2.3 平行线的性质（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级下册

2.3 平行线的性质（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级下册
一、单选题
1．如果，那么，这个推理的依据是（ ）
A．等量代换
B．两直线平行，同位角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
2．下列语句中：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②同位角相等；③若直线，则；④有公共顶点且相等的角是对顶角；⑤同角的余角相等，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在探索线与角的关系时，数学兴趣小组将一副学生用的三角板，按如图所示的方式摆放．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（ ）
A． B． C． D．
6．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
7．下列命题中，其逆命题成立的是（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④直角三角形的两个锐角互余．
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．①④
8．如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A．30 B．35° C．40° D．50°
9．如图，若，则，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，之间是一座山，一条铁路要通过两点，为此需要在之间修一条笔直的隧道，在地测得铁路走向是北偏东，那么在地按南偏西 的方向施工，就能保证铁路准确接通．
12．为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务．图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图．支架和与地面平行，，当为 时，平行于支撑杆．
13．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置，若，则的度数为 ．
14．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则 ．
15．一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
三、解答题
16．证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直．
17．如图，，，，，求的度数．
18．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
已知：如图，点，分别在线段，上，，交于点，平分．求证：平分．
证明：平分已知，
　 　
已知，
　 　
等量代换
已知
　 　　
　　 　　
　 　　
平分　 　
19．已知点是直线，所确定的平面内的一点．
(1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？
(2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系；
(3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数．
参考答案
1．D
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．
本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】解：如果，那么，根据是平行于同一条直线的两条直线平行．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行公理，对顶角的定义，余角的定义，平行线的性质等等，同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据平行公理可判断③；用公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，据此可判断④；同角的余角相等，据此可判断⑤．
【详解】解：①同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；
②两直线平行，同位角相等，原说法错误；
③若直线，则，原说法正确；
④有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，例如两条互相垂直的直线可以分平角为两个90度的角，但这两个角不是对顶角，原说法错误；
⑤同角的余角相等，原说法正确；
∴说法正确的有2个，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，再结合三角板的度数进行求解即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：如图，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质．
方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解；
方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解．
【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片，
，，
，
由题意知，
，
；
方法二：由题意知，
，，
，
，
，
．
故选：D．
7．D
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么它们相等，是假命题；
④直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余三角形是直角三角形，是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
8．C
【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵C、为对应点，点A为旋转中心，
∴，即为等腰三角形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．
9．C
【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案．
【详解】过点作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．由题意根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图，由，可得，
∵，
∴；
第二种情况：如图，过作平行线，则由，
可得，
∴；
第三种情况：如图，由，可得，
∵，
∴；
第四种情况：如图，由，可得，
∴；
第五、六种情况：当点在的下方时，同理可得或；
综上所述，的度数可能为，即①②③④．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等）和方位角．解题的关键在于识别出两地南北方向平行，利用平行线内错角相等确定地施工方位角．
【详解】如图，
解：因为在地测得铁路的走向是北偏东，即，
所以在地按南偏西的方向施工，才能保证铁路准确接通，
即．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理．
由两直线平行内错角相等，得到，再结合三角形内角和定理求出，再根据平行线的判定定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．先根据，，由是平角求得的度数，再根据平行线的性质，求得的度数即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．/度
【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，为法线，如图：
∵，
∴，
∵为法线，
∴，
∵为法线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．50
【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】如图，根据题意，得，，，，

∵
∴
∴
∴在中，
即A，C两港之间的距离为50 km．
故答案为：50
【点睛】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．
16．见解析
【详解】已知如图，分别平分且相交于点．
求证：．
证明：，
．
分别平分，
，
，
．
17．的度数为．
【分析】本题考查平行线的判定和性质．过E作，得到，推出，，，由补角的性质推出，求出，即可得到．
【详解】解：过E作，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义
【分析】此题考查了平行线的性质，由角平分线定义得到．平行线的性质得到，则，又由得到，，则，即可证明结论．
【详解】证明：∵平分（已知），
∴（角平分线的定义）．
∵（已知），
∴，（两直线平行，内错角相等）
∴．（等量代换）
∵，（已知）
∴，（两直线平行，同位角相等）
，（两直线平行，内错角相等）
∴，（等量代换）
∴平分．（角平分线定义）
故答案为：角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，；
（2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得；
（3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论 ：，
理由：如图1所示，过点M作，
∴，
∵， ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）结论 ：，
如图2，作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由（2）知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
．