2.1 两条直线的位置关系（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

2.1 两条直线的位置关系（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．已知，则的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．若和互为余角， 与互补，则等于(　　)
A． B． C． D．
5．如图，点O在直线上，，则图中相等的角的对数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，线段和相交于点，下列条件中能说明的是（ ）
A． B． C．
D．
7．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点P在直线l上方，点A，B在直线l上，，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，点直线上，，那么下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．与互为余角 D．与互为补角
10．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
二、填空题
11．如图，已知，于D．比较线段，，的大小，并用“”连接得 ，得此结论的依据是 ．
12．数学课上，老师将一个量角器的中心与直线，的交点重合，表示的点在直线上，表示的点在直线上，对于的度数，让大家进行讨论，小明认为：若140，则；小刚认为：越小，的度数就越小，你认为 的说法正确．
13．如图，，，三点共线，是的平分线，是的平分线，若．则 ．
14．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对．
15．已知，等于，则的度数为 ．
三、解答题
16．如图，．比较与的大小，并说明理由．
17．如图，沿直线向右平移，得到，，．
(1)求的度数；
(2)求的长．
18．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
19．如图，直线、相交于点，平分，，垂足为点．
(1)图中与互补的角是_________；
(2)与相等吗？请说明理由；
(3)若，求和的度数．
参考答案
1．A
【分析】本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．根据余角的定义求得的余角度数，即可解题．
【详解】解：因为，则的余角的度数是.
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平行线的概念，即可求判断．
【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点，
∴其中可能与直线平行的直线是，
故选：A．
3．B
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
4．C
【分析】本题主要考查余角和补角，先根据与互补以及的度数求出的度数，然后根据和互为余角即可求出的度数．
【详解】解：与互补，，
，
和互为余角，
．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了等角的余角相等．根据互余的两个角的度数之和为90度结合等角的余角相等进行推理即可．
【详解】解：∵点O在直线上，，
∴，
∴，，，，
，，，，，
∴相等的角的对数共有5对．
故选：C．
6．D
【分析】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为．根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】解：A、，只能得出点是的中点，故该选项不符合题意；
B、，只能得出点是的中点，故该选项不符合题意；
C、和是对顶角，始终相等，故该选项不符合题意；
D、和是邻补角，当时，，，故该选项符合题意；
故选：D．
7．C
【分析】通过设未知数，利用“余角的度数比补角的一半少”这一条件建立方程求解．
【详解】解：设这个角的度数为则它的余角为，补角为
根据题意列方程：
故选：C ．
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解题关键是设出这个角的度数，根据余角与补角的数量关系列出方程求解．
8．D
【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据垂线段最短判断即可．
【详解】解：垂线段最短，
点P到直线l的距离小于4，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了角的计算比较．熟练掌握余角，补角的定义和性质，角的和差计算，是解题的关键．
根据互余、互补的性质，角的和差关系，结合图形，判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴,
∴，
∴选项正确；
B、∵，
∴，
∴选项不正确；
C、∵，
∴选项正确；
D、∵,
∴选项正确．
故选：B．
10．C
【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴M、C、N共线，
∵，
∵，
∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，
最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
11． 垂线段最短
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：∵，，
∴（垂线段最短），
故答案为：；垂线段最短．
12．小明
【分析】本题考查了角的运算，对顶角，先理解题意，得出的对顶角，再结合的情况进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：依题意，的对顶角，
故小明的说法正确．
当时，越小，的度数就越小，
当时，越小，的度数就越大，
∴小刚的说法不正确．
故答案为：小明
13．/度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．先求出，进而得出，最后根据角平分线的定义，即可解答．
【详解】解：∵，是的平分线，
∴．
由补角性质，可得．
∵是的平分线，
∴．
故答案为：．
14．10
【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有10对；
故答案为：10
15．或
【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的和差运算．结合图形是做这类题的关键．根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
的位置有两种：一种是在内，一种是在外．
①当在内时，；
②当在外时，．
故答案为：或．
16．，理由见解析
【分析】此题主要考查了角的大小比较，根据角的和差关系和同角的余角相等可得答案．
【详解】解：，理由如下：
∵，
∴，，
∴（同角的余角相等）．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据平移的性质和平角的定义即可求解；
（2）根据平移的性质和线段和差关系即可求解．
【详解】（1）解：由平移知，，
∴．
（2）解：由平移知，．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平移的性质，平角的定义，线段的和差关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作，交l于点D．

，
在中，，
由勾股定理得
，

新路长度是80米．
（2）该车超速
在中，，
由勾股定理得
，

该车经过区间用时
∴该车的速度为
该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
19．(1)，，
(2)，见解析
(3)的度数为，的度数为
【分析】本题考查了垂线，余角和补角，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义可得，，，从而利用等量代换可得，，即可解答；
（2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用等角的补角相等可得，即可解答；
（3）先利用平角定义可得，然后利用（2）的结论可得，从而利用角的和差关系可得，即可解答．
【详解】（1）解：平分，
，
，，
，，
，
图中与互补的角是，，，
故答案为：，，；
（2），
理由：，
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
的度数为，的度数为．