2025-2026学年 北师大版九年级上册 数学期末检测题一（含解析）

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2025-2026学年 北师大版九年级上册 数学期末检测题一
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共36分.
1．下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，下列比例式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
9．如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
12．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合，点E为x轴上一点，连接，F为的中点，反比例函数的图象经过A，F两点，若平分，的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．已知反比例函数的图象经过点，则k的值是 ．
14．黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观，已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为 ．（结果保留根号）
15．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状如图所示，则这个几何体中小正方体的个数最少是 个．
16．如图，点分别在的边上，，，已知是的中点，连接并延长交于点N，则 ．
三、解答题：本大题共7小题，共48分。
17．如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的．
(1)画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图；
(2)填空：这个几何体由 个小正方体组成；
(3)给这个几何体再添加一些大小相同的小正方体，并保持正面和上面看到的形状图不变，最多可以添加 个小正方体．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．如图，这是正面分别印有1，2，3三个数字的三张卡片，卡片大小、形状及背面图案完全相同，现将三张卡片背面朝上放置在桌面上且打乱顺序，每次从中随机选取一张．
(1)若选取一张，则抽中的卡片上的数字为偶数的概率为 ．
(2)若选取一张后，将卡片背面朝上放回，打乱顺序再重新抽取一张，分别记下两次卡片的数字，按先后顺序组成一个两位数（第一次记下的数字为十位数字，第二次记下的数字为个位数字），用画树状图或列表的方法，求组成的两位数为五月的某一个日期的概率．
20．（）若，且，求的值．
（）若，且满足，求、、的值．
21．如图，已知：，与相交于点E，点F在线段上，，，的面积等于2．求的面积．
22．【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息：
（1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）；
（2）在图中画出在阳光下的投影；
（3）求立柱的长．
【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿．
23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点．
(1)求a的值；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D D A C C C B
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题考查了立体图形的三视图，从正面看得到的图形是主视图，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、主视图是圆，故该选项正确；
B、主视图是长方形，故该选项错误；
C、主视图是三角形，故该选项错误；
D、主视图是正方形，故该选项错误，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上．
【详解】解：反比例函数的图象上的点满足，
对于A点，，不在图象上；
对于B点，，不在图象上；
对于C点，，在图象上；
对于D点，，不在图象上．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解．
由已知等式直接利用比例的基本性质推导．
【详解】解：∵，
∴，
∴选项A正确，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积总面积来计算概率．
【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，，
∴；
故选D．
6．A
【分析】根据菱形的面积等于计算即可．
本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得菱形的面积等于，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
由相似三角形的性质可得，再根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选C．
8．C
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是正确理解函数图象和性质．
观察函数图象即可求解．
【详解】解：观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，
不等式的解集是或．
故选：．
9．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，然后证明，接着根据，得到，最后利用相似三角形的性质求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与的面积比为：，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键．
根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标．
【详解】解：代入，得，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
由题意，得在x轴上，
∴轴，
，
∴．
故选：B ．
11．A
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则．
【详解】解：由旋转得，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
在中，由勾股定理得，，
，
，
故选：A．
12．B
【分析】如图，连接，，过点A作于N，过点F作于M．证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，过点A作于N，过点F作于M．
∴，又为的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
13．
【分析】本题考查了求反比例函数，将点代入反比例函数表达式，即可求出的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴得，
解得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了黄金分割，把代入计算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查从不同方面看立体几何图形的平面图形还原立体图形，发挥空间想象能力是解决问题的关键．
由从上面看、从左面看的平面图形，即可得到答案．
【详解】解：由从上面看、从左面看的平面图形，几何体从后往前看，最后一排至少5个小正方体，中间一排至少3个，前排是1个，
则这个几何体中小正方体的个数最少是个正方体，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，过点F作交于点G，可证．同理可得，，；由得，于是；设，则，，，从而得．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
过点F作交于点G，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
故答案为：．
17．(1)见详解
(2)6
(3)2
【分析】本题主要考查了画三视图，三视图相关的计算，考查了学生空间想象能力．
（1）主视图有2列，每列小正方形数目分别是3，2；左视图有2列，每列小正方形数目分别是3，1；俯视图有2列，每列小正方形数目分别是2，1；据此可画出图形；
（2）由几何体分别求得第一层、第二层、第三层得个数即可；
（3）保持主视图和俯视图不变，在第一列第二行和第三行各加一个，相加求出即可．
【详解】（1）解：画出从正面、左面、上面观察所看到的几何体的形状图如图所示，
（2）解： 第一层3个，第二层2个，第三层1个，
则，
则这个几何体由6个小正方体组成；
（3）解：根据题意得：
保持主视图和俯视图不变，在第一列第二行和第三行各加一个，
（个），
最多还可以添加2个小正方体．
18．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程．
（1）利用配方法解一元二次方程，即可得到答案；
（2）根据因式分解法提出公因式，可得两个因式乘积等于0的性质，即可得解．
【详解】（1）解：
∴或
解得：，；
（2）解：
∴或
解得，．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了概率的计算，正确列举出所有可能的结果是解题的关键．
（1）直接根据概率公式计算；
（2）通过列表或画树状图的方法列出所有组成两位数的可能结果，再找出符合五月日期的结果，最后根据概率公式求解．
【详解】（1）三张卡片上的数字为，其中偶数为2，只有一个．
概率为．
（2）列表如下：
第一次第二次 1 2 3
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
共有种等可能结果，其中属于五月日期的有种，
概率为．
20．（）；（）
【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键．
（）设，则，，，再代入分式计算即可；
（）设，则，，，再代入中求出的值即可求解；
【详解】解：（）设，则，，，
∴；
（）设，则，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，．
21．9
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算，解题的关键是利用平行线构造相似三角形，通过相似比确定线段比例及面积关系．
由证得，得出与的比例关系；再由证得，结合相似三角形面积比等于相似比的平方求出的面积；最后根据平行线间距离相等，利用底的比例关系求出的面积．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴，，
∴（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴，
∵，
∴．
∵，与的高相等，
∴，
∴．
答：的面积为9．
22．（1）平行投影；（2）见解析；（3）的长为；（4）这棵树高
【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键．
（1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影，
（2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影，
（3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值，
（4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度．
【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影．
（2）作直线，过点作，交直线于，
如图所示，就是的投影．
（3）太阳光线是平行的，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
故立柱的长为．
答：立柱的长为．
（4）如图，过点作交于点，
则，，
，
即，
，
．
答：这棵树高．
23．(1)a的值为8
(2)的取值范围为或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标．
（1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求；
（2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围；
（3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
解得，
∴反比例函数解析式为，
又∵点在的图象上，
∴将代入，得．
∴a的值为8．
（2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或．
（3）解：∵一次函数过、，
∴代入得，
用第一个方程减第二个方程：，即，
解得，
将代入，得，即，
解得，
∴一次函数解析式为，
设点的坐标为（，因在线段上），
∵，且、、在同一直线上，
∴，即，
∵点在上，且为原点，
∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例），
∴的坐标为，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
化简右边：，方程变为，
两边同乘去分母：，
即，
两边除以得，
因式分解：，
解得或，
当时，，此时；
当时，，此时，均在线段上，
故点的坐标为或．
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