4.3 多边形和圆的初步认识（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级上册
文档属性
| 名称 | 4.3 多边形和圆的初步认识（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 663.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-12 00:00:00 | ||
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文档简介
4.3 多边形和圆的初步认识（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级上册
一、单选题
1．下列选项中的物体属性，不属于几何研究特性的是（ ）
A．位置关系 B．大小 C．形状 D．颜色
2．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
3．下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
4．下列说法正确的个数为（ ）
①如果，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点间的距离；③六条边都相等的六边形是正六边形；④直线和直线表示同一条直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
6．下列说法中∶①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②多项式是三次三项式；③两点间的线段叫做两点间的距离；④在八边形中，过其中一个顶点可作5条对角线．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列图形中不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A． B． C．
10．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
二、填空题
11．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地
12．一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
13．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 （结果保留．
14．如图1，分割边长的正方形，制作一副七巧板，图2是用这副七巧板拼成的“小房子”，其中阴影部分的面积为 ．
15．如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米．
三、解答题
16．说出下列图形的名称．
17．如图所示，求证：直径是中最长的弦．
18．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值．
19．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中______，______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场．
参考答案
1．D
【分析】位置关系，大小，形状属于几何研究特性．
【详解】解：颜色不属于几何研究特性，位置关系，大小，形状属于几何研究特性．
故选D．
【点睛】本题考查认识平面图形，几何研究特性研究的是位置关系，大小，形状．
2．C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查线段的中点，两点间的距离，正多边形，直线的表示方法，根据相关知识点逐一进行判断即可．
【详解】解：如果，且点C在线段上，则点C是线段的中点；故①错误；
两点之间的线段的长叫做两点间的距离，故②错误；
六条边都相等且六个内角都相等的六边形是正六边形；故③错误；
直线和直线表示同一条直线．故④正确；
故选：A．
5．D
【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，
∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；
故选D．
【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．
6．C
【分析】本题考查了多边形的对角线，有理数的加法以及多项式，①根据有理数的加法法则判断即可；②根据多项式的定义判断即可；③根据两点间的距离的定义判断即可；④根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线判断即可．
【详解】解：① 错误，反例：两个负数相加，如，和小于每个加数；
② 正确，多项式化简为，最高次项为三次，共三项，故为三次三项式；
③ 错误，两点间距离是线段的长度，而非线段本身；
④ 正确，八边形一个顶点可连对角线条数为条（不相邻顶点数）．
综上，正确的有②和④，一共2个，
故选：C．
7．B
【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键．
先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可．
【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O，
，，，
，
点O是正方形的外心，也是它的内心，
作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆，
，
，
，
，
，
，
该正方形内切圆的面积为．
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案．
【详解】
解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键，
根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
．
故选：C．
11．猫和老鼠同时到达
【分析】利用圆的周长公式即可求解．
【详解】解：以为直径的半圆的长是：；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则，
则老鼠行走的路径长是：．
故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，
故答案为：猫和老鼠同时到达．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．
12．3
【分析】根据题意画出图形，注意各种情况，不要漏解．
【详解】如图所示：一个正方形去掉一个角后有3种情况，
∴最少有3条边．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是考虑全面，分类讨论．
13．
【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键．
根据剩余部分的面积为：，计算求解即可．
【详解】解：由题知，剩余部分的面积为：，
故答案为：．
14．32
【分析】此题主要考查了七巧板问题，以及正方形、三角形的面积的求法，要熟练掌握．
根据图示，可得阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积的一半．
【详解】解：延长对角线到，如图所示：
，
阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积的一半，即，
则由题意得（），
故答案为：32．
15． 3
【分析】本题主要考查了圆的面积的推导，根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍求出圆的半径是解题的关键．
根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍求出圆的半径，直接运用圆的面积公式求解即可．
【详解】解：（厘米）
（平方厘米）
这个圆的半径是3厘米，这个圆的面积是平方厘米．
故答案为：3，．
16．圆，长方形，五边形，六边形．
【分析】根据平面图形的特征即可求解．
【详解】解：第一个图形为：圆；
第二个图形为：长方形；
第三个图形为：五边形；
第四个图形为：六边形．
【点睛】本题考查了平面图形的认识，熟练掌握其基本特征是解题的关键．
17．见解析
【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论．
【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦，
连接，
则，
∵，
∴，
∴直径是圆中最长的弦．
18．
【分析】根据题意，由多边形的性质：从边形的一个顶点出发能引出条对角线，能分成个三角形，分别求出，的值，再由正多边形的性质求出，然后代入式子即可求解．
【详解】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
所以．
因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形，
所以．
因为正t边形的边长为6，周长为48，
所以，
所以代数式．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键．
19．(1)见解析
(2)①，；②场
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键．
（1）连接作图即可；
（2）①根据所给数据规律解答即可；
②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：①，；
②（场），
答：共需要比赛场．
一、单选题
1．下列选项中的物体属性，不属于几何研究特性的是（ ）
A．位置关系 B．大小 C．形状 D．颜色
2．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
3．下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
4．下列说法正确的个数为（ ）
①如果，则点C是线段的中点；②两点之间的线段叫做两点间的距离；③六条边都相等的六边形是正六边形；④直线和直线表示同一条直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
6．下列说法中∶①两个有理数相加，和一定大于每一个加数；②多项式是三次三项式；③两点间的线段叫做两点间的距离；④在八边形中，过其中一个顶点可作5条对角线．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．一个正方形的边长为，则它的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列图形中不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两个圆，甲圆的面积是，乙圆的周长是，甲、乙两圆的半径之比是（ ）
A． B． C．
10．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．一个多边形往往有多种方法进行三角剖分，若边形三角剖分的方法数为，则．其中，则六边形的三角剖分方法数为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
二、填空题
11．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地
12．一个正方形去掉一个角后所得到的图形最少有 条边．
13．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 （结果保留．
14．如图1，分割边长的正方形，制作一副七巧板，图2是用这副七巧板拼成的“小房子”，其中阴影部分的面积为 ．
15．如图所示，把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形．这个近似长方形的周长比原来圆的周长增加了6厘米，这个圆的半径是 厘米，这个圆的面积是 平方厘米．
三、解答题
16．说出下列图形的名称．
17．如图所示，求证：直径是中最长的弦．
18．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值．
19．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 ……
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中______，______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场．
参考答案
1．D
【分析】位置关系，大小，形状属于几何研究特性．
【详解】解：颜色不属于几何研究特性，位置关系，大小，形状属于几何研究特性．
故选D．
【点睛】本题考查认识平面图形，几何研究特性研究的是位置关系，大小，形状．
2．C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概念，逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查线段的中点，两点间的距离，正多边形，直线的表示方法，根据相关知识点逐一进行判断即可．
【详解】解：如果，且点C在线段上，则点C是线段的中点；故①错误；
两点之间的线段的长叫做两点间的距离，故②错误；
六条边都相等且六个内角都相等的六边形是正六边形；故③错误；
直线和直线表示同一条直线．故④正确；
故选：A．
5．D
【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，
∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；
故选D．
【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．
6．C
【分析】本题考查了多边形的对角线，有理数的加法以及多项式，①根据有理数的加法法则判断即可；②根据多项式的定义判断即可；③根据两点间的距离的定义判断即可；④根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线判断即可．
【详解】解：① 错误，反例：两个负数相加，如，和小于每个加数；
② 正确，多项式化简为，最高次项为三次，共三项，故为三次三项式；
③ 错误，两点间距离是线段的长度，而非线段本身；
④ 正确，八边形一个顶点可连对角线条数为条（不相邻顶点数）．
综上，正确的有②和④，一共2个，
故选：C．
7．B
【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、正多边形与圆等知识，正确地求出正方形的边心距是解题的关键．
先证明正方形的两条对角线的交点为正方形的内切圆的圆心，再从该圆心向正方形的一边作垂线，得到该正方形的边心距，求出它的长即得到该正方形的内切圆的半径，再求出该正方形的内切圆的面积即可．
【详解】解：如图，正方形的对角线、BD交于点O，
，，，
，
点O是正方形的外心，也是它的内心，
作于点E，以点O为圆心，以为半径作，则是正方形的内切圆，
，
，
，
，
，
，
该正方形内切圆的面积为．
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案．
【详解】
解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】圆的面积和周长公式分别求出甲乙的半径，再求二者之比，即可求解．
【详解】解：由题意得
解得：，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的面积和周长公式，掌握公式是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了新定义——多边形的三角剖分．熟练掌握新定义是解题的关键，
根据递推公式并用它来计算六边形三角剖分数．根据给定的递推关系和初始值，可逐步计算出．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
．
故选：C．
11．猫和老鼠同时到达
【分析】利用圆的周长公式即可求解．
【详解】解：以为直径的半圆的长是：；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则，
则老鼠行走的路径长是：．
故猫和老鼠行走的路径长相同，同时到达，
故答案为：猫和老鼠同时到达．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握其计算公式是解题的关键．
12．3
【分析】根据题意画出图形，注意各种情况，不要漏解．
【详解】如图所示：一个正方形去掉一个角后有3种情况，
∴最少有3条边．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是考虑全面，分类讨论．
13．
【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键．
根据剩余部分的面积为：，计算求解即可．
【详解】解：由题知，剩余部分的面积为：，
故答案为：．
14．32
【分析】此题主要考查了七巧板问题，以及正方形、三角形的面积的求法，要熟练掌握．
根据图示，可得阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积的一半．
【详解】解：延长对角线到，如图所示：
，
阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积的一半，即，
则由题意得（），
故答案为：32．
15． 3
【分析】本题主要考查了圆的面积的推导，根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍求出圆的半径是解题的关键．
根据拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍求出圆的半径，直接运用圆的面积公式求解即可．
【详解】解：（厘米）
（平方厘米）
这个圆的半径是3厘米，这个圆的面积是平方厘米．
故答案为：3，．
16．圆，长方形，五边形，六边形．
【分析】根据平面图形的特征即可求解．
【详解】解：第一个图形为：圆；
第二个图形为：长方形；
第三个图形为：五边形；
第四个图形为：六边形．
【点睛】本题考查了平面图形的认识，熟练掌握其基本特征是解题的关键．
17．见解析
【分析】本题考查了圆的概念，在中，由三角形任意两边之和大于第三边有，结合，故大于，即可得出结论．
【详解】证明：如图，是中的任一直径，是圆内任意一条弦，
连接，
则，
∵，
∴，
∴直径是圆中最长的弦．
18．
【分析】根据题意，由多边形的性质：从边形的一个顶点出发能引出条对角线，能分成个三角形，分别求出，的值，再由正多边形的性质求出，然后代入式子即可求解．
【详解】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
所以．
因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形，
所以．
因为正t边形的边长为6，周长为48，
所以，
所以代数式．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键．
19．(1)见解析
(2)①，；②场
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键．
（1）连接作图即可；
（2）①根据所给数据规律解答即可；
②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：①，；
②（场），
答：共需要比赛场．
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