2.2 探索直线平行的条件（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

2.2 探索直线平行的条件（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．和是同位角 B．和是对顶角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
2．下列图形中，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的内错角是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示，直线被直线所截，现给出下列条件：
①；②；③④；⑤．
其中能判断的条件的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④⑤
5．如图，，在线段上，，，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线及直线外一点，在经过点的四条直线，，，中，与直线相交的至少有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
7．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．内错角相等，两直线平行
C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
8．如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
9．如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角．
A．20 B．30 C．60 D．120
二、填空题
11．如图，下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是 （填序号）．
12．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高．
（1）的同位角是 ．
（2）的内错角是 ．
（3）点B到直线的距离是线段 的长度．
（4）点D到直线的距离是线段 的长度．
13．如图，下列结论：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角，其中正确的有 （只填序号）．
14．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，有下列结论：
①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的有 ．
15．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）
三、解答题
16．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气中射入水中时要发生折射．如图，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了？其实没有，这是光从空气中射入水中时，光的传播方向发生了改变．
(1)请指出图中所有的同旁内角．
(2)若测得，求筷子的水下部分向上弯折的度数．
17．如图，D是的边的中点．
(1)过点D分别画的平行线，交于点F，E，度量并比较与，与的大小．
(2)连接，运用直尺和三角板检验和的位置关系；度量并比较下列三组线段的大小：和，和，和．你能得出什么结论吗？
18．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．
(1)找一格点D，使得直线，画出直线；
(2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F；
(3)找一格点G，使得直线，画出直线；
(4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接）
19．如图，已知三角形，点D在边上．
(1)过点A作的平行线；
(2)过点D作的垂线段，垂足为F；比较线段与的大小： （“”“”或“”填空），理由： ；
(3)测量点B到直线的距离为 （精确到）．
参考答案
1．A
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及对顶角，正确识图，掌握这些角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义判断，即可得答案．
【详解】解：A、和不是同位角，故符合题意；
B、和是对顶角，故不符合题意；
C、和是同旁内角，故不符合题意
D、和是内错角，故不符合题意；
故选 ：A．
2．A
【分析】本题考查了三线八角的识别，掌握同位角的识别方法是解题的关键．
根据三线八角的图示，同位角的定义“两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角”判定即可．
【详解】解：A、和是同位角，符合题意；
B、和是内错角，不符合题意；
C、和是对顶角，不符合题意；
D、和是同旁内角，不符合题意；
故选：A ．
3．C
【分析】本题考查了内错角的定义，根据内错角的定义即可求解，掌握内错角的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，的内错角是，
故选：．
4．A
【分析】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定依次判定即可．
【详解】解∶ ①∵，
∴（同位角相等，两直线平行）；
②∵，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）；
③∵，不能判定；
④当，，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴不能判定；
⑤不能判定；
综上分析可知：能判断的条件的序号是①②．
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，解题关键在于找到全等三角形． 先证明，然后证明出，再对选项进行一一分析即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，，
∴
∴，故A正确，不符合题意；
∴，故D正确，不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，没有，故B符合题意；
故选B．
6．C
【分析】本题考查平行公理，熟练掌握平行公理是解题的关键；
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，即可求解；
【详解】解：根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，
那么根据图可得：至少有三条直线和直线相交；
故选：C
7．C
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．
【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上；
依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
故选：C
8．A
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可．
【详解】解：①由于和是同位角，则①可判定；
②由于和是内错角，则②可判定；
③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④由于和是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故选A．
9．B
【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键；
根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解
【详解】A、，
，不满足题意；
B、，
，满足同意；
C、，
，不满足题意；
D、，
，不满足题意；
故选：B
10．C
【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键．
任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答．
【详解】如图，任意三条直线相交，
根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组；
设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条，
则共有共10种情况，
则共有（组）
∵内错角需三条直线才得以成立，
∴不存在重复情况，
例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在．
故选：C
11．①②
【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．
根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；逐一判断即可得答案．
【详解】∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；故①符合题意，
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；故②符合题意，
，不能判定，故③不符合题意，
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）；不能判定，故④不符合题意，
故答案为：①②．
12．
【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键．
根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案．
【详解】解：的同位角是，
的内错角是，
点B到直线的距离是线段 的长度，
点D到直线的距离是线段 的长度，
故答案为：； ； ；．
13．①②③
【分析】本题主要考查了内错角、同位角及同旁内角的判断，熟练掌握相关概念是解题关键．
根据内错角、同位角及同旁内角的性质逐一判断即可．
【详解】解：与是内错角，①正确；
与是同位角，②正确；
与是同旁内角，③正确；
故答案为：①②③．
14．
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据三角板各角角度、三角形内角和定理求出角的度数，再根据角之间的关系逐一判断即可．
【详解】解：，
，
，
故正确；
，，
，
又，
，
，
故正确；
如下图所示，
，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
与不平行，
故不成立；
如下图所示，，
，
又，
，
，
故正确；
故答案为： ．
15．①②③④
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据三角板的特点可得，则由平角的定义可判断①；可证明，据此可判断②；如图所示，延长交于点，由平行线的性质得到，再求出的度数即可判断③④．
【详解】解：根据题意，，，
∴，，，
∵，
∴，故结论①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故结论②正确；
如图所示，延长交于点，

∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
∵，
∴，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同旁内角的概念，角的和差运算以及邻补角的概念，解题的关键是熟练掌握同旁内角的概念和角的和差的运算．
（1）利用同旁内角的概念解答此题即可；
（2）利用邻补角和角的和差的运算即可解答此题．
【详解】（1）解：根据同旁内角的定义，结合图形可得：
的同旁内角有：．
（2）解：根据图形可得：
，
．
∴筷子的水下部分向上弯折的度数为．
17．(1)图见解析，；
(2)，，三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半
【分析】本题考查画平行线，线段的度量，熟练掌握平行线的画法是解题的关键：
（1）利用直尺和三角板，画出平行线，度量后，比较线段的大小关系即可；
（2）利用直尺和三角板可验证，度量可以得到，进而得到三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
通过度量可知：；
（2）通过验证可知：；
通过度量可知：；
故可得到结论：三角形两边中点所连线段，平行且等于第三边的一半．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）根据垂直的定义画图即可
（3）根据垂直定义画图即可；
（4）根据垂线段最短判断即可．
本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义．
【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下：
则即为所求．
（2）解：根据题意，画图如下，
则即为所求．
（3）解：根据题意画图如下：
则直线即为所求．
（4）解：根据斜边大于直角边，得．
19．(1)作图见解析
(2)作图见解析，，垂线段最短
(3)（测量值可在）
【分析】本题考查了画平行线，垂线段，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．
（1）根据平行线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得；
（3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）如图所示，即为所求，
，理由：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短
（3）利用带刻度的直尺测量，即点B到直线的距离为（测量值可在），
故答案为：（测量值可在）．