1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值．
（2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
20．（2024九上·湘西期末）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
21．（2024九上·温州期末）第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．
（1）第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
22．（2024九上·清城期末）如图，在平行四边形中，E是边上一点，，连接并延长与的延长线交于点F，与交于点G，连接.
（1）若，试判断四边形的形状，并证明；
（2）若，求的长.
23．（2024九上·邻水期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：）
24．（2024九上·缙云期末）已知，二次函数（为常数）．
（1）若，判断点是否在此函数的图象上；
（2）若此函数图象经过点，求的值；
（3）若此函数图象经过点，，求证：．
25．（2024九上·宁波期末）如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末模拟练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·章贡期末）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】利用二次函数的顶点式直接求出其顶点坐标即可.
2．（2024九上·湘西期末）如图，是的半径，弦是优弧上一点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用垂径定理可得，再利用弧与圆心角的性质可得．
3．（2024九上·清城期末）如图，已知，，，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
4．（2024九上·连山期末）物理某一实验的电路图如图所示，其中K1，K2，K3为电路开关，L1，L2为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K1，K2，K3中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两盏灯泡同时发光的概率为：P==．
故答案为：A
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果， 再求出能让两盏灯泡同时发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
5．（2024九上·南沙期末）如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接正六边形的中心O和两个顶点D，E得到△ODE
∵
∵OD=OE
∴△ODE为等边三角形
∴OD=OE=DE=2
∴
∴ 这个螺帽的面积是
故答案为：C
【分析】连接正六边形的中心O和两个顶点D，E得到△ODE，根据等边三角形判定定理可得△ODE为等边三角形，则OD=OE=DE=2，再根据三角形面积即可求出答案.
6．（2024九上·四会期末）如图，四边形内接于圆，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，，
∴∠ABC=180°-48°=132°，
∵四边形内接于圆，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠D=48°，
∴∠AOC=2∠D=96°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）得到∠ABC=180°-48°=132°，进而根据圆内接四边形的性质得到∠D=48°，从而根据圆周角定理即可求解。
7．（2024九上·黔东南期末）一次函数与二次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】
A： 抛物线开口向上，直线与y轴交点在负半轴，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
B： 抛物线开口向上，直线与y轴交点在负半轴且倾斜方向不符合，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
C： 抛物线开口向下，直线与y轴交点在负半轴，倾斜方向符合，两图象可在同一坐标系中，符合题意
D： 抛物线开口向下，直线与y轴交点在正半轴，两图象在同一坐标系中互相矛盾，不符合题意
故选：C
【分析】一次函数和二次函数具有相同的参数a，在同一坐标系中根据函数的图象性质与系数的关系，可以大致判断图象在坐标系的位置关系。
8．（2020九上·宜春期末）下列事件中，必然事件是（ ）
A．打开电视，正在播放宜春二套 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．地球绕着太阳转
【答案】D
【解析】【解答】解： 、打开电视，正在播放宜春二套，是随机事件，故 不符合题意；
、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故 不符合题意；
、明天会下雨是随机事件，故 不符合题意；
、地球绕着太阳转是必然事件，故 符合题意；
故答案为： ．
【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断符合题意答案．
9．（2025九上·诸暨期末）等腰，，，，则（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B.
【分析】将线段AP绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接PE、CE，由旋转的性质得，，由等腰直角三角形性质得到，，由周角求出，由同角的余角相等得，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由角的构成可证明，，由等角对等边得，由勾股定理得出，，则，求出，即可得到结论.
10．（2024九上·黔东南期末）已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据题意求出二次函数的解析式，进而得到当时，有最大值，从而得到，再结合题意即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·都江堰期末）如图，正方形的对角线交于点中，，将绕点旋转（边在正方形外面），现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵正方形的对角线交于点O，
∴OC=OD，∠ADO=∠ACD=45°，AC⊥BD，
∵∠EOF=90°，
∴∠MOD+∠DON=90°，∠DON+∠CON=90°，
∴∠DOM=∠CON，
∴△DOM≌△CON（ASA），
设正方形的边长为x，
∴S正方形ABCD=x2，
∴S△DOC=S正方形ABCD=，
∵△DOM≌△CON，
∴S△DOM=S△CON，
∴重叠部分的面积=S△MOD+S△DON=S△DON+S△CON=S△DOC=，
∴P（针尖落在与正方形重叠部分）=，
故答案为：.
【分析】先利用“ASA”证出△DOM≌△CON，设正方形的边长为x，可得S△DOC=S正方形ABCD=，再求出重叠部分的面积=S△MOD+S△DON=S△DON+S△CON=S△DOC=，最后利用几何概率公式求解即可.
12．（2024九上·揭阳期末）若均不为0)，那么 .
【答案】5：3
【解析】【解答】解：∵5a=3b，
∴b：a=5：3.
故答案为：5：3.
【分析】根据比例的基本性质解答即可.
13．（2024九上·防城期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠D＝110°，则 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接OA、OC，如图，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝110°，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠ABC=180°，结合∠D的度数可得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠AOC的度数，接下来结合弧长公式计算即可.
14．（2024九上·桐乡市期末）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【分析】根据平移的性质先求出，再求解即可。
15．（2024九上·缙云期末）小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3，
故两人一起做同样手势的概率是的概率为．
故答案为：．
【分析】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解决即可。
16．（2024九上·进贤期末）已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
【答案】2或6或
【解析】【解答】解：根据题意，
三角形相似有两种情况
当时
解得BE=2或6
当时
解得
综上，BE=2或6或
故答案为：2或6或
【分析】根据题意分析图，由相似三角形的性质易证得BE的长为2或6，特别容易忽略第二个三角形相似的情况；题中说与以、、为顶点的三角形相似，因为直角已定，另两组角对应相等有两种情况，故对应线段成比例也有两种情况。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·番禺期末）某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可多售出2件．
（1）要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利1200元，问每件运动衫应降价多少元？
（2）当每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设降价元，根据题意可得，
解得：．
∵想尽量扩大销售量
∴
答：每件运动衫应降价元；
（2）解：设每天的利润为元，根据题意可得：
降价后每天的利润，
，
，
抛物线开口向下，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当降价元时，可获得最大利润，最大利润是元．
【解析】【分析】（1）设降价元，根据单件利润×每天销量=每天盈利，即可得出方程，解方程即可；（2）设每天的利润为元，根据单件利润×每天销量=每天盈利，可得出，转化成顶点式，根据函数最值，即可解答。
（1）解：设降价元，根据题意可得，
解得：．
∵想尽量扩大销售量
∴
答：每件运动衫应降价元；
（2）解：设每天的利润为元，根据题意可得：
降价后每天的利润，
，
，
抛物线开口向下，
当时，取得最大值，最大值为，
答：当降价元时，可获得最大利润，最大利润是元．
18．（2024九上·红桥期末）已知的半径为5，四边形内接于，．
（1）如图①，若，求弦和的长；
（2）如图②，连接，若，求弦的长和的大小．
【答案】（1）解：如图，连接．
，
．
为的直径．
．
的半径为5，
．
又，
在中，．
在中，由，
解得．
（2）解：如图，连接．
，
．
．
．
在中，．
，
∴是等边三角形，
．
．
【解析】【分析】
（1）连接．由圆周角定理可知，为的直径，则得，分别在、中，利用勾股定理解答即可；
（2）连接．由及直径对的圆周角是直角得，，根据圆周角定理得，由30°直角三角形性质得．在中，由勾股定理求得，再根据等边三角形的判定和性质即可求出的度数．
（1）解：如图，连接．
，
．
为的直径．
．
的半径为5，
．
又，
在中，．
在中，由，
解得．
（2）解：如图，连接．
，
．
．
．
在中，．
，
∴是等边三角形，
．
．
19．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，，其中．
（1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值．
（2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
【答案】（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
解得，
∴
（2）解： 函数与轴的交点个数为0，理由如下：
令y2=0，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴函数与轴没有交点
（3）解：∵
∴令，则
解得或，
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵ 函数和函数与轴的交点均相同，
∴函数与x轴的交点坐标为和
∴的解为或，
∴，
∴，或（舍去），
∴，
【解析】【分析】（1）将和分别代入和，可得关于m，n的方程组，解之得到，，然后利用完全平方公式的变形求解 即可；
（2）令y2=0，可得关于x的一元二次方程，求出，再结合判断的大小，即可判断函数与轴的交点个数 ；
（3）先求出函数与x轴的交点坐标，可得函数y2与x轴的交点坐标，即可推出方程的解，然后根据根与系数的关系可得关于m，n的方程组，求解即可．
（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴函数与轴没有交点；
（3）解：∵
∴当时，
解得或
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵
∴，
∴，或，（舍去）．
20．（2024九上·湘西期末）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
【答案】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：，
将点B（0，4）代入，得：，
解得：，
故该抛物线解析式为；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y16+106，
∴这辆货车能安全通过．
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：，将点B（0，4）代入解析式求出a的值即可；
（2）将x=10代入解析式求出y的值，再比较大小即可.
21．（2024九上·温州期末）第19届亚运会于2023年10月8日在杭州结束，如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，求下列事件发生的概率．
（1）第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
【答案】（1）
（2） 解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有：，，，，，共5种，
取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为．
【解析】【解答】（1）解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为．
故答案为：．
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
22．（2024九上·清城期末）如图，在平行四边形中，E是边上一点，，连接并延长与的延长线交于点F，与交于点G，连接.
（1）若，试判断四边形的形状，并证明；
（2）若，求的长.
【答案】（1）解：四边形的形状是矩形，
证明如下：
∵，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形.
（2）解：∵，，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：.
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠ACD=90°，即可证出四边形是矩形；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质可得，即，最后求出CG的长即可.
23．（2024九上·邻水期末）如图1，圆形拱门屏风是家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．如图2是一款拱门的示意图，其中C为的中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．
（1）求拱门最高点D到地面的距离；
（2）现需要给房间内搬进一张长和宽均为、高为的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为，判断搬运该桌子时是否能够通过拱门．（参考数据：）
【答案】（1）解：如图1，连接．
图1
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点D到地面的距离为．
（2）解：如图2，
图2
为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，
则，，，
∴．
在中，根据勾股定理，得，
即，
解得（负值舍去），
∴．
∵，
∴搬运该桌子时能够通过拱门．
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，进而运用勾股定理求出OC，从而即可求解；
（2）为桌子的宽度，分别交于点P，Q，连接，则，，，进而得到OQ，再根据勾股定理即可求出OP，从而结合题意相加即可求解。
24．（2024九上·缙云期末）已知，二次函数（为常数）．
（1）若，判断点是否在此函数的图象上；
（2）若此函数图象经过点，求的值；
（3）若此函数图象经过点，，求证：．
【答案】（1）解：把代入二次函数（是常数）得，当时，，
∴时，点在此函数的图象上；
（2）解：把代入得
，
解得或；
（3）解：点，在上，∴对称轴，，
∴，
∴，
∴，
∴
，
即．
【解析】【分析】（）把代入解析式得，直接把x=-1代入求出函数值判断即可；
（）把代入函数关系式，解关于的方程即可解题．
（）利用对称轴公式得到对称轴为直线，根据对称性得到，把代入二次函数，得到c关于m的二次函数，利用二次函数的最值解题即可．
25．（2024九上·宁波期末）如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
∵是等腰直角三角形，
∴
（2）证明：如图，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理，得
∵， ，
（3）解：不变，，理由如下：如图，连接，
，
∵
根据勾股定理，得即
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可证得弧AC=弧AD，利用圆心角、弧、弦的关系，可证得AC=AD，利用等腰直角三角形的定义可推出AC=AF，利用等边对等角可证得∠ACF=∠AFC，再根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案.
（2）先根据SAS证明，利用全等三角形的性质可证得， ，由（1）得，进而得出，然后根据是等腰直角三角形，可知，接下来说明，再最后根据勾股定理可证得结论.
（3）连接，先说明，利用相似三角形的性质可证得，再证明，然后根据勾股定理可求出的值，由此可得到的值.
（1）证明：
，
∵是等腰直角三角形，
∴
；
（2）证明：如图，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理，得
∵， ，
；
（3）解：不变，，理由如下：
如图，连接，
，
∵
根据勾股定理，得即
．
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