2025-2026学年 北师大版九年级上册 数学期末检测模拟卷二（含解析）

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2025-2026学年 北师大版九年级上册 数学期末检测题二
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象不经过的点是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和 是以点 O 为位似中心的位似图形， ，若，则为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
4．如果，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知点，，在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，、分别是的边、上的点，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．公元3世纪初，我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．连接，若，且大正方形的面积是，则小正方形的边长是（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作轴于D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论：①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点.若点的横坐标为8，则的值为（ ）
A．20 B．22 C．16 D．24
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．若线段，则．的比例中项 ．
14．某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为，那么这三者的大小关系是 （请用“<”连接）．
15．如图，已知矩形，，，将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，当时， ， ．
16．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A、B两点．过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为8，则k的值为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共48分。
17．解下列方程：
(1)（因式分解法）
(2)（公式法）
18．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的三个视图并求该几何体的表面积（包括底面）；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)以点为位似中心，在第四象限画出的位似图形，与的相似比为；
(2)若是内部任意一点，点在内部的对应点的坐标为______．
20．如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，．
(1)求证：；
(2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程．
21．三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度
22．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表：
时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20
水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃
(1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象．
(2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围．
(3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明．
23．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，．
(1)求反比例函数与一次函数的函数关系式；
(2)根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D D B C B B
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】本题考查了几何体的左视图，从左面观察几何体的形状图为左视图，据此即可求解．
【详解】解：由题意得，几何体的左视图是
故选：C．
2．B
【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握：函数图象上的点表示该点的横纵坐标适合该函数的解析式，反过来也成立．据此逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为 ，
A、当，，满足方程，则该点在图象上；
B、当，，不满足方程，则该点不在图象上；
C、当，，满足方程，则该点在图象上；
D、当，，满足方程，则该点在图象上．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质可得，得到根据相似三角形的性质求出，因为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵，且和 是以点 O 为位似中心的位似图形，
∴
∵
，
，
∵，
，
故答案为：B．
4．A
【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例，设，（其中），再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：∵，
∴设，（其中），
则．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数的性质．
根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了黄金比，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上概念和定理．
假设，则，利用勾股定理求出直角三角形斜边长度，然后利用画图求出各边的长度，最后代数求比值即可．
【详解】解：假设，则，
∵，
∴根据勾股定理得，
根据画图可得，，，
A. ，不是黄金比，不符合题意；
B. ，不是黄金比，不符合题意；
C. ，不是黄金比，不符合题意；
D. ，是黄金比，符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，在与上，已知的等量条件为公共角，若两个三角形相似，可再添加一组对应角相等，或的两组对应边成比例，即可判断得到答案．
【详解】解：A、，，两边对应成比例，夹角相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意；
B、，不是夹角，不能判断两个三角形相似，此项符合题意；
C、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意；
D、，，两角对应相等，可判断两个三角形相似，此项不符合题意；
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可知，，，，得，，，进而根据可得，再根据线段的和差关系即可求解．
【详解】解：如图，由题意可知，，，，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
9．B
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，推出，再利用勾股定理构建方程求出可得结论．
【详解】解：由题意，，，，
∴，
∴，
∵正方形的面积为，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴正方形边长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形，以弦图为背景的计算题，根据正方形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
10．B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数是解题的关键．
根据反比例函数和一次函数的性质逐项判断即可．
【详解】把代入反比例函数得，把代入，得，
∴，故①错；
联立两函数解析式，解得，
∴，故②对；
观察图象，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，可知③对；
由、、可知，，
∴，故④错．
综上，结论②③正确，正确的个数是2个，
故选B．
11．B
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，掌握通过相似，对线段长度之比进行转换是解题的关键．
延长交于点H，先证，得到，再通过，得到占的，占的，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点H，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
故选：B．
12．D
【分析】作轴于点E，轴于点F，可证明，得到，，设，得到，设直线的函数解析式为，求得直线的函数解析式为，求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，作轴于点E，轴于点F
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
点A、点C在函数的图象上
设
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
设直线的函数解析式为
将，
代入得
解得
∴ 直线的函数解析式为
∴即
∴
解得：或
经检验，或 是原方程的解
当时，轴，点在轴上，不符合题意，舍去
∴
∴
故选：D.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
13．/厘米
【分析】本题考查了比例的性质，二次根式的化简，根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则．
【详解】解：由题意，，所以 ．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用，能表示出所求几何体的表面积是解题的关键．；由正方体的表面积得，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；
【详解】解：由题意得，
，
，
，
，
故答案为：．
15． 或6
【分析】根据矩形的折叠得到，，，，进一步证明，则，设，则，，得到，解方程并确定或，则，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：将沿翻折的，将沿翻折的，点F正好落在所在直线上，四边形是矩形，
∴，，
，
∴，
∵
∴，
，
∴，
设，则，，
，
解得或，经检验符合题意，
∴或，
∴，
，
故答案为：或，
【点睛】此题主要考查了矩形的折叠、相似三角形的判定和性质、勾股定理，方程的应用等知识，掌握以上知识是解题的关键．
16．3
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点．过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点E，
设点，则点，
∵底边轴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的横坐标为，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：3．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是是熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程的步骤．
（1）对等号左边进行提取公因式进行因式分解，再分别求两个一元一次方程即可；
（2）先将其化为一般式，再求出的值，然后根据公式求解即可．
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
∴，．
18．(1)图见详解，
(2)2
【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；
（1）根据几何体的特征可进行作图，然后根据三视图可进行求解；
（2）根据几何体的特征及三视图可进行求解
【详解】（1）解：所作三视图如下：
该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：
∴该几何体的表面积为；
（2）解：由题意可得在备注数字的位置添加相应数量的小正方体，
所以最多可以添加2个，
故答案为：2；
19．(1)图见解析；
(2)
【分析】本题考查的知识点是在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标，解题关键是熟练掌握位似的相关性质．
（1）根据位似比确定点的坐标，描点后顺次连接即可；
（2）根据位似的性质即可得到对应点的坐标．
【详解】（1）解：以点为位似中心，在第四象限作出与相似比为的位似图形，如下图所示：
（2）解：是内部任意一点，与的相似比为，且点为位似中心，
点在内部的对应点的坐标为．
故答案为：．
20．(1)见解析
(2)或或，证明过程见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）由得，结合已知条件，利用即可求证；
（2）添加条件；由得，推出，即可求证；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，．
∴；
（2）解：添加条件；
∵；
∴，
∴，即，
∵，
∴；
同理还可添加条件：或．
21．古塔的高度为82米
【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴，，
∴，，
，
∴，
，
（米），
∵，
∴，
（米），
答：古塔的高度为82米．
22．(1)见解析
(2)
(3)可以喝到不超过50C°的水，理由见解析
【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键．
（1）根据表格描点、连线即可；
（2）根据图象可得：在加热过程中，y是x的一次函数，经过点的坐标为，；降温过程中，y是x的反比例函数，经过点；然后利用待定系数法求出两个函数解析式；
（3）先求出上午之间有85分钟，是3个周期多15分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
（2）在加热过程中，y是x的一次函数；
设一次函数关系式为：，
将（代入，得
解得．
∴，
降温过程中，y是x的反比例函数；设关系为，将点代入得，
．
∴
（3）上午之间有85分钟，，
15位于时间段内，
把代入，可得．
所以8：25分时同学们可以喝到不超过50C°的水．
23．(1)，．
(2)或；
(3)或或．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、等腰三角形的分类讨论、平面直角坐标系内两点间距离公式，熟练掌握函数交点的求解方法和等腰三角形的分类分析是解题的关键．
（1）把点A代入反比例函数求k，再用反比例函数求点B的n，最后将A、B代入一次函数列方程组求m、b；
（2）观察图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x范围；
（3）分、两种情况，结合距离公式计算P点坐标．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
所以反比例函数的关系式为．
将代入，得，
解得，即．
将、代入，得
，
解得，，
所以一次函数的关系式为．
（2）解：由（1）得反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，，
结合图形得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）解：∵ ，，
∴，
当时，设，则，
所以或，对应点的坐标为、．
当时，，则
，
，
，
所以或．
当时，（与点O重合，舍去）；
当时，，对应点的坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
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