中小学教育资源及组卷应用平台
【精选热题·期末50道解答题专练】浙教版数学九年级上册总复习
1． 已知二次函数y＝2x2-8x+6．
（1）把它化成y＝a（x-h）2+k的形式为： ．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
2． 5张背面相同的卡片，正面分别写有不同1，2，3，4，7中的一个正整数．现将卡片背面朝上。
（1）求从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率．
（2）连续摸出4张卡片（不放回），已知前2张正面的数分别为1，7．求摸出的4张卡片的数的总和为奇数的概率（要求画树状图或列表）．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
4．如图，在半径为 的⊙O中，弦AB 与CD 相交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1.求CD 的长.
5．为传承中华优秀传统文化、提升学生劳动实践能力，某校七年级（5）班围绕端午节精心策划了特色主题班会活动，活动设置三项非遗体验项目：．粽香传情—包粽子技艺研习，．艾草留芳—香囊缝制工艺，．龙舟竞渡—竹编船模制作，每位同学可以从中任选一个项目进行体验．
（1）小颖选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率．
6．如图，在中，，点D在边上，交于点E，如果，求的长．
7．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m.
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高.
8．一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，分别计算昆虫停在白色方格中的概率。
9．在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．
（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为时，求的长；
（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
10．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米；
（3）求出y关于x的函数关系式；
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
11．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，再一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）．
12．公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为 ，面积的差为 ，它们的面积之和为多少？
13．如图1，四边形ABCD中，∠ABC=2∠ADC=2α，点E、F分别在CB、CD的延长线上，且EB=AB+AD，∠AEB=∠FAD．
（1）猜想线段AE、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若将“EB=AB+AD”改为“EB=AB+kAD（k为常数，且k＞0）”，其他条件不变（如图2），求的值（用含k、α的式子表示）．
14．某中学有7名学生的生日是10月 1 日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7名学生中抽取部分学生参与联欢会的访谈活动.
（1）若任意抽取1名学生，则抽取的学生为女生的概率是 .
（2）若先从男生中任意抽取1名，再从女生中任意抽取1名，求抽得的2 名学生中至少有1名是A1或B1的概率(请用画树状图或列表的方法写出分析过程).
15．已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值．
16．如图，在矩形中，点在边上，，垂足为F，，，，求的长.
17．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
18．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b，c的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
20．如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？
21．如图，利用函数y=x2-4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2-4x+3=0的解是 ．
（2）当x满足 时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足 时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
22．一个四边形的对角线相等，则称这个四边形是对等四边形.
证明：圆内接对等四边形有一组对边平行.
23．已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点A的坐标．
24．已知抛物线与 交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与 轴交于点C（0，3），求抛物线的解析式；
25． 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙墙足够长，另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设米，试用含的代数式表示的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
26．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．
27．如图1，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．
28．为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
（Ⅰ）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（Ⅱ）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对情况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率.
29．如图，有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽AB=20m，拱顶与水面的距离OC=4 m．
（1）建立如图直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于16 m，水面在正常水位基础上，最多上升多少米能确保船只顺利航行？
30．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在BC 边上，且点 A，B，E 在同一条直线上.若AC⊥DE，求旋转角的度数.
31．如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
32．某商场销售一种商品，每件进价为6元．调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售200件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少10件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件．
（1）请直接写出与的函数关系式；
（2）商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多少？
33．已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
34．如图，已知⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，且AB=AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA=72°，求的度数．
35．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
36． 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 OA，从点 O 处抛出一个小球，落到点 处. 小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）求抛物线最高点的坐标.
（3）斜坡上点B 处有一棵树，B是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端 C，求这棵树的高度.
37．如图，∠MON＝60°，点A是射线ON上一点，过点A作OM的平行线，交∠MON的平分线于点B．点C是线段OB上一点（点C不与点O、B重合），连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转∠OAB的度数，得到线段AD，连结BD．
（1）求证：AO＝AB．
（2）求∠ABD的度数．
（3）设∠BAD＝α，当△ABC为钝角三角形时，直接写出α的取值范围．
38．已知二次函数．
（1）当时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
39．
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值．
40．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠BAB′的度数．
41．已知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，连接AC，BD交于点M．
（1）如图①，若α＝25°，则∠AMB的度数为 ；
（2）如图②，若α＝60°，连OM，则∠AMO的度数为 ；
（3）如图③，若α＝90°，作OE⊥AC于点E，延长EO与BD分交于点F．求证：点F是BD的中点．
42．已知二次函数 的图象经过点．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当 时，
①若 求 的取值范围；
②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值．
43．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．
（1）直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．
（2）点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
44． 如图， 在梯形 中， 是 边上的一个动点 (点 与点 不重合， 可以与点 重合)， 于点 ． 设 ， ，求 关于 的函数表达式，并指出自变量 的取值范围．
45．如图．取某一位置的水平线为x轴．建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点A3m的点C处抛出．落在山坡的点D处（点D在小山坡AB的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡AB的坡顶高度；
（2）若测得点D的高度为3m，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出b的取值范围．
46．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；
（3）我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．
47．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
48．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
49．如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
50．如图，在中，是AB上一点，连接CD，点在CD上，连接BE，已知，且．
（1）求证：；
（2）若，求CE的长.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【精选热题·期末50道解答题专练】浙教版数学九年级上册总复习
1． 已知二次函数y＝2x2-8x+6．
（1）把它化成y＝a（x-h）2+k的形式为： ．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）y＝2（x-2）2-2
（2）（2，-2）；x＝2
（3）解：∵y＝2x2-8x+6，
∴当y＝0时，2x2-8x+6＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）．
【解析】【解答】解： (1)y＝2x2-8x+6 =2(x2-4x+4-4)+6=2(x-2)2-2，
故答案为： y＝2（x-2）2-2 ；
(2)y＝2（x-2）2-2 的顶点坐标是（2，-2），对称轴是直线 x＝2 ，
故答案为：（2，-2）， x＝2。
【分析】 (1)先把二次项系数提出来，在括号中加上一次项系数的一半的平方进行配方，最后写成顶点式的形式；
(2)y＝2（x-h）2+k 的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线 x＝k；
(3)令x=0，求出y的值，就得到抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，求出x的值，就得到抛物线与x轴的交点坐标；
2． 5张背面相同的卡片，正面分别写有不同1，2，3，4，7中的一个正整数．现将卡片背面朝上。
（1）求从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率．
（2）连续摸出4张卡片（不放回），已知前2张正面的数分别为1，7．求摸出的4张卡片的数的总和为奇数的概率（要求画树状图或列表）．
【答案】（1）解：∵1，2，3，4，7中，是偶数的为2，4，共2个，
∴从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为；
（2）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，摸出的4张卡片的数的总和可能为：13，14，13，15，14，15，其中摸出的4张卡片的数的总和为奇数的结果有4种，
∴摸出的4张卡片的数的总和为奇数的概率为＝．
【解析】【分析】（1）用这些卡片上所写的数中偶数的个数比上卡片上数的总个数可得答案；
（2）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有6种等可能的结果，摸出的4张卡片的数的总和可能为：13，14，13，15，14，15，其中摸出的4张卡片的数的总和为奇数的结果有4种，最后根据概率公式计算可得答案.
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；
（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将抛物线解析式化为顶点式可得．
所以对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）
【解析】【解答】（3）根据题意可得：对称轴为，，开口向上，分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，利用对称轴的方程可直接得出；
（2）根据题意抛物线的顶点恰好在x轴上及（1）中结论可得，求解然后代入抛物线解析式即可得；
（3）由（1）中结论对称轴为，，开口向上，考虑，分两种情况进行讨论：①当时；②当时；根据距离抛物线对称轴越远，函数值越大，列出不等式求解即可得．
（1）解：由题意得．
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（3）解：根据题意可得：对称轴为，，开口向上，
分两种情况进行讨论：
①当时，
∵，
∴可得：，
不等式组无解；
②当时，可得：
，
解得：，
综合可得：．
4．如图，在半径为 的⊙O中，弦AB 与CD 相交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1.求CD 的长.
【答案】解：过点O 作OM⊥AB 于点M，ON⊥CD 于点N，连接OE，OB，OD.
∴在 Rt△BOM 中，
OM=√OB2-BM2=2=EM，∴∠OEM=∠EOM=45°，OE=2
∴在 Rt△DON 中，
【解析】【分析】过点O作OM⊥AB 于点M，ON⊥CD 于点N，连接OE，OB，OD，求出AM、EM，根据勾股定理求出OM，求出∠OEM=45°，求出ON，根据勾股定理求出DN，根据垂径定理求出即可.
5．为传承中华优秀传统文化、提升学生劳动实践能力，某校七年级（5）班围绕端午节精心策划了特色主题班会活动，活动设置三项非遗体验项目：．粽香传情—包粽子技艺研习，．艾草留芳—香囊缝制工艺，．龙舟竞渡—竹编船模制作，每位同学可以从中任选一个项目进行体验．
（1）小颖选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是________；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，
所以小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率为．
【解析】【解答】（1）解：小颖的选择结果共有3种可能结果，其中选择粽香传情—包粽子技艺研习的结果只有一种，
则选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）理解题意，根据概率公式计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，最后求概率即可.
（1）解：小颖的选择结果共有3种可能结果，其中选择粽香传情—包粽子技艺研习的结果只有一种，
则选择粽香传情—包粽子技艺研习的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的有5种，
所以小颖和小琪选择的项目中有艾草留芳—香囊缝制工艺的概率为．
6．如图，在中，，点D在边上，交于点E，如果，求的长．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
故答案为：．
【解析】【分析】求出AD长，判断与相似，利用相似的性质得，把数值代入即可求出AE的长。
7．如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m.
①计算小亮在路灯D下的影长；
②计算建筑物AD的高.
【答案】解：①∵ ， ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
；
②∵ ， ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）首先证出，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式建立方程即可求出AB的长，从而得出BQ的长；
（2）首先证出，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式建立方程即可求出DA的长.
8．一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，分别计算昆虫停在白色方格中的概率。
【答案】解：(1)图上共有2个方格，白色方格有1个，
则昆虫停在白色方格中的概率是
(2)图上共有3个方格，白色方格有1个，
则昆虫停在白色方格中的概率是
【解析】【分析】根据题意数出白色方格和总方格数，进而根据等可能事件的概率即可求解。
9．在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．
（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当矩形花园的面积为时，求的长；
（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意得()
（2）由题意结合（1）可得：．
解得，．
答：的长为12米或16米．
（3）当时，面积的最大值为195米
【解析】【解答】解：（3）结合（1）中的函数关系式可得：；
又树到墙的距离为m，所以，即为；
结合二次函数的性质，
∴ 当时，面积的最大值为195米．
【分析】（1）根据矩形面积建立函数关系式即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）由题意得． ∴．
（2）由题意结合（1）可得：．
解得，．
答：的长为12米或16米．
（3）结合（1）中的函数关系式可得：；
又树到墙的距离为m，所以，即为；
结合二次函数的性质，∴ 当时，面积的最大值为195米．
10．某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
（2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为________米；
（3）求出y关于x的函数关系式；
（4）结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为________米．（结果精确到0.1米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【答案】（1）解：作图如下：
（2）3.2米
（3）解：设抛物线的解析式为：，把点代入，得：，
解得：，
∴；
（4）米
【解析】【解答】解：（2）由图可知：当时，水柱最高点距离地面的垂直高度为米，
故答案为：；
（4）当时，；
故答案为：．
【分析】（1）利用描点法即可得出函数的图象；
（2）根据图象可知当x=5时水柱地面码的距离最高，根据表格中的数据可以得出最高距离为3.2米；
（3）根据抛物线的顶点可设，再根据表格中的其他对应值，利用待定系数法即可得出；
（4）根据（3）所得的函数解析式，求出时的函数值即可．
（1）解：作图如下：
（2）由图可知：当时，水柱最高点距离地面的垂直高度为米，
故答案为：；
（3）设抛物线的解析式为：，
把点代入，得：，
解得：，
∴；
（4）当时，；
故答案为：．
11．我们通常用到的一种复印纸，整张称为A1纸，对折一分为二裁开成为A2纸，再一分为二成为A3纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）．
【答案】解：设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为，
由A1、A2纸的长与宽对应比成比例，得=，
故=≈1.414．
故答案为：1.414．
【解析】【分析】分别设A1纸的长为a，宽为b，A2纸的长为b，宽为，再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出的值即可．
12．公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为 ，面积的差为 ，它们的面积之和为多少？
【答案】解：∵两三角形的相似比为 ，
∴它们的面积比为 ，
设较小三角形的面积为 ，则较大三角形的面积为 ，
则 ，
解得 ，
∴面积和为 ，
答：它们的面积和为 .
【解析】【分析】根据相似三角形的相似比可得面积比为4：9，设较小三角形的面积为4k，则较大三角形的面积为9k，结合面积的差为30可求出k的值，进而可得面积之和.
13．如图1，四边形ABCD中，∠ABC=2∠ADC=2α，点E、F分别在CB、CD的延长线上，且EB=AB+AD，∠AEB=∠FAD．
（1）猜想线段AE、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若将“EB=AB+AD”改为“EB=AB+kAD（k为常数，且k＞0）”，其他条件不变（如图2），求的值（用含k、α的式子表示）．
【答案】解：（1）猜想：AE=AF．
证明：在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，
∵∠ABC=2∠ADC=2α，
∴∠AGB=∠GAB=∠ABC=α，
∴∠EGA=180°﹣α=180°﹣∠ADC=∠ADF，
∵EB=AB+AD，
∴EG=AD，
在△AEG和△FAD中，
，
∴△AEG≌△FAD（ASA），
∴AE=AF；
（2）在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，
同理可得∠EGA=∠ADF，
∵∠AEG=∠FAD，
∴△AEG∽△FAD，
∴，
∵EB=AB+kAD，
作BH⊥AG于点H，
∴AH=AB cosα，
即=AB cosα，
∴=．
【解析】【分析】（1）首先在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，易证得∠EGA=∠ADF，由EB=AB+AD，可证得BG=AD，继而由ASA证得△AEG≌△FAD，则可得AE=AF；
（2）首先在EB上取点G，使得GB=AB，连接AG，易证得△AEG∽△FAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，再作BH⊥AG于点H，即可求得的值．
14．某中学有7名学生的生日是10月 1 日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3.学校准备召开国庆联欢会，计划从这7名学生中抽取部分学生参与联欢会的访谈活动.
（1）若任意抽取1名学生，则抽取的学生为女生的概率是 .
（2）若先从男生中任意抽取1名，再从女生中任意抽取1名，求抽得的2 名学生中至少有1名是A1或B1的概率(请用画树状图或列表的方法写出分析过程).
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
男生女生 A1 A2 A3 A4
B1 A1，B1 A2，B1 A3，B1 A4，B1
B2 A1，B2 A2，B2 A3，B2 A4，B2
B3 A1，B3 A2，B3 A3，B3 A4，B3
由表可知，共有12种等可能的情况，其中至少有1名是 A1 或B1 的情况有6种，
∴ 抽得的2名学生中至少有1名是A1或B1的概率为
【解析】【解答】(1)解：若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)列表得到共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是. 或 的结果有6种，再由概率公式求解即可.
15．已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值．
【答案】解：如图，过作 交于
为的中点，
【解析】【分析】过作 交于证明出，可得，再求出，即可得到。
16．如图，在矩形中，点在边上，，垂足为F，，，，求的长.
【答案】解：四边形是矩形，
，，
.
，
，
，
，
.
又，，，
，
.
【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠DCE=90°，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADF=∠DEC，由垂直的概念可得∠AFD=90°，由两角对应相等的两个三角形相似可得△AFD∽△DCE，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
17．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价元，请写出盈利与的函数关系式（将函数关系式化简，不必写出自变量的取值范围）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【答案】（1）解：由题意得：（元）；
答：当天可获利1692元．
（2）解：由题意得：，
∴盈利与的函数关系式；
（3）解：由（2）即题意得：，
解得：，
∵为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【解析】【分析】
（1）由题意当降价3元时当天的销售额为件，每件商品的利润为元，再列式计算即可；
（2）由题意当降价x元时每天销售的件数为件，每件商品的利润为元，再利用整式的乘法运算整理即可；
（3）由（2）知日盈利为2000元时可得关于x的一元二次方程并求解，再根据实际情况对解进行取舍即可．
（1）解：由题意得：（元）；
答：当天可获利1692元．
（2）解：由题意得：
，
∴盈利与的函数关系式；
（3）解：由（2）即题意得：
，
解得：，
∵为了尽快减少库存，
∴，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
18．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．
【答案】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中，CN==，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=2，∵OM⊥AB，∴AM=AB=x，在△AOM中，OM==，∴OM=CD．
【解析】【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（0，1），B（2，﹣1）两点．
（1）求b，c的值．
（2）试判断点P（﹣1，2）是否在此函数的图象上．
【答案】（1）解：把(0，1)， 两点代入
，得
∴这个函数的解析式为
（2）解：∵二次函数解析式为
把 代入 得
∴点 不在此函数图象上.
【解析】【分析】(1)把两点代入根据待定系数法即可求得；
(2)把 代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案.
20．如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？
【答案】解：∵ ， ，
∴ m，
∵ ， ，
∴ ∥ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴楼高 是9米.
【解析】【分析】由 ， ，可得 ∥ ，可证△ADE∽△ABC，可得，代入相应数据，即可求出BC.
21．如图，利用函数y=x2-4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2-4x+3=0的解是 ．
（2）当x满足 时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足 时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
【答案】（1）x1=1，x2=3
（2）＞2
（3）x＜1或x＞3
（4）-1≤y＜8
22．一个四边形的对角线相等，则称这个四边形是对等四边形.
证明：圆内接对等四边形有一组对边平行.
【答案】解：已知：如图，四边形 是 的内接四边形， .
求证：
证明：∵ .
∴ .
∴ .
即 ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】根据同圆中弦相等，则弧相等，得出 ，然后根据同圆中等弧对等角，得出 ，即可得证.
23．已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点A的坐标．
【答案】（1）解：设该函数解析式为，
由题意可得：，解得：．
所以该函数解析式为：．
（2）解：令可得：，解得：或．
所以点A的坐标为或．
【解析】【分析】（1）根据题意设该函数解析式为，然后把 代入即可求解；
（2）令，求出x的值，进而即可得到点A的坐标.
24．已知抛物线与 交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与 轴交于点C（0，3），求抛物线的解析式；
【答案】解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
把A（－1，0）、B（3，0）、 C（0，3）三点代入，得
解得
所求函数解析为：y=-x2+2x+3
【解析】【分析】设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0） 把A（－1，0）、B（3，0）、 C（0，3）三点代入，得a、b、c的值，即可求出抛物线的解析式。
25． 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙墙足够长，另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设米，试用含的代数式表示的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
【答案】（1）解：设米，可得；
（2）解：小英说法正确；
理由：矩形面积，
，
，
，
当时，取最大值，
此时，
面积最大的不是正方形．
故小英说法正确．
【解析】【分析】（1）根据 米， 结合图形求出BC的值即可；
（2）利用矩形的面积公式求出 ， 再求出当时，取最大值， 最后作答即可。
26．如图，点D、E分别在的边、上，．如果，．求．
【答案】解：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
设 ，又 ， ，∴ ．
∴ ， （舍）．∴ ．
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，再根据三角形面积公式得出，设S△BDE=x，从而得出，求出x的值，即可得出答案.
27．如图1，滹沱河是山西地区一条途径了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了万平方公里，其发源地处于山西省繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在《山海经》中就有出现过，被叫做为虔池．为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标，在近岸取点和，使点、、共线且与河垂直，接着在过点且与直线垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且与垂直的直线交点．测得，，，请根据这些数据求河的宽度．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
答：的长为．
【解析】【分析】根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再进行边之间的转换可得，解方程即可求出答案.
28．为了考察甲、乙两种成熟期小麦的株高长势情况，现从中随机抽取6株，并测得它们的株高（单位：cm）如下表所示：
甲 63 66 63 61 64 61
乙 63 65 60 63 64 63
（Ⅰ）请分别计算表内两组数据的方差，并借此比较哪种小麦的株高长势比较整齐？
（Ⅱ）现将进行两种小麦优良品种杂交实验，需从表内的甲、乙两种小麦中，各随机抽取一株进行配对，以预估整体配对情况，请你用列表法或画树状图的方法，求所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率.
【答案】解：（Ⅰ）∵ = =63，
∴s甲2= ×[（63﹣63）2×2+（66﹣63）2+2×（61﹣63）2+（64﹣63）2]=3；
∵ = =63，
∴s乙2= ×[（63﹣63）2×3+（65﹣63）2+（60﹣63）2+（64﹣63）2]= ，
∵s乙2＜s甲2 ，
∴乙种小麦的株高长势比较整齐；
（Ⅱ）列表如下：
63 66 63 61 64 61
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
65 63、65 66、65 63、65 61、65 64、65 61、65
60 63、60 66、60 63、60 61、60 64、60 61、60
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
64 63、64 66、64 63、64 61、64 64、64 61、64
63 63、63 66、63 63、63 61、63 64、63 61、63
由表格可知，共有36种等可能结果，其中两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的有6种，
∴所抽取的两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高的概率为 = .
【解析】【分析】（Ⅰ）根据表中的数据，利用平均数公式先就求出甲乙两种小麦的平均数；再利用方差公式分别求出甲乙两种小麦的方差，然后比较大小，根据方差越小数据的波动越小，即可作出结论；
（Ⅱ）由题意可知此事件是抽取放回，列出求出所有等可能的结果数及两株配对小麦株高恰好都等于各自平均株高（63，63）的情况数，然后利用概率公式进行计算，可得结果。
29．如图，有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽AB=20m，拱顶与水面的距离OC=4 m．
（1）建立如图直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）随着水位的上升，桥下水面的宽度逐渐减小．为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于16 m，水面在正常水位基础上，最多上升多少米能确保船只顺利航行？
【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为y=ax2，
则根据题意可知，点B（10，-4），
将点B（10，-4）代入抛物线y=ax2中得：
100a=-4，
解得：，
所以抛物线的函数表达式为：y=x2
（2）解：由题意得，将x=8，代入y=x2中得，
y=-2.56，
所以水位最多上升4-2.56=1.44（m）
【解析】【分析】（1）先建立平面直角坐标系，设抛物线的函数表达式为y=ax2，利用已知可得到点B的坐标，将点B的坐标代入，可求出a的值，可得到抛物线的解析式.
（2）将x=8代入函数解析式，可求出对应的y的值，由此可求解.
30．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在BC 边上，且点 A，B，E 在同一条直线上.若AC⊥DE，求旋转角的度数.
【答案】解：证明：如图，
由旋转得：
∴DA平分
设AC与DE交于点O，
由旋转得： E，
是 '的一个外角，
解得：
∴旋转角α的度数为
【解析】【分析】根据旋转的性质和等边对等角可以得到. ，设AC与DE交于点O，则得以推出. 进而得到方程 解方程即可.
31．如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解：∵EF∥AB交BC于点F， AE =BC，CE=3. CF=x， AE=y，
（2）解：当x=CF=2时，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∵AB=8，
∴CD=4.
【解析】【分析】(1)根据EF∥AB， 得 代入整理即得；
(2)当CF=2时， 代入 (1) 中结果求得AE=6， 根据AB∥CD，得△ABE∽△CDE， 得 代入计算即得.
32．某商场销售一种商品，每件进价为6元．调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售200件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少10件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件．
（1）请直接写出与的函数关系式；
（2）商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件，
由题意可得：，
∵销售单价不能超过12元， ∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，
整理可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴商场要想每天获得720元的销售利润，销售单价应定为元；
（3）解：设每天销售利润为元，
由题意可得：，
∵，
∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大，
∵， ∴当时，最大，为，
∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元．
33．已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB=，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
【答案】解：（1）连接EF，
∵由题意可得FC是⊙D的直径，
∴∠FEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB=AC=5，cosB=，AE=1，
∴EC=4，cosB=cos∠ACB===，
解得：FC=5，
则DC=2.5；
（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，
∵AB=5，cosB=，
∴BN=4，
∴AN=3，
∵cosC=cosB=，
∴NC=4，
∴FN=1，
∴AF=．
【解析】【分析】（1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；
（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．
34．如图，已知⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，且AB=AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD．
（1）求证：DA平分∠EDC．
（2）若∠EDA=72°，求的度数．
【答案】（1）证明：四边形ADBC为的内接四边形，
，
，
由圆周角定理得
平分；
（2）解：
，
，
∴的度数为.
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的对角互补得，根据邻补角的定义得，进而推出，再根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理得，最终推出；
（2）由（1）得推出∠BAC，根据圆周角定理得=2∠BAC.
35．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．
（1）求与与的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）解：∵篱笆长，
∴，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴，
解得，，
∴；
又矩形面积
，
即s.
（2）解：令，则，
整理得：，
此时，，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为；
∴
∴
∵，
∴；
（3）解：∵，
又
∴有最大值，
又，
∴当时，取得最大值，此时，
即当时，的最大值为800.
【解析】【分析】⑴ 根据“篱笆总长=两个AB边和一个BC边之和”得y = 80 2 x；根据“矩形面积 S = x · y ”得S = 2 x2 + 80 x.
⑵令 S = 750 得 2 x 2 + 80 x = 750，解方程并检验即可.
⑶ 通过配方法求二次函数的最值：S = 2 ( x 2 40 x ) = 2 [ ( x 20 )2 400 ] = 2 ( x 20 )2+ 800 .
36． 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 OA，从点 O 处抛出一个小球，落到点 处. 小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）求抛物线最高点的坐标.
（3）斜坡上点B 处有一棵树，B是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端 C，求这棵树的高度.
【答案】（1）解：由题意，∵点是抛物线y=-x2+bx上的一点，
∴
∴
∴
∴抛物线的解析式为
（2）解：由题意，∵抛物线为，
∴抛物线最高点的坐标为
（3）解：由题意，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，
又∠BOD=∠AOE，∠BDO=∠AEO
∴△OBD∽△OAE，
∴，
由点B是OA的三等分点，
①当B在靠近O时，
∵
∴，OE=3，
∴
∴
∴
∴
∴
∴OD=1，
∴点C的横坐标为1.
将x=1代入中，
∴
∴点C的坐标为，
∴CB=CD-BD=2
②当B在靠近A时，
∵
∴，OE=3，
∴
∴
又∵
∴，
∴点C的横坐标为2.
将x=2代入中，
∴y=3.
∴点C的坐标为(2，3).
∴CD=3.
∴CB=CD-BD=3-1=2.
答：这棵树的高度是2
【解析】【分析】(1)依据题意，由点是抛物线y=-x2+bx上的一点，从而可得，求出b后即可得解；
(2)依据题意，由抛物线为，进而可以得解；
(3)依据题意，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，又∠BOD=∠AOE，∠BDO=∠AEO，进而△OBD∽△OAE，故，又点B是OA的三等分点，从而分两种情形进行判断，求出C的纵坐标后，进而可以判断得解.
37．如图，∠MON＝60°，点A是射线ON上一点，过点A作OM的平行线，交∠MON的平分线于点B．点C是线段OB上一点（点C不与点O、B重合），连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转∠OAB的度数，得到线段AD，连结BD．
（1）求证：AO＝AB．
（2）求∠ABD的度数．
（3）设∠BAD＝α，当△ABC为钝角三角形时，直接写出α的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：由旋转可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）当为钝角三角形时，α的取值范围为或．
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当为钝角时，，
解得：，
∵是的一个外角，
∴，
②当为钝角时，，
解得：．
当点C与点B重合时，，
综上所述，当为钝角三角形时，的取值范围为或．
【分析】（1）先根据角平分线的定义推出，然后根据平行线的性质得到，等量代换得到，根据等角对等边即可得证；
（2）根据旋转角得出，结合，用判定后根据全等三角形的对应角相等得到即可求出结果；
（3）分两种情况讨论：①是钝角；②是钝角．分别求出两种情况下的取值范围即可．
38．已知二次函数．
（1）当时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】（1）解：①∵b=4， c=3时，
∴顶点坐标为(2，7).
②∵-1≤x≤3中含有顶点(2，7)，
∴当x = 2时， y有最大值7，
∵2﹣(﹣1)>3﹣2，
∴当x =-1时， y有最小值为： - 2，
∴当-1≤x≤3时， - 2≤y≤7.
（2）解：∵x≤0时， y的最大值为2； x > 0时， y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b>0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c=2，
又∵
∴b=±2，
∵b>0，
∴b=2.
∴二次函数的表达式为
【解析】【分析】(1)①先把 代入，然后对解析式进行配方得到顶点式，即可解题；
②根据函数的增减性可得顶点处为最大值，然后把x = 2和x =-1代入确定最小值即可；
(2)根据函数的增减性可得对称轴在y轴的右侧，然后根据顶点坐标和与y轴交点求出b和长的值即可.
39．
（1）解方程：；
（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，，求的值．
【答案】（1）解：
，
∴，
∴解得，；
（2）解：∵2，3，6，a成比例，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便；
（2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或），那么，这四条线段叫做成比例线段。
40．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠BAB′的度数．
【答案】【解答】∵CC′∥AB，∴∠A CC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．
【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．
41．已知OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，连接AC，BD交于点M．
（1）如图①，若α＝25°，则∠AMB的度数为 ；
（2）如图②，若α＝60°，连OM，则∠AMO的度数为 ；
（3）如图③，若α＝90°，作OE⊥AC于点E，延长EO与BD分交于点F．求证：点F是BD的中点．
【答案】（1）25°
（2）60°
（3）证明：作BG⊥EF于点G，CH⊥EF于点H．
∴∠BGF＝∠DHF＝90°，∠BOG＋∠OBG＝90°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOG＋∠AOE＝90°，
∴∠OBG＝∠AOE．
∵OE⊥AC于点E，
∴∠BGO＝∠AEO．
在△BGO和△EOA中，
，
∴△BGO≌△AEO（AAS）．
∴BG＝OE．
同理△DHO≌△OEC，
∴DH＝OE．
∴BG＝DH．
在△BGF和△CHF中
，
∴△BGF≌△CHF（AAS）．
∴BF＝CF．
∴点F是BD的中点．
【解析】【解答】（1）∵
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴．
∴；
故答案为：25°.
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴点A、B、M、O四点共圆，
∴．
故答案为：60°.
【分析】（1）证明，得到，根据“8”字型和三角形内角和定理即可求解；
（2）先证明是等边三角形，得，再根据，得，所以点A、B、M、O四点共圆，由圆周角定理可得；
（3）作于点G，于点H．．则．同理，则．所以．再证明 ，得，即可得出结论．
42．已知二次函数 的图象经过点．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当 时，
①若 求 的取值范围；
②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，将点代入，
得：，
解得：，
∴二次函数的函数表达式
（2）解：①解：∵，
∴，
而二次函数，且过点，
∴，，
∵
∴或，
当时，有
结合图像化简得：，
解得：，
∴，
此时，
∴，
∴，
当时，有，
结合图像化简得：，
解得：，
∴，
此时，
∴，
综上所述，；
②将点代入，
得：，
由②①得：，
∴，
将代入①可得：，
∴，
∴，m取得最大值为4．
【解析】【分析】(1)依据题意，由抛物线过C(-4，3)，从而可得16-4b+3=3，求得b的值后即可判断得解；
(2)①依据题意，由抛物线过 ，从而 可得 且 根据nt≤0，列不等式组从而可得 或 进而可得t-n的范围；
②依据题意，将点 代入y=k x+m解得 再代入 可得 即m进而可以判断得解.
43．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．
（1）直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．
（2）点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．
①当时，若函数值的范围是，求此时自变量x的取值范围；
②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围．
【答案】（1）解：
（2）解：①∵当时，图像的顶点坐标为，
关于直线的对称点坐标为：，
∴关于直线对称的图像解析式为：，
∴的解析式为，
令，，
解得：或，
令，，
解得或，
结合图像可得：当或或时，；
②或
【解析】【解答】（1）解：函数在的部分任取一点关于直线的对称点为，
设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，
将，代入解析式，得：，
解得：，
∴“派生函数”的解析式为；
（2）解：②函数的顶点为，
点关于对称的点的坐标为，
∴函数关于对称的函数解析式为，
当时，即，
当时，，即，
∴时与正方形有两个交点；
当时，，即或，
∴；
综上所述，或时与正方形有两个交点．
【分析】
(1)根据“派生函数”的定义在x>1的部分任取一点(2，3)关于直线x=1的对称点为(0，3)，运用待定系数法即可得到答案；
(2)①当m=1时，G'的解析式为y =，分别求出y=， +4x-3=-1，解得 或 ； 解得 或 求出时自变量x的取值范围即可 ；
②求出函数 关于x =m对称的函x=m数解析式为 再由2m-2>1时，即 当x=1和x=-1时，借助图象的到m的取值范围即可.
44． 如图， 在梯形 中， 是 边上的一个动点 (点 与点 不重合， 可以与点 重合)， 于点 ． 设 ， ，求 关于 的函数表达式，并指出自变量 的取值范围．
【答案】解：∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠APB，
∵DE⊥AP，∠B＝90°，
∴∠AED＝∠B＝90°，
∴△AED∽△PBA，
∴，
∵AD＝1，AB＝，AP＝x，DE＝y，
∴，
∴y＝，
当点P运用到点C时，AP＝，
∵P是BC边上的一个动点（P与点B不重合，可以与点C重合），
∴，
∴y关于x的函数表达式为y＝，自变量x的取值范围为，
【解析】【分析】先证出△AED∽△PBA，可得，再将数据代入可得，求出y＝，再结合P是BC边上的一个动点（P与点B不重合，可以与点C重合），求出，即可得解.
45．如图．取某一位置的水平线为x轴．建立平面直角坐标系后，小山坡AB可近似地看成抛物线：的一部分．小球在离点A3m的点C处抛出．落在山坡的点D处（点D在小山坡AB的坡顶的右侧），小球的运动轨迹为抛物线：的一部分．
（1）求小山坡AB的坡顶高度；
（2）若测得点D的高度为3m，求抛物线的函数解析式（不要求写自变量x的取值范围）；
（3）当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）解：，∴小山坡AB的坡顶高度为m；
（2）解：∵点D的高度为3m，∴点D的纵坐标为3．令，解得，．
∵点D在小山坡AB的坡顶的右侧，∴，即点D的坐标为．
当时，，即，∴，∴点C的坐标为．
将，代入，解得
∴抛物线的函数解析式为；
（3）解：b的取值范围是．
【解析】【解答】解：（3）由（1）得小山坡AB的坡顶高度为m；由（2）知C（0，4）则c=4，则当小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时 ，当x=7， ＞ ，解得b＞；
【分析】本题考查二次函数最值、与坐标轴的交点和综合问题、解不等式、待定系数法求二次函数解析式和二次函数的应用。熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键。
（1）把 化成顶点式或根据顶点坐标（）或求出对称轴x=，再代入函数解析式可得答案；
（2）求出点D、C的坐标，再代入二次函数 可得b，c值，则函数解析式可知；（3）由(1)得小山坡AB的坡顶高度为m；由(2)知c=4，则x=7， ＞ ，解得b＞.
46．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且满足求点P的坐标；
（3）我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点`Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点；
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设直线交轴与点，
∵，
∴当时，，时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，则：，
∴，
∴，
联立，
解得：或（舍去）；
∴；
②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，
∴，
∴，
同法可得：的解析式为：，
联立，
解得：或，
∴；
综上：或．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数可得k2=1×（-6）=-3m，据此可算出k2=-6，m=2，从而得到反比例函数的解析式及点A的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴与点D，分别令y=-2x-4中的x=0与y=0，算出对应的y与x的值，可得点C、D的坐标；设P(0，p)，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC并结合三角形面积计算公式算出S△AOB的值；根据S△BCP=S△BDP+S△CDP并结合三角形面积计算公式表示出S△BCP，结合，列出方程进行求解即可；
（3）存在；①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，则：，，根据轴对称的性质得出BD=B'D，由中点坐标公式得出点D的坐标，然后利用待定系数法求出直线OD的解析式，联立直线OD的解析式与反比例函数的解析式求解可得点Q的坐标；②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，，根据轴对称的性质得出OE=O'E，由中点坐标公式得出点E的坐标，然后利用待定系数法求出直线OE的解析式，联立直线OE的解析式与反比例函数的解析式求解可得点Q的坐标，综上可得答案.
47．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．
（1）求b、k的值；
（2）求△ABD的面积；
（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．
【答案】解：（1）作CH⊥y轴于点H，
∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），
∴﹣1×3+b＝0，
解得，b＝3，
对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，
∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，
∵CH∥OA，
∴△AOB∽△CHB，
∴，即，
解得，CH＝2，BH＝6，
∴OH＝OB+BH＝9，
∴点C的坐标为（2，9），
∴k＝2×9＝18；
（2）∵BD∥x轴，
∴点D的纵坐标为3，
∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，
∴△ABD的面积＝×6×3＝9；
（3）EF＝BD＝×6＝2，
设E（m，3m+3），
当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m+2）（3m+3）＝18，
解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，
当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），
∵点F在反比例函数y＝上，
∴（m﹣2）（3m+3）＝18，
解得，m3＝（舍去），m4＝，
综上所述，m的值为1或．
【解析】【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，利用待定系数法求出b的值，再根据直线与y轴的交点特征求出点B的坐标，然后根据相似三角形的性质求出点C坐标，再根据点C在反比例函数图象上，即可求得k的值；
（2）首先根据BD与x轴平行，可得出点D（6，3），求出BD=6，再根据三角形的面积公式，可得出：△ABD的面积＝×6×3＝9；
（3）设出点E坐标，根据EF=2，可分为两种情况表示点F的坐标，然后根据F在反比例函数图象上，可得出关于m的方程，分别解方程，并取符合题意的答案即可。
48．已知：二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
【答案】解：（1）A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，得
，
解得，
∴y=﹣x2+2x+6，
∵y=﹣（x﹣2）2+8，
∴抛物线对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；
（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），设直线AC′解析式为y=ax+b，则
，
解得，
∴y=x+2，当x=2时，y=4，
即P（2，4）；
（4）依题意，得AB=8，QB=6﹣m，AQ=m+2，OC=6，则S△ABC=AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，∴△BDQ∽△BCA，
∴=（）2=（）2，
即S△BDQ=（m﹣6）2，
又S△ACQ=AQ×OC=3m+6，
∴S=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ=24﹣（m﹣6）2﹣（3m+6）=﹣m2+m+=﹣（m﹣2）2+6，
∴当m=2时，S最大．
【解析】【分析】（1）解一元二次方程x2﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax2+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求；
（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值．
49．如图，为矩形的对角线，，．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，连接AP，取AP的中点Q，过点P作于点M，连接，以、为边作．设矩形与重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）
（1）当点N落在边上时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）连接，当直线将矩形的面积两等分时，直接写出x的值．
【答案】（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）x的值为或
【解析】【解答】（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
【分析】（1）延长NQ交AD于点E，由平行四边形的性质可得QE//PM//CD，则可证明，则由相似比可得，，同理可证明，则，，再根据列方程并求解即可；
（2）可分三种情况进行计算，即当点P在AC上且点N在矩形ABCD内部时，此时，则；当点P在AC上但点N在矩形ABCD外部时，此时，则，此时可证明，则利用三角函数可求出FG；当点P在CB上运动时，此时，则；
（3）由于矩形是中心对称图形，则经过对角线交点的任一条直线均可等分矩形面积，因此可连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，此时可分两种情况分别计算，即当N在BC上时，此时和N在矩形ABCD外时，此时时．
（1）解：当点N落在边上时，如图，作于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由题意得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，点Q是AP的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，即，
解得；
（2）解：当时，；
当时，如图，
，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
；
当时，如图，
由题意得，
同理，是的中位线，
∴，，，
∴，
综上，；
（3）解：连接交于点，当直线经过点时，直线将矩形的面积两等分，
当时，如图，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点Q是AP的中点，
∴，
∴，
解得；
当时，如图，作于点，直线交于点，
由（2）得，
∴，
同理，是的中位线，
同理，求得，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上，x的值为或．
50．如图，在中，是AB上一点，连接CD，点在CD上，连接BE，已知，且．
（1）求证：；
（2）若，求CE的长.
【答案】（1）证明：根据题意得，
，
又
（2）解：解：根据题意得
解得，
由（1）得，即，
整理得，
解得（边长为正值，舍去负值）．
【解析】【分析】（1）先根据等边对等角得到∠BDE=∠BED，则可证明∠BEC=∠ADC，再证明∠EBC=∠ACD，即可证明△BEC∽△CDA；
（2）先证明△CBD∽△ABC，求出AB=，进而得到AD=，由（1）得，即，解之即可得到答案。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
