1.3 乘法公式（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

1.3 乘法公式（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若用简便方法计算，应当用下列哪个式子（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则代数式的值是（ ）
A． B．30 C． D．20
6．有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．29 B．25 C．18 D．24
7．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和谐数”．例如：因为，所以12是“和谐数”．下列各数为“和谐数”的是( )
A．48 B．50 C．52 D．54
二、填空题
10．计算： ．
11．计算： ．
12．已知，则 ．
13．已知，那么代数式的值是 ．
14．已知有最小值，求的最大值为 ．
三、解答题
15．【观察计算】用等号或不等号填空：
(1)__________ ；
(2)___________；
(3)___________；
……
【猜想说明】仿照上面，再任意取几组数值，进行计算比较，你能发现什么大小关系，请用不等式进行表达，并说明理由．
【思考应用】
(1)___________(用等号或不等号填空)；
(2)已知一个长方形的面积为16，分别以它的宽和长(宽和长不相等)为边向外画正方形，记这两个正方形的面积分别为、，则的取值范围是___________．
16．用简便方法计算．
(1)
(2)
(3)；
(4)．
17．在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题．借助直观、形象的几何图形，加深对整式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系．如图1，现有边长分别为，的正方形Ⅰ号和Ⅱ号，以及长为，宽为的长方形Ⅲ号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙）．解答下列问题：
(1)图2的长方形是由图1中的卡片拼接而成，则这个几何图形表示的等式是_______________________________________；
(2)若用图1中的卡片拼得一个面积为的长方形，求共用了多少张卡片？
(3)设，，Ⅰ号、Ⅱ号和Ⅲ号每种卡片各有9张．从其中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），若把取出的这些卡片拼成一个正方形，当所拼正方形的边长最大时，请直接写出所用卡片的最少数量．
18．如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“聪明数”，比如，，，则说明4，12，20都是“聪明数”
(1)24是“聪明数”吗？36是“聪明数”吗？为什么？
(2)试说明所有的“聪明数”都不可能是8的倍数．
(3)是否存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”？为什么？
参考答案
1．B
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算解题即可．
【详解】解：，
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了平方差公式，
根据平方差公式的结构特征，需满足两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，逐一分析选项，判断是否符合条件．
【详解】解：
因为两个括号均为，属于完全平方公式，不符合平方差公式的结构，所以A不符合题意；
因为将第一个括号变形为，原式可写为，其中，为相同项，与为相反项，符合平方差公式，结果为，所以B符合题意；
将第二个括号变形为，原式等价于，属于完全平方公式的负数，不符合平方差公式，所以C不符合题意；
因为两个括号中的项均不同且无互为相反数的关系，无法应用平方差公式，所以D不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】此题考查了完全平方公式与平方差公式的应用．熟记公式是准确求解此题的关键．根据完全平方公式与平方差公式的应用，即可求得答案．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查平方差公式，多项式的乘法．利用平方差公式或多项式乘法法则逐项计算即可得到答案．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键．注意整体思想的运用．根据得出，将进行因式分解变形为，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可．
【详解】解：设正方形，的边长各为，，
得图1中阴影部分的面积为：，
解得：或（舍去），
图2中阴影部分的面积为，
可得：，
解得：或（舍去）；
图3阴影部分的面积为：，
；
故选：A．
7．D
【分析】本题考查零指数幂，平方差公式，积的乘方，先分别计算a，b，c的值，再比较即可．
【详解】解：，
，，
因为，
所以，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而得出的值．
【详解】解：，
，
，
．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解决本题的关键是求出两个偶数的平方差的代数式是多少．设连续两个偶数为、为整数，这两个数的平方差是，根据选项，可得、、、，求出选择符合题意的的值．
【详解】解：设连续两个偶数为、为整数，
，
A，，，不符合题意；
B，，，不符合题意；
C，，，，，，符合题意；
D，，，不符合题意．
故选：C．
10．
【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式将式子展开，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查多项式乘以多项式以及代数求值，解题的关键是掌握相关运算法则．
根据得到，将去括号合并同类项，再代入即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
13．4
【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴原式4．
故答案为：4．
14．65
【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点．
首先数轴上两点之间的距离得到，，然后求出，，然后利用完全平方公式将原式变形，进而求解即可．
【详解】∵可以表示为数轴上x到的距离加上x到2的距离
∴当时，有最小值；
∴
∵可以表示为数轴上y到的距离加上y到1的距离
∴当时，有最小值；
∴
∴
∴当，时，有最大值
∴原式．
∴的最大值为65．
故答案为：65．
15．【观察计算】
（1）；（2）；（3）；【猜想说明】见解析；【思考应用】（1）；（2）．
【分析】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是善于实践与比较．
观察与计算：对于（1）、（2）、（3）直接进行计算即可得到结果．
猜想说明：通过再举例与观察，发现任意两数的平方和不小于两数乘积的2倍，通过变形发现，因则
思考应用：（1）根据以上发现的规律可知，当两数不相等时，两数的平方和总大于两数乘积的2倍．
（2）两正方形的面积之和可看成是两数的平方和，矩形（长与宽不等）的面积可看成两数之积，不难得出“两正方形的面积之和大于矩形面积的2倍”的结论．
【详解】【观察计算】
（1）∵
∴．
（2）∵，
∴；
（3）∵ ，
∴，
故答案为：（1） ； （2） ； （3） ；
【猜想说明】举例如下：
用不等式表示：理由如下：
∴．
【思考应用】（1）根据规律，
当时，
当时，
故答案为：．
（2）设长方形的长为a，宽为b，则：
且
∵．宽和长不相等，
故答案为：
16．(1)
(2)1
(3)
(4)
【分析】（1）先变形，再利用完全平方公式展开计算；
（2）先变形为，再利用平方差公式计算即可；
（3）根据完全平方公式将原式化为即可；
（4）配上因式，连续使用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
17．(1)
(2)84张
(3)16张
【分析】本题考查了整式乘法与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握整式乘法与完全平方公式是解题关键．
（1）方法一：利用长方形的面积公式直接计算图2的长方形的面积；方法二：图2的长方形的面积等于四个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和，由此即可得出等式；
（2）利用整式的乘法法则可得，再根据三种卡片的面积即可得；
（3）根据所拼成的是边长最大的正方形，再结合三种卡片的数量，可得最大正方形的边长为，利用完全平方公式计算即可得．
【详解】（1）解：方法一：图2的长方形的长为，宽为，
则图2的长方形的面积为；
方法二：图2的长方形的面积等于四个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和，
则图2的长方形的面积为；
所以这个几何图形表示的等式是，
故答案为：．
（2）解：
，
∵一张Ⅰ号卡片的面积为，一张Ⅱ号卡片的面积为，一张Ⅲ号卡片的面积为，
∴共用卡片的张数为（张），
答：共用了84张卡片．
（3）解：当所拼正方形的边长最大时，则卡片Ⅰ号用的要尽可能的多，每条边上最多是3个，又因为三种卡片均要使用，所以正方形的边上还应有卡片Ⅱ号，则所拼正方形的边长可以为，，，
①当所拼正方形的边长为时，所拼正方形的面积为，此时需要12张Ⅲ号卡片，不符合题意，舍去；
②当所拼正方形的边长为时，所拼正方形的面积为，此时需要18张Ⅲ号卡片，不符合题意，舍去；
③当所拼正方形的边长为时，所拼正方形的面积为，符合题意，此时所用三种卡片的数量为（张），
答：所用卡片的最少数量为16张．
18．(1)24不是“聪明数”；是“聪明数”
(2)见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了平方差公式的运算，有理数的混合运算；
（1）根据定义，进行判断，即可求解；
（2）设两个连续偶数为，，根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）设两个连续奇数为 和，计算它们的平方差得出结果为，根据（2）即可说明不存在的理由．
【详解】（1）解：∵，
∴24不是“聪明数”
∵
∴是“聪明数”
（2）设两个连续偶数为，，则，
∵是奇数，
∴不是8的倍数．即所有的“聪明数”都不是8的倍数．
（3）解：设两个连续奇数为 和，
其平方差为：
由（2）可得，所有的“聪明数”都不是8的倍数．
∴不存在两个连续的奇数，它们的平方差是“聪明数”．