2025-2026学年 北师大版八年级上册 数学期末检测题一（含解析）

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2025-2026学年 北师大版八年级上册 数学期末检测题一
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．数学课堂小测后，两位同学的对话如下，萱萱说：“我们组成绩的平均分是92”．小杰说：“我们组95分的同学最多”．上面两位同学的对话分别反映的统计量是（ ）
A．平均数和中位数 B．中位数和众数 C．平均数和众数 D．方差和众数
2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　）
A． B．3 C． D．9
4．已知点关于原点的对称点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点、在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（ ）
A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3
C．样本的众数是2 D．样本的平均数是
7．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
C．两直线平行，内错角相等
D．若，则b的平方根大于a的平方根
8．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．、两地相距千米，慢车从地到地，快车从地到地，慢车的速度为千米/小时，快车的速度为千米/小时，两车同时出发．设两车的行驶时间为（小时），两车之间的路程为（千米）．则能大致表示与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．甲，乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A 地的距离y（单位：km）与所用时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲车速度与乙车速度的比为3：2
B．甲，乙两车在途中两次相遇的时间间隔为7.5min
C．第二次相遇时间是第14 min
D．出发后，乙车比甲车先到达A地
12．如图，已知直线：与x轴交于点B，点C在直线上，且点C的横坐标为，点F为线段上一点（不含端点），点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点M在整个运动过程中用时最少时点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．体育课上五名同学定点投篮（每人投5球）投中的球数1，1，4，3，5的中位数为 ．
14．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，依据是 ．
15．已知一次函数，当时，y的最大值是 ．
16．已知的顶点在轴上，顶点在轴上，且．点的坐标为（0,3），点的坐标为（-1,0），．过点作直线轴交于点，交轴于点．则线段的长为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共48分。
17．用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
18．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请补充完整．
(1)列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 2 1 1 2 3 …
则表格中______
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值．
19．已知：如图，直线，被直线所截，与互补．求证：．
20．某校九年级学生为了迎接体育中考，进行了模拟体育考试，为了解全年级1100名学生此次考试成绩（满分35分）的情况，随机抽取了个参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图．
体育成绩分组统计表
组别 分数分 频数
20
28
36
请根据以图表信息，解答下列问题：
(1)______；______；
(2)所抽取的参赛学生成绩的中位数落在的“组别”是______；
(3)请你估计，该校全年级体育成绩不高于30分的学生约有多少人？
21．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水费y（元）与所用的水量x（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题：
(1)当时，求y与x之间的函数关系式
(2)已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月用水量多少吨？
22．在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的；
(2)写出点，的坐标（直接写答案）； ， ，
(3)的面积为 ．
23．已知：如图，射线是函数的一部分，直线与交于点C．
(1)请补全函数的图象，补全部分图象与直线交于点D；
(2)求点C、点D坐标；
(3)在函数的图象上是否存在一点P使；若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出P点坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C A C A A C
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】本题考查平均数和众数，萱萱的话涉及“平均分”，即平均数；小杰的话涉及“95分的同学最多”，即众数．
【详解】解：∵ 萱萱说“平均分是92”表示平均数；小杰说“95分的同学最多”表示众数．
∴ 两位同学的对话分别反映的统计量是平均数和众数．
故选C．
2．C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值．
【详解】解：函数是一次函数，
指数满足，且系数满足，
由得，，
由得，
，
故选：．
4．B
【分析】本题考查平面直角坐标系．
根据已知可得点在第四象限，由第四象限的点的坐标特征列不等式组，即可得的取值范围．
【详解】解：∵点关于原点的对称点在第二象限，
∴点在第四象限，
∴ ，
∴
故选：B．
5．C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解答本题的关键是判断、的正负．
根据点，在直线上，当时，，且，可以得到、的情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限．
【详解】解：点，在直线上，
当时，，且，
，，
直线经过二、三、四象限，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得．
【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次，
所以这组数据为．
A、样本的容量是，则此项错误；
B、样本的中位数是3，则此项正确；
C、样本的众数是2，则此项正确；
D、样本的平均数是，则此项正确；
故选：A．
7．C
【分析】本题考查平行线的性质与判定、平方根的概念，解题的关键在于准确掌握定理与概念．
【详解】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意；
B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意；
C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意；
D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
将代入，即可求出的值，即可求解．
【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标，
将代入得：，
即方程组的解为： ，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺，
∵屈绳量之，不足一尺，
∴对折绳子长度比木长短尺，
即，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，确定分段函数的解析式，并根据函数解析式确定函数图象是解题关键．分别求出慢车到达地、快车到达地、两车相遇时间，然后分、、三段求出函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】解：根据题意得：慢车从地到地所用时间为（小时），
快车从地到地所用时间为（小时），
两车同时出发，相遇时慢车所用时间为（小时）．
当时，﹔
当时，；
当时，快车已到地，；
故选：C．
11．B
【分析】本题考查了函数图象的理解，行程问题中的速度、路程和时间关系及相遇问题．根据题中给出的图象逐一分析每个选项，选择出正确选项即可．
【详解】解：设A，B两地的距离为S km，则由图象可知甲车的速度为，乙车的速度为，所以甲车的速度与乙车的速度比为，故A错误；
由图象可得甲车离A地距离与时间x之间的函数表达式为 ，
乙车离A地距离与时间x之间的函数表达式为 ，
当时，联立与的表达式，得，
解得，
即第一次相遇的时间是第7.5min，
当时，联立此时的与的表达式，得，
解得，
即第二次相遇时间是第15 min，
则甲、乙两车在途中两次相遇时间间隔是：，故B正确，C错误；
由图象可知甲车出发后第20分钟返回A地，乙车出发后第30分钟返回A地，所以甲车先到达A地，故D错误．
故选：B．
12．A
【分析】用和把时间表示出来，发现用时为，如图过F作的垂线，垂足为E，经论证知，这样就把求时间最短问题，转化为求的最短问题，由垂线短最短知，当时，最短，即用时最短，如图中的即是最短用时、即是所求的点．接下来，只要运用一次函数的知识求出的坐标也就是所要求的时间最短时F的坐标．
【详解】解： 如图，分别作轴，轴，使直线交于点，
∵与x轴交于点B，
∴时，，即，
∵点C的横坐标为，
∴点C的纵坐标为，
，
，
又，
为等腰直角三角形，
过点作于点，连接，
，
∴，
又当时，取得最小值
此时
即
此时与交于
的横坐标等于的横坐标
把代入得
即当时，在整个运动过程中用时最少．
故选：A
【点睛】此题是典型的几何最值问题（胡不归）及求直线上点的坐标问题．“两点之间线段最短”、“垂线段最短”，勾股定理的应用等有关最短的几何性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
13．3
【分析】本题考查了中位数，解题的关键是掌握确定中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫作这组数据的中位数．
将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数．数据个数为奇数时，中位数是中间那个将数据作为中位数即可解答．
【详解】解：将数据1，1，4，3，5按从小到大顺序排列为1，1，3，4，5．数据个数为5，是奇数，中位数是第3个数，即3．
故答案为3．
14．同位角相等，两直线平行
【分析】根据作平行线时，三角板的角的度数是不变的，以及角的位置关系，结合平行线的判定方法解答即可． 判定两条直线是平行线，可以由内错角相等，同位角相等，同旁内角互补等，应结合题意，具体情况，具体分析．明确作图中移动的三角板的角度是同位角的关系是解题的关键．
【详解】解：同位角相等，两直线平行.
故答案为： 同位角相等，两直线平行．
15．/
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．一次函数斜率k为负，y随x增大而减小，因此y的最大值出现在x的最小值处．
【详解】解：一次函数中，
∵，
∴y随x增大而减小，
则当取最小值时，取最大值．
∵，
当时，y取得最大值．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟悉相关定理．
过作轴，证明，得到，，进而得到点坐标，然后利用的坐标得到的直线方程式为，利用轴,代入方程式得到点坐标，两点轴上坐标值相减即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
过作轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同时，，
∴，
∴，，
∴，
∴的坐标为，
根据，，
求得的直线方程式为，
∵，
∴的纵坐标为，
代入方程式得到，，
∴．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法（加减消元法、代入消元法），熟练掌握消元法将二元方程转化为一元方程求解是解题的关键．
（1）用加减消元法，将两个方程相加消去，先求，再代入求；
（2）把代入另一个方程，先求，再代入求．
【详解】（1）解：，
① + ②得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
将①代入②得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原方程组的解为．
18．(1)
(2)见解析
(3)函数存在最小值，最小值为
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）将代入计算即可得解；
（2）根据表格描点连线即可；
（3）根据函数图象即可得解．
【详解】（1）解：在中，当时，，即；
（2）解：描点并画出该函数的图象如图所示：
；
（3）解：由图象可得，函数存在最小值，最小值为．
19．证明见解析
【分析】此题考查平行线的判定，关键是根据同位角相等，两直线平行解答．
根据邻补角互补和同位角相等，两直线平行解答即可．
【详解】证明：如图，
与互补，
．
，
．
．
20．(1)；
(2)C
(3)该校全年级体有成绩不高于30分的学生约有704人
【分析】本题考查了统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图表，从中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，也考查了利用样本估计总体．
（1）由组人数及其所占百分比可得总人数，再根据各组人数之和等于总人数可得的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）总人数乘样本中、、组人数和所占比例即可．
【详解】（1）解：，
则；
故答案为：100，16；
（2）解：所抽取的参赛学生成绩的中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在C组，所以所抽取的参赛学生成绩的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）解：（人，
答：该校全年级体育成绩不高于30分的学生约有704人．
21．(1)
(2)这户居民上月用水25吨．
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从函数图象中获取有效信息，会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键．
（1）利用待定系数法求解函数关系式．
（2）某户居民上月水费为91元，，将代入求解x值即可．
【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为：，
由题意得：，
，
与之间的函数关系式为：．
（2）解：∵某户居民上月水费为91元，，
当时，，
解得：，
答：这户居民上月用水25吨．
22．(1)图见详解
(2)
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的轴对称变换、点的坐标特征以及三角形面积的计算．解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标规律，即横坐标互为相反数、纵坐标不变，以及利用割补法求三角形面积．易错点是在求对称点坐标时符号出错，或在计算面积时格点数错导致计算错误．
（1）根据关于y轴对称的点的坐标变化规律，确定点、、的位置，再依次连接得到；
（2）直接根据轴对称规律写出对应点的坐标；
（3）采用割补法，用外接矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，从而求得的面积．
【详解】（1）解：如下图即为所求：
（2）解：故答案为，．
（3）解：
故答案为4.5．
23．(1)见解析
(2)，
(3)存在一点P使， P点坐标为，，
【分析】本题考查一次函数综合，注意根据绝对值进行分情况讨论；
（1）当时，，据此画图即可；
（2）当时，联立求出；当时，联立，求出；
（3）先求出，得到当与重合时，，此时；再根据，取点，过作的平行线，则与交点满足条件，据此求解即可；
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
补全部分图象与直线交于点D如图所示：
（2）解：当时，，
联立，解得，
∴；
当时，，
联立，解得，
∴；
（3）解：如图，直线与轴交于点，取点，过作的平行线，则解析式为，
当时，，，
∴，直线与轴交于点，
∴，
∴，
∴当与重合时，，此时；
同理可得，
∵是的平行线，
∴上所有的点与连接的三角形面积，
当时，，
联立，解得，
∴；
当时，，
联立，解得，
∴，
综上所述，存在一点P使， P点坐标为，，．
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