2025-2026学年 北师大版八年级上册 数学期末检测题二（含解析）

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2025-2026学年 北师大版八年级上册 数学期末检测题二
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．下列图象中，表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．手工课上，同学们用丝带和贴纸装饰书签、两种装饰材料一共准备了42件（丝带按“根”算，贴纸按“张”算），每制作一张书签需要2根丝带和1张贴纸（固定搭配），最后所有丝带和贴纸刚好全部用完，没有剩余．设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
3．河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（ ）
A．96分 B．98分 C．100分 D．102分
4．下列语句中，不是命题的是（ ）
A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直
C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知有一种密码，将英文26个小写字母依次对应26，25，24，…，1这26个整数（见表格），当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文对应密文．按上述规定，将明文“”译成密文后是（ ）
字母
序号 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14
字母
序号 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，是折痕，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
7．已知，则n的小数部分是（　　）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
9．如图为一个弹簧挂上重物后弹簧总长（单位：）关于所挂物体质量（单位：）的函数图象（轴），则该弹簧长度最大为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
11．实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（ ）
A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种
12．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．下列说法不正确的是（ ）
A．， B．当时，或
C．当时， D．当时，
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是 ．
14．把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果那么”的形式： ．
15．已知关于的二元一次方程组的解满足，则实数m的值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值 ．
三、解答题：本大题共7小题，共48分。
17．解下列方程组：
(1)
(2)
18．阅读与思考
下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题：
一次函数与绝对值的奇妙相遇我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到．将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象．①列表：x…0123…y…______0______01…②在图②中描点、连线：
(1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整；
(2)根据图②中的函数图象回答下列问题：
①当______时，y有最小值为______；
②请写出该函数的一条性质：______．
(3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与直线相交于点E，且．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)若在x轴上存在点P，使得，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；
20．在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26
乙基地水体的值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21
【整理数据】
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
乙基地水体值数据的频数分布直方图

【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 7.67 b 0.10
乙 7.78 c 7.79 0.13
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空： ， ；
(3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由；
(4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求．
21．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车行驶的时间为 ，两车之间的距离为 ，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，根据图象解决以下问题．
(1)甲，乙两地的距离为 __________ ；慢车的速度为 __________ ．
(2)求段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围）
(3)求当 x 为多少时，两车之间的距离为 ，请通过计算求出 x 的值．
22．根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？
(1)这个情境涉及哪些量 这些量之间有怎样的等量关系
(2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？
23．如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点．
(1)求直线的函数表达式；
(2)将直线沿轴向右平移3个单位得直线，与轴交于点，点为直线上一动点，若，求点的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C A C D A C A
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键．函数通常表示为一个变量（自变量）与另一个变量（因变量）之间的映射关系据此解答即可．
【详解】解：A、由图可得，任意一个x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意；
B、由图可得，存在x对应着两个y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意；
C、由图可得，任意一个x对应着一个y的值，能表示y是x的函数，符合题意；
D、由图可得，存在x对应着三个（或两个）y的值，不能表示y是x的函数，不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程组是解题关键．根据丝带和贴纸的总件数以及每张书签的固定用料关系列方程组即可．
【详解】解：设所用丝带总数为x根，贴纸总数为y张，
由题意得：，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了加权平均数，理解“权”的含义和掌握求加权平均数的方法是解答本题的关键．根据试卷命题比例计算各部分分值，再根据得分率计算各部分得分，求和得总成绩．
【详解】解：根据题意，得
（分）
则他的最终成绩是分．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可．
【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假，
选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题；
选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了有理数数混合运算，正确理解密文转换规则是解题关键．结合密文转换规则，分别计算明文“”各字母转换后对应的密文字母，即可获得答案．
【详解】解：对应的数是8，，则对应密文为，
对应的数是19，，则对应密文为，
对应的数是6，，则对应密文为，
对应的数是3，，则对应密文为，
对应的数是6，，则对应密文为，
对应的数是22，，则对应密文为，
所以，将明文“”译成密文后是“”．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，利用勾股定理求出，利用翻折的性质可得，推出即可解决问题．
【详解】解：在中，，，
，
由翻折的性质可知：，，
，
的周长．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查无理数的估算．先计算，确定的范围，从而得到整数部分，再求小数部分．
【详解】解：，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为6，
∴ 小数部分为．
故选：D．
8．A
【分析】此题考查了一次函数和正比例函数图象与性质，先根据正比例函数图象判断的正负，再根据一次函数的图象判断a和b，即可判断答案．
【详解】解：．由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项正确，符合题意；
． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意；
． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意；
．由正比例函数可知， 由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意；
故选：．
9．C
【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出前一段线段的解析式，进而求出点的纵坐标，即可得出结果．
【详解】解：设前一段线段所在直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
∴当时，；
故该弹簧长度最大为；
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积．
【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线，
∴直线的解析式为，
即直线的解析式为，
，解得：，
∵直线与直线：交于点，
∴，
，
当时，，解得：，
，
当时，，解得：，
∵直线，分别交轴于点，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关键．设购买种图书本，种图书本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方程的正整数解即可求解．
【详解】解：设购买种图书本，种图书本，根据题意，得
,
，
为正整数，
，且为偶数，
解得，
，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有9种购买方案．
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
根据直线在y轴上的截距为，得出，将点代入，即可得出的值；根据题意，可表示，，由于，即可列出方程求解的值，还可根据，得出，，，当时，可列出方程求解即可，当时，解不等式可判断当时，．
【详解】解：直线在轴上的截距为，
，
将代入，
得：，
解得：，
，故A选项不符合题意，
由题意得：，，
，
或，
解得：或，故B选项不符合题意，
，，
当时，
即：或
解得：或，
故C选项符合题意，
当，即，
两边同时平方整理得：，
解得：或
当时，，故D选项不符合题意，
故选：C
13．3
【分析】根据众数的定义，x必须是2，从而确定数据组，再计算平均数．
本题考查了众数、平均数，熟练掌握众数、平均数的定义以及求解方法是解题的关键．
【详解】解：∵数据1，2，4，6，x的众数是2，
∴，
∴这组数据为1，2，4，6，2，
其平均数为，
故答案为：3．
14．如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
【分析】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，解题的关键是熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论．
根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．
【详解】解：∵原命题的条件是：两个三角形是全等三角形，结论是：对应角相等，
∴命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
故答案为：如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等．
15．3
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程与联立求出的值，再代入方程求出的值即可．
【详解】解：由，
解得，
将代入得，
解得．
故答案为：3．
16．4
【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题．
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．
，，
直线的解析式为：．
联立解得
．
，
．
．
当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4．
故答案为：4．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，数量掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
（1）将第二个方程代入第一个方程中，解出、的值即可；
（2）将第二个方程左右两边同时乘以，再减去第一个方程，解出、的值即可．
【详解】（1）解：
把②代入①得：，
整理得：，
解得：，
把代入②得：，
因此，原方程的解为：；
（2）解：
将②左右两边同时乘以得：，
③①得：，
解得，
将代入①得：，
移项得：，
解得：，
因此，原方程的解为：．
18．(1)①见解析；②图见解析
(2)①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一）
(3)
【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键．
（1）根据题目要求解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据图象解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
填表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 1 0 0 1 …
描点，连线得，
（2）解：①当时，y有最小值为；
故答案为：0；；
②请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小；
故答案为：时，y随x的增大而减小；
（3）解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点，
故答案为：．
19．(1)
(2)4
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出的长，进而得到点A的坐标，再求出直线的解析式，进而得到点B的坐标，再求出点E的坐标，根据列式求解即可；
（3）设点P的坐标为，根据三角形面积计算公式可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵直线与x轴交于点A，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴；
联立，解得，
∴，
∴；
（3）解：设点P的坐标为，
∵
∴，
解得或，
∴此时点P的坐标为或．
20．(1)见解析
(2)7.81；7.77
(3)甲基地水体的值更稳定，理由见解析
(4)该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求
【分析】本题考查频数（率分布直方图，频数（率分布表，中位数、众数和极差，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
（1）用24分别减去其它四部分的频数，即可得出“”的频数，进而补全频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）根据方差的意义解答即可；
（4）根据极差的定义解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
补全频数分布直方图如下：
乙基地水体值数据的频数分布直方图

（2）解：把甲基地水体的值数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是7.81，7.81，故中位数
在乙基地水体的值数据中7.77出现的次数最多，故众数；
故答案为：7.81；7.77；
（3）解：甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，，
甲基地水体的值更稳定；
（4）解：甲基地对水体值的日变化量：，
乙基地对水体值的日变化量：，
该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求．
21．(1)720，80；
(2)
(3)或，
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，（3）要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．
（1）由图象可知，甲、乙两地的距离为，再根据慢车走完全程用了9小时，即可求出慢车速度；
（2）先求出快车速度，再求出快车到达乙地时慢车离开乙地的距离，可得点，根据待定系数法即可求出解析式；
（3）分相遇前相距和相遇后相遇两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地的距离为，
慢车走完全程用了9小时，
∴慢车的速度为
故答案为720，80；
（2）由图象可知，两车用了3.6小时相遇，
∴快车速度为：，
∴快车达到乙地时时间为（小时），
此时慢车离开乙地的路程为，即点，
设段的函数解析式为，把点，代入得：
，解得
∴．
（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为．
即相遇前：，
解得，
相遇后：点，
慢车行驶两车之间的距离为，
慢车行驶需要的时间是，
，
故或，两车之间的距离为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系．
（1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系；
（2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程．
【详解】（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数；
等量关系为：图书数学生数；图书数学生数
（2）解：∵图书有本，学生有人，
由“每人分6本，剩40本”得：；
由“每人分8本，缺50本”得：．
∴．
23．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合，三角形面积计算，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
（1）先求出点D的坐标，然后用待定系数法求出函数表达式即可；
（2）先求出直线m的函数表达式为，再求出，设点P的坐标为，分两种情况当点P在上时，当点P在延长线上时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：把点代入得：，
∴，
设直线的函数表达式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式；
（2）解：∵将直线沿轴向右平移3个单位得直线，
∴直线m的函数表达式为，
把代入得，
解得：，
∴点E的坐标为，
把代入得，
∴直线m与y轴的交点坐标为，
把代入得，
把代入得，解得：，
∴点，，
∴直线m经过点B，，，
∴，
设点P的坐标为，
当点P在上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此时点P的坐标为；
当点P在延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴此时点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或．
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