广东省深圳市红山中学等2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·坪山期中）已知集合是不大于10的整数，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·坪山期中）复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·坪山期中）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·坪山期中）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·坪山期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·坪山期中）已知函数，且在上有且只有一个零点，则（ ）
A．0 B． C． D．
7．（2025高三上·坪山期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A． B． C． D．1
8．（2025高三上·坪山期中）如图，正四面体容器的容积为，里面装了体积为的水，固定容器底面一边将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点且与棱分别交于点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·坪山期中）某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（ ）
第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
A．居民年收入的第75百分位数是43.0亿元
B．商品销售额的平均数是40.1万元
C．居民年收入介于35到40亿元占比
D．A商品销售额与居民年收入成正线性相关
10．（2025高三上·坪山期中）如图，直二面角中，，动平面分别交平面和平面于直线 直线，则下列命题正确的是（ ）
A．平面内不存在与平面平行的直线
B．平面内存在无数条直线与平面垂直
C．当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直
D．直线，直线中至少有一条与直线垂直
11．（2025高三上·坪山期中）已知函数有大于0的极值，为自然对数的底，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．有两个零点且其乘积大于
12．（2025高三上·坪山期中）已知正项等比数列中，，则 .
13．（2025高三上·坪山期中）计算的值为 .
14．（2025高三上·坪山期中）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 .
15．（2025高三上·坪山期中）在中，角满足.
（1）求；
（2）若的角平分线交线段于点，求的面积.
16．（2025高三上·坪山期中）已知等差数列的公差，前项和为，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
17．（2025高三上·坪山期中）如图，在四棱锥中，，.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18．（2025高三上·坪山期中）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.
（1）求的方程；
（2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.
①求证：直线过定点；
②若，求的面积.
19．（2025高三上·坪山期中）已知函数.
（1）是否可以为的极值点？请说明理由；
（2）证明：若在上单调，则在上单调；
（3）若有三个零点，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；交集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得或，
所以，
又是不大于10的整数，所以.
故答案为：C
【分析】首先将集合元素求解，再根据交集的定义计算可得.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，
所以所求共轭复数为.
故选答案为：A
【分析】先利用复数的除法运算进行分母实数化，分子分母同乘以即1-2i，将结果求共轭复数.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，则，
所以在上的投影向量为.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，利用投影向量 公式 求解.
4．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的长短半轴长分别为，半焦距为，
则点为一等边三角形三个顶点，因此，
所以该椭圆的离心率.
故答案为：B
【分析】根据 长短半轴长分别为，半焦距为 ，利用椭圆离心率的定义直接求解.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
当时，因为，均在上单调递增，
所以在上单调递增，又为连续函数，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：C
【分析】首先判断函数为奇函数，将不等式化为标准形式，，再根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
6．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：函数，由，得，而，解得，
则，由，得，
由在上有且只有一个零点，得，解得，
而，因此，，所以.
故答案为：A
【分析】根据 ，解得；由在上有且只有一个零点，得，进而求出，可求目标值.
7．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，则，所以，
所以曲线在点处的切线为，即，
因为与曲线只有一个公共点，
即有且仅有一个解，又，
所以有且仅有一个解，
令，即有且仅有一个零点，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，当时，
所以，即，解得。
故答案为：B
【分析】首先求出曲线的导数，再求切线斜率，可求出在点处的切线方程；可得有且仅有一个解，构造函数，即可得到有且仅有一个零点；利用导数判断g(x)的单调性，即可求出函数的最小值，从而得到方程，即可得.
8．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：依题意，平面，而平面平面，平面，
则，由，得，因此，
则，取中点，连接，连接，则为中点，
令正四面体的棱长为，则，，
而平面，则平面，
过点作直线，则，即平面平面，平面，
又平面，于是，是平面与平面的夹角，
在等腰中，，由，
得，
在中，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
故答案为：D
【分析】由线面平行性质定理，可得；再结合锥体体积，得，求得；然后作出二面角的平面角，是平面与平面的夹角， 利用余弦定理求出夹角的余弦.
9．【答案】A,C,D
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、居民年收入从小到大排列为31.1，32.2，32.9，35.8，37.1，38，39，43，44.6，46，
又，所以居民年收入的第75百分位数是43.0亿元，该选项正确，符合题意；
B、商品销售额的平均数是（万元），该选项错误，不合题意；
C、居民年收入介于35到40亿元共有4年，所以居民年收入介于35到40亿元占比，该选项正确，符合题意；
D、画出成对样本数据的散点图，从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
设第年居民的年收入为亿元，商品销售额为万元，
则，，，，，
所以，样本相关系数
．
由此可以推断，商品销售额与居民年收入正线性相关，即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强，该选项正确，符合题意．
故选：ACD
【分析】根据百分位数计算规则i=nxp%判断A，代入平均数计算公式判断B，代入古典概型的概率公式判断C，画出散点图，求出相关系数即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、在上取不与点重合的点，过点在平面内作直线，
则平面，而平面，因此平面，该选项错误，不合题意；
D、假设直线，直线都不垂直于直线，则在平面内过点作
于，在平面内过作，由，得，
由直二面角，得平面平面，而平面平面，
则平面，，而平面，
于是平面，，因此与假设矛盾，假设错误，
则直线，直线中至少有一条与直线垂直，该选项正确，符合题意；
B、由选项D知，不妨令，可得平面，又平面，
则平面平面，显然在平面内存在直线垂直于，
又平面平面，则这条直线垂直于平面，
因此平行于这条直线的所有直线都垂直于平面，该选项正确，符合题意；
C、由选项D知平面平面，若平面平面，
在平面内取点，过点作，则可得平面，
，同理，而平面，则平面，
于是，又平面平面，同理得，
因此当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直，该选项正确，符合题意.
故选：BCD
【分析】利用线面平行的判定判断A；先判断D选项，结合反证法，利用线面垂直的性质、面面垂直的性质，推理判断D；利用线面垂直的定义推理判断B；利用线面垂直的性质、面面垂直的性质推理判断C.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
A、当时，，函数在上单调递减，无极值，与已知矛盾，该选项错误，不合题意；
B、当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值
，因此，整理得，该选项正确，符合题意；
C、由选项B知，，，该选项正确，符合题意；
D、由选项B知，，当从大于0的方向趋近于0时，，
当时，，因此函数有两个零点，不妨令，
则，即，令，则，
即函数的图象与直线有两个交点，由，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在递减，
则，而，当时，恒成立，因此，，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】对函数求定义域、求导数，分两类讨论：，由函数单调性和有大于0的极值推理判断ABC；根据零点的意义及零点存在性定理确定零点个数，构造新函数判断单调性，确定零点所在范围判断D.
12．【答案】16
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由正项等比数列的公比为，
则，即，则有，
所以.
故答案为：16
【分析】代入求和公式，列式求出数列公比q，代入等比数列通项公式求出目标值.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用降幂公式，及两角和的余弦公式计算可得.
14．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意的可能取值为、、、，
所以，，，
，
所以.
故答案为：
【分析】写出的可能取值为i=，，，，依次求出P(X=i)，代入数学期望公式可求.
15．【答案】（1）解：在中，由，得，
则，而，解得，
所以.
（2）解：由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得，
，，
在中，由正弦定理得，
所以的面积为.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）将移项两边同时平方，结合A的范围， 利用同角公式求解.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理可得，再利用三角形面积公式求解即可.
（1）在中，由，得，
则，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得，
，，
在中，由正弦定理得，
所以的面积为.
16．【答案】（1）解：因为，，又，
所以，解得，
所以；
（2）解：因为，即，所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可；
（2）首先表示出，从而得到，该项特征为等差乘等比，需要错位相减法求和即可.
（1）因为，，又，
所以，解得，
所以；
（2）因为，即，所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
17．【答案】（1）证明： 取的中点，连接、，
因为，
所以，，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意；
设，则，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，若，
由，解得（负值舍去），
又，
解得或（舍去），
解得，
所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明、利用勾股定理得，从而得到平面，由面面垂直判定定理即可得证；
（2）要建立空间直角坐标系，需取的中点，连接，即可得到，设，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解即可.
（1）取的中点，连接、，
因为，
所以，，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意；
设，则，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，若，
由，解得（负值舍去），
又，
解得或（舍去），
解得，
所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为.
18．【答案】（1）解：设点，由，得，
由点到轴的距离为，得，又，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，
设，由轴，且点在抛物线上，得，
直线方程为，由，得点，
当时，直线的斜率，其方程为，
整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，
所以直线过定点.
解：由①知，，
因此，，
所以的面积.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知及抛物线定义，设点，建立方程求出值，即可得到抛物线的方程.
（2）①由（1）设出点的坐标，写出抛物线焦点坐标及准线方程，可求出点坐标，即可表示出直线的方程即可得证；
②由①得坐标，代入数量积公式，得，结合三角形面积公式求解.
（1）设点，由，得，
由点到轴的距离为，得，又，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，
设，由轴，且点在抛物线上，得，
直线方程为，由，得点，
当时，直线的斜率，其方程为，
整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，
所以直线过定点.
②由①知，，
因此，，
所以的面积.
19．【答案】（1）解：不可以为的极值点.理由如下：
函数的定义域为：.
.
若是的极值点，则，即，解得.
此时，，.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，无极值点.
故不可以为的极值点.
（2）证明： 函数的定义域为：.
.
当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意；
当时，令.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立.
所以恒成立.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，即.
则，
令，则由（1）得在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增.
（3）证明：有三个零点，所以.
不妨设.
由（2）知，且在上不单调.所以.
函数的定义域为：.
.
令，则，
令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以.
当时，；当时，.
令，则.
令，则.
所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即.
所以当时，；当时，；当时，.
所以在和上各存在一个零点，分别为且.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，则，
若，则；
若，则.
令，
则.
由知，.
所以.
令，则.
由，得，
令，则.
所以单调递增，即单调递增.所以.
所以单调递增，且，所以.
所以单调递增，所以，即.
所以，即，所以，即.
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先假设是的极值点，代入，可求得；将代回检验，得到在上单调递增，无极值点，所以不可以为的极值点；
（2）先求f'(x)，分类讨论a的范围，转化为在上单调递增，由此推得恒成立，即在上恒成立.从而证得在上单调；
（3）根据有三个零点由（2）知，且在上不单调.所以，得到有两个零点；通过构造函数证得其关系，从而证得.
（1）不可以为的极值点.理由如下：
函数的定义域为：.
.
若是的极值点，则，即，解得.
此时，，.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，无极值点.
故不可以为的极值点.
（2）函数的定义域为：.
.
当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意；
当时，令.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立.
所以恒成立.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，即.
则，
令，则由（1）得在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增.
（3）有三个零点，所以.
不妨设.
由（2）知，且在上不单调.所以.
函数的定义域为：.
.
令，则，
令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以.
当时，；当时，.
令，则.
令，则.
所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即.
所以当时，；当时，；当时，.
所以在和上各存在一个零点，分别为且.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，则，
若，则；
若，则.
令，
则.
由知，.
所以.
令，则.
由，得，
令，则.
所以单调递增，即单调递增.所以.
所以单调递增，且，所以.
所以单调递增，所以，即.
所以，即，所以，即.
所以.
1 / 1广东省深圳市红山中学等2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2025高三上·坪山期中）已知集合是不大于10的整数，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；交集及其运算
【解析】【解答】解：由，解得或，
所以，
又是不大于10的整数，所以.
故答案为：C
【分析】首先将集合元素求解，再根据交集的定义计算可得.
2．（2025高三上·坪山期中）复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数，
所以所求共轭复数为.
故选答案为：A
【分析】先利用复数的除法运算进行分母实数化，分子分母同乘以即1-2i，将结果求共轭复数.
3．（2025高三上·坪山期中）已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，则，
所以在上的投影向量为.
故答案为：B
【分析】根据给定条件，利用投影向量 公式 求解.
4．（2025高三上·坪山期中）已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的长短半轴长分别为，半焦距为，
则点为一等边三角形三个顶点，因此，
所以该椭圆的离心率.
故答案为：B
【分析】根据 长短半轴长分别为，半焦距为 ，利用椭圆离心率的定义直接求解.
5．（2025高三上·坪山期中）已知函数，满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，
当时，因为，均在上单调递增，
所以在上单调递增，又为连续函数，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：C
【分析】首先判断函数为奇函数，将不等式化为标准形式，，再根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
6．（2025高三上·坪山期中）已知函数，且在上有且只有一个零点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：函数，由，得，而，解得，
则，由，得，
由在上有且只有一个零点，得，解得，
而，因此，，所以.
故答案为：A
【分析】根据 ，解得；由在上有且只有一个零点，得，进而求出，可求目标值.
7．（2025高三上·坪山期中）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，则，所以，
所以曲线在点处的切线为，即，
因为与曲线只有一个公共点，
即有且仅有一个解，又，
所以有且仅有一个解，
令，即有且仅有一个零点，
则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，当时，
所以，即，解得。
故答案为：B
【分析】首先求出曲线的导数，再求切线斜率，可求出在点处的切线方程；可得有且仅有一个解，构造函数，即可得到有且仅有一个零点；利用导数判断g(x)的单调性，即可求出函数的最小值，从而得到方程，即可得.
8．（2025高三上·坪山期中）如图，正四面体容器的容积为，里面装了体积为的水，固定容器底面一边将容器倾斜，当水面所在平面恰好过点且与棱分别交于点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：依题意，平面，而平面平面，平面，
则，由，得，因此，
则，取中点，连接，连接，则为中点，
令正四面体的棱长为，则，，
而平面，则平面，
过点作直线，则，即平面平面，平面，
又平面，于是，是平面与平面的夹角，
在等腰中，，由，
得，
在中，，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
故答案为：D
【分析】由线面平行性质定理，可得；再结合锥体体积，得，求得；然后作出二面角的平面角，是平面与平面的夹角， 利用余弦定理求出夹角的余弦.
9．（2025高三上·坪山期中）某人收集了某城市居民年收入（即所有居民在一年内收入的总和）与商品销售额的10年数据，如表所示.下列结论中说法正确的是（ ）
第年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
A．居民年收入的第75百分位数是43.0亿元
B．商品销售额的平均数是40.1万元
C．居民年收入介于35到40亿元占比
D．A商品销售额与居民年收入成正线性相关
【答案】A,C,D
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；样本相关系数r及其数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、居民年收入从小到大排列为31.1，32.2，32.9，35.8，37.1，38，39，43，44.6，46，
又，所以居民年收入的第75百分位数是43.0亿元，该选项正确，符合题意；
B、商品销售额的平均数是（万元），该选项错误，不合题意；
C、居民年收入介于35到40亿元共有4年，所以居民年收入介于35到40亿元占比，该选项正确，符合题意；
D、画出成对样本数据的散点图，从散点图看，商品销售额与居民年收入的样本数据呈现出线性相关关系．
设第年居民的年收入为亿元，商品销售额为万元，
则，，，，，
所以，样本相关系数
．
由此可以推断，商品销售额与居民年收入正线性相关，即商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强，该选项正确，符合题意．
故选：ACD
【分析】根据百分位数计算规则i=nxp%判断A，代入平均数计算公式判断B，代入古典概型的概率公式判断C，画出散点图，求出相关系数即可判断D.
10．（2025高三上·坪山期中）如图，直二面角中，，动平面分别交平面和平面于直线 直线，则下列命题正确的是（ ）
A．平面内不存在与平面平行的直线
B．平面内存在无数条直线与平面垂直
C．当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直
D．直线，直线中至少有一条与直线垂直
【答案】B,C,D
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：A、在上取不与点重合的点，过点在平面内作直线，
则平面，而平面，因此平面，该选项错误，不合题意；
D、假设直线，直线都不垂直于直线，则在平面内过点作
于，在平面内过作，由，得，
由直二面角，得平面平面，而平面平面，
则平面，，而平面，
于是平面，，因此与假设矛盾，假设错误，
则直线，直线中至少有一条与直线垂直，该选项正确，符合题意；
B、由选项D知，不妨令，可得平面，又平面，
则平面平面，显然在平面内存在直线垂直于，
又平面平面，则这条直线垂直于平面，
因此平行于这条直线的所有直线都垂直于平面，该选项正确，符合题意；
C、由选项D知平面平面，若平面平面，
在平面内取点，过点作，则可得平面，
，同理，而平面，则平面，
于是，又平面平面，同理得，
因此当平面，平面，平面两两垂直时，它们的交线也两两垂直，该选项正确，符合题意.
故选：BCD
【分析】利用线面平行的判定判断A；先判断D选项，结合反证法，利用线面垂直的性质、面面垂直的性质，推理判断D；利用线面垂直的定义推理判断B；利用线面垂直的性质、面面垂直的性质推理判断C.
11．（2025高三上·坪山期中）已知函数有大于0的极值，为自然对数的底，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．有两个零点且其乘积大于
【答案】B,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导得，
A、当时，，函数在上单调递减，无极值，与已知矛盾，该选项错误，不合题意；
B、当时，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值
，因此，整理得，该选项正确，符合题意；
C、由选项B知，，，该选项正确，符合题意；
D、由选项B知，，当从大于0的方向趋近于0时，，
当时，，因此函数有两个零点，不妨令，
则，即，令，则，
即函数的图象与直线有两个交点，由，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在递减，
则，而，当时，恒成立，因此，，该选项正确，符合题意.
故答案为：BCD
【分析】对函数求定义域、求导数，分两类讨论：，由函数单调性和有大于0的极值推理判断ABC；根据零点的意义及零点存在性定理确定零点个数，构造新函数判断单调性，确定零点所在范围判断D.
12．（2025高三上·坪山期中）已知正项等比数列中，，则 .
【答案】16
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由正项等比数列的公比为，
则，即，则有，
所以.
故答案为：16
【分析】代入求和公式，列式求出数列公比q，代入等比数列通项公式求出目标值.
13．（2025高三上·坪山期中）计算的值为 .
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】利用降幂公式，及两角和的余弦公式计算可得.
14．（2025高三上·坪山期中）一个箱子中有大小质地完全相同的小球共5个，其中红球2个，蓝球3个.现依次不放回地从箱子中取球，直到取完所有红球为止.设取球次数为，则的数学期望 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：依题意的可能取值为、、、，
所以，，，
，
所以.
故答案为：
【分析】写出的可能取值为i=，，，，依次求出P(X=i)，代入数学期望公式可求.
15．（2025高三上·坪山期中）在中，角满足.
（1）求；
（2）若的角平分线交线段于点，求的面积.
【答案】（1）解：在中，由，得，
则，而，解得，
所以.
（2）解：由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得，
，，
在中，由正弦定理得，
所以的面积为.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）将移项两边同时平方，结合A的范围， 利用同角公式求解.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理可得，再利用三角形面积公式求解即可.
（1）在中，由，得，
则，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得，
，，
在中，由正弦定理得，
所以的面积为.
16．（2025高三上·坪山期中）已知等差数列的公差，前项和为，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，，又，
所以，解得，
所以；
（2）解：因为，即，所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可；
（2）首先表示出，从而得到，该项特征为等差乘等比，需要错位相减法求和即可.
（1）因为，，又，
所以，解得，
所以；
（2）因为，即，所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
17．（2025高三上·坪山期中）如图，在四棱锥中，，.
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明： 取的中点，连接、，
因为，
所以，，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意；
设，则，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，若，
由，解得（负值舍去），
又，
解得或（舍去），
解得，
所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明、利用勾股定理得，从而得到平面，由面面垂直判定定理即可得证；
（2）要建立空间直角坐标系，需取的中点，连接，即可得到，设，求点、直线的方向向量、平面的法向量坐标，利用面面角的向量法求解即可.
（1）取的中点，连接、，
因为，
所以，，
又，，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以，即，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）依题意四边形为等腰梯形，取的中点，连接，则且，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
当与点重合时，平面与平面重合，显然不符合题意；
设，则，
设平面的一个法向量为，
所以，取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，若，
由，解得（负值舍去），
又，
解得或（舍去），
解得，
所以存在点，在的中点时，平面与平面的夹角的正切值为.
18．（2025高三上·坪山期中）已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.
（1）求的方程；
（2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.
①求证：直线过定点；
②若，求的面积.
【答案】（1）解：设点，由，得，
由点到轴的距离为，得，又，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，
设，由轴，且点在抛物线上，得，
直线方程为，由，得点，
当时，直线的斜率，其方程为，
整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，
所以直线过定点.
解：由①知，，
因此，，
所以的面积.
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知及抛物线定义，设点，建立方程求出值，即可得到抛物线的方程.
（2）①由（1）设出点的坐标，写出抛物线焦点坐标及准线方程，可求出点坐标，即可表示出直线的方程即可得证；
②由①得坐标，代入数量积公式，得，结合三角形面积公式求解.
（1）设点，由，得，
由点到轴的距离为，得，又，则，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）①由（1）得抛物线：的焦点，准线方程为，
设，由轴，且点在抛物线上，得，
直线方程为，由，得点，
当时，直线的斜率，其方程为，
整理得，因此直线过定点，当时，直线过点，
所以直线过定点.
②由①知，，
因此，，
所以的面积.
19．（2025高三上·坪山期中）已知函数.
（1）是否可以为的极值点？请说明理由；
（2）证明：若在上单调，则在上单调；
（3）若有三个零点，证明：.
【答案】（1）解：不可以为的极值点.理由如下：
函数的定义域为：.
.
若是的极值点，则，即，解得.
此时，，.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，无极值点.
故不可以为的极值点.
（2）证明： 函数的定义域为：.
.
当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意；
当时，令.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立.
所以恒成立.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，即.
则，
令，则由（1）得在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增.
（3）证明：有三个零点，所以.
不妨设.
由（2）知，且在上不单调.所以.
函数的定义域为：.
.
令，则，
令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以.
当时，；当时，.
令，则.
令，则.
所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即.
所以当时，；当时，；当时，.
所以在和上各存在一个零点，分别为且.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，则，
若，则；
若，则.
令，
则.
由知，.
所以.
令，则.
由，得，
令，则.
所以单调递增，即单调递增.所以.
所以单调递增，且，所以.
所以单调递增，所以，即.
所以，即，所以，即.
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先假设是的极值点，代入，可求得；将代回检验，得到在上单调递增，无极值点，所以不可以为的极值点；
（2）先求f'(x)，分类讨论a的范围，转化为在上单调递增，由此推得恒成立，即在上恒成立.从而证得在上单调；
（3）根据有三个零点由（2）知，且在上不单调.所以，得到有两个零点；通过构造函数证得其关系，从而证得.
（1）不可以为的极值点.理由如下：
函数的定义域为：.
.
若是的极值点，则，即，解得.
此时，，.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，无极值点.
故不可以为的极值点.
（2）函数的定义域为：.
.
当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意；
当时，令.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立.
所以恒成立.
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，即.
则，
令，则由（1）得在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立.
所以在上单调递增.
（3）有三个零点，所以.
不妨设.
由（2）知，且在上不单调.所以.
函数的定义域为：.
.
令，则，
令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为.
所以.
当时，；当时，.
令，则.
令，则.
所以在和上各存在一个零点，分别记为，则，即.
所以当时，；当时，；当时，.
所以在和上各存在一个零点，分别为且.
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，则，
若，则；
若，则.
令，
则.
由知，.
所以.
令，则.
由，得，
令，则.
所以单调递增，即单调递增.所以.
所以单调递增，且，所以.
所以单调递增，所以，即.
所以，即，所以，即.
所以.
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