5.1 认识方程（同步练习·含解析）初中数学北师大版（2024）七年级上册

5.1 认识方程（同步练习）初中数学北师大版（2024）七年级上册
一、单选题
1．把变形为，其方法是（ ）
A．等式两边乘 B．等式两边除以
C．等式两边减 D．等式两边加
2．已知是方程的解，那么a的值是（ ）
A．5 B．1 C． D．
3．下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由，得到 B．由，得到
C．由，得到 D．由，得到
4．已知，若，则b的值为（ ）
A．5 B． C． D．
5．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ）
A．若，则． B．若，则．
C．若，则． D．若，则．
6．若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（ ）
A．因为，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为，所以
7．若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　）
A． B． C． D．
8．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（ ）
0 1 2 3
0 4 8
A． B． C． D．
9．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）
A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球
二、填空题
11．含有未知数的 是方程，例如：．
12．已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ．
13．假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个．
14．根据等式的性质在括号里填上适当的符号和数．
(1)如果，那么（　　）
(2)如果，那么（　　）
(3)如果，那么（　　）
(4)如果，那么（　　）．
15．如图．在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．若，该长方形区域的长为 ．
三、解答题
16．根据下列问题，设未知数并列出方程：
甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元．用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？
17．对于任意有理数，，，，我们规定．例如．若，你能根据等式的性质求出的值吗？
18．已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值．
19．若方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)判断，，是不是方程的解．
参考答案
1．B
【分析】本题考查了等式的性质.依据等式的基本性质2即等式两边同时乘除以一个不为0的数，等式恒成立.
【详解】解：把变形为，只需要等式两边同时除以或者乘.
故选：B ．
2．B
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、根据等式性质1知，等式两边加上同一个数c，得到的仍是等式，故正确；
B、根据等式的性质1与2知，等式两边乘，再两边加上1，得到的仍是等式，故正确；
C、根据等式性质2，等式两边同乘不为零的数c，得到的仍是等式，故正确；
D、根据等式性质2知，当时，两边不能除以为零的数，故错误；
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了等式的性质，已知，且，代入即可求出b的值．
【详解】解：将代入等式，得：
两边同时除以5，解得：，
故选∶C
5．D
【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
依据等式的性质依次作出判断即可．
【详解】解：A、若，等式两边不能同时除以0，此选项错误，故不符合题意；
B、若，等式两边乘以，可得，此选项错误，故不符合题意；
C、若，等式两边都加1，可得，此选项错误，故不符合题意；
D、若，等式两边同时除以3，可得，此选项正确，故符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键．
【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意；
B.因为，所以，结论错误，故不符合题意；
C.因为，所以，结论正确，故符合题意；
D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解．
【详解】解：由表格得当时，，
等式两边同乘，得，
所以关于的方程的解为．
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
根据等式的性质解答即可．
【详解】解：A、若，且时，则，故符合题意；
B、若，则，不符合题意；
C、若，则，不符合题意；
D、若，则，不符合题意；
故选：A．
10．D
【分析】本题考查等式的性质，结合图形得出1个三棱锥个球，1个正方体个球是解题的关键．
根据图①，图②中得到三种物体的关系，然后根据图③中的摆放方式即可得出答案．
【详解】解：由图①可得个球个正方体个球个三棱锥，
则个正方体个三棱锥个球，
由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥个正方体，
则1个正方体个三棱锥个球，
那么2个正方体个三棱锥个球个三棱锥个球，
故1个三棱锥个球，
那么个正方体=个三棱锥个球个球个球个球，
由图③可得天平左边为个球个正方体个三棱锥个球个球个球个球，
则天平右边应放个球，
故选：D．
11．等式
【分析】根据方程的概念即可解答．
【详解】含有未知数的等式是方程，
故答案为：等式．
【点睛】本题考查了方程的定义，属于应知应会题目，熟知方程的概念是关键．
12．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不为0．
根据一元一次方程的特点得到，，进而求解即可．
【详解】∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．4
【分析】
本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案．
【详解】
解：由题意得，，
∴，
∴，
∴“？”处应放“■”的个数是4个，
故答案为：4．
14．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式．等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式．
（1）根据等式的性质1，等式的左边减去，右边也要减去；
（2）根据等式的性质1，等式的右边加上15，左边也要加上15；
（3）根据等式的性质2，等式的左边除以4，右边也要除以4；
（4）根据等式的性质2，等式的右边乘5，左边也要乘5；
【详解】（1）解：如果，那么．
故答案为：．
（2）解：如果，那么．
故答案为：．
（3）解：如果，那么．
故答案为：．
（4）解：如果，那么．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了根据图形列代数式、等式的性质．解决本题的关键是把长方形左、右两边的长度分别用含、、的代数式表示出来，根据长方形的宽相等可得等式，根据可得，整理可得，从图可知长方形的长即为．
【详解】解：如图所示，长方形的宽可表示为，
长方形的宽也可表示为,
，
整理得：，
，
，
，
整理得：，
由图可知：长方形的长为．
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查了列方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
可以设甲种铅笔买了x支，根据“23元钱买了两种铅笔一共买了15支”列出方程即可．
【详解】解：设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买支，
由题意得．
17．
【分析】本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算．将根据定义的运算转化为方程，然后利用等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
18．4或或1
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值．
【详解】解：分两种情况：
（1），，
当时，，此时；
当时，，此时；
（2），，
解得，，；
当时，，即；
当时，由原方程，得，不符合题意．
19．(1)
(2)，不是方程的解；是方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键．
（1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值；
（2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解．
【详解】（1）解：由题意，得，，
又因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以方程为，即．
把代入方程得，则不是方程的解；
把代入方程得，则是方程的解；
把代入方程得，则不是方程的解．