4.2 角（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级上册

4.2 角（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级上册
一、单选题
1．以科技馆为观测点，学校在北偏东方向上，下图中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，平分，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．用度、分、秒表示为（　　）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知线段上有一点O，射线和射线在直线的同侧，，，则与的平分线的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．点分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的平分线，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
9．已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．如图，若，则下列说法正确的有（ ）
①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，，如果，那么的度数是 ．

12．如果一个角的余角是，那么这个角的补角是 ．
13． 度 分 秒， ．
14．下列说法中，正确的有 个
①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角；
④平角等于；⑤周角等于．
15．小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小明到家时时针和分针夹角的度数是 ．

三、解答题
16．如图，已知是的平分线，求的度数．
17．计算：
(1)；
(2)；
18．如图，直线与直线相交于点O，且平分．
(1)若比大，求的度数．
(2)证明：是的平分线．
19．如图，在同一平面内，是绕点按顺时针方向旋转得到的，是的平分线，是的平分线．
(1)若，即，则________，________．
(2)在的变化过程中，的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：以科技馆为观测点，学校在北偏东方向上，正确的是：
故选B
2．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：平分，
，
故选D．
3．C
【分析】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率计算即可得解．
【详解】解：，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了角的度数大小比较，熟练掌握和是解题关键．根据和将进行化简，再比较大小即可得．
【详解】解：
，
∵，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】此题主要考查了与角平分线相关的角的计算，解决此题的关键是根据题意画出图形，利用角平分线定义与角的和差求解．
首先根据题意画出图形，求出的度数，再利用角平分线性质求出，的度数，即可得与的平分线的夹角的度数．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查时针与分针的夹角，熟练掌握时针与分针的夹角运算是解题的关键．
从时到时分，利用每分钟走，时针每分钟所走，计算出分针走过的角度，减去时针走过的角度，即可得到时针与分针所成的夹角的度数．
【详解】解：分针走一圈用时分钟，
则每分钟分针所走度数为，
时针走一圈用时时分钟，
则每分钟时针所走度数为，
则分针时开始从分到分，
走了，
时针开始从时到时分，
走了，
则点分，时针与分针所夹的小于平角的角为；
故选：C
7．B
【分析】本题考查了角的几等分线，根据几等分线正确推导角是解题的关键．
【详解】解：，
∵是的平分线
故选：．
8．C
【分析】本题主要考查了余角和补角，三角板中角度的计算，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键．
利用互余、互补关系，邻补角的定义逐个分析得结论．
【详解】解：图（1）中，由于，，可得到；
图（2）中，根据“同角的余角相等”，可得到；
图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到；
图（4）中，由于，，所以．
∴的图形有（1）（2）（3）．
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案．
【详解】解：分为两种情况：
如图1，当在内部时，
，，
，
平分，平分，
，，
；
如图2，当在外部时，
，，
，
平分，平分，
，，
；
综上，的度数是或．
故选:C．
10．C
【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可.
【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意；
在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意；
在中，，平分，故③说法正确，符合题意；
在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意；
故③⑤说法正确.
故选：．
11．/115度
【分析】根据求出，根据求出即可．
【详解】解：∵，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余角和补角，主要考查学生的计算能力．
12．
【分析】本题考查了余角，补角的计算，根据定义计算即可．
【详解】根据题意，得这个角为，
故它的补角为，
故答案为：．
13． 31 27 36
【分析】根据度、分、秒是60进制进行转化即可．
【详解】解：，，
所以，
故答案为：31，27，36；
，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查了度、分、秒的互化，掌握进制关系是解决本题的关键．
14．3
【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例．
【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；
③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；
⑤周角等于，说法正确，
故正确的有3个，
故答案为：3．
15．/165度
【分析】时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时，分针在数字6上，由此进行计算即可得到答案．
【详解】解：时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，
钟表上12：30时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时，分针在数字6上，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，
12：30时针与分针的夹角为：，
小明到家时时针和分针夹角的度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时针和分针的位置关系建立角的图形．
16．；
【分析】本题主要考查几何中角的计算，角平分线的定义，掌握关于角平分线的定义中角的和差计算方法是解题的关键．
根据图示，，再根据角平分线的定义可得，由此即可求解．
【详解】解：，
∵是的平分线，
∴．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键．
（1）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减；
（2）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．
（1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案；
（2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为平分线．
19．(1)，
(2)的度数是一个定值，为．
【分析】（1）利用角平分线的定义，寻找各角之间的关系，然后进行相关运算；
（2）根据角平分线的定义，寻找各角之间的关系，运用由特殊到一般的思想方法，得出为一个定值．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2）在的变化过程中，的度数是一个定值．
∵是的平分线，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
即的度数是一个定值，为．
【点睛】本题考查了角平分线，解题的关键是寻找各角之间的关系进行运算．