广东省深圳市高级中学高中园2026届高三上学期第一阶段测试数学试题
1．（2025高三上·深圳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·深圳月考）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·深圳月考）若为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·深圳月考）已知是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高三上·深圳月考）已知且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·深圳月考）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·深圳月考）已知定义在R上的函数满足则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2025高三上·深圳月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高三上·深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．
B．终边落在直线上的角的集合是
C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
D．函数的定义域为
10．（2025高三上·深圳月考）设，函数则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为偶函数
B．若，则的最小值为
C．若为增函数，则的取值范围为
D．若曲线关于直线对称，则
11．（2025高三上·深圳月考）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025高三上·深圳月考）不等式 的解集是 ．
13．（2025高三上·深圳月考）若，，则 .
14．（2025高三上·深圳月考）已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为 .
15．（2025高三上·深圳月考）已知函数
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间.
16．（2025高三上·深圳月考）已知函数的图象过原点.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
17．（2025高三上·深圳月考）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V.
（1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）；
（2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围；
（3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值.
18．（2025高三上·深圳月考）设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
19．（2025高三上·深圳月考）已知函数
（1）求在区间的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调区间与极值；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
则.
故答案为：B．
【分析】根据并集定义计算求解.
2．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，且单调递减，故A不符合；
B、函数是定义在 上的偶函数，故B不符合；
C、函数的定义域为，为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，故C不符合；
D、函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由，有为第二象限角，则，
故.
故答案为：B.
【分析】
利用诱导公式、同角三角函数基本关系与二倍角公式计算即可得解.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：是的内角 ，则，
在中，取，，
则“”推不出“”，即充分性不成立；
在中，，则“”推出“”，即必要性成立，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由是的内角 ，可得， 再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：，且，
A、，故A正确；
B、由，可得，则，故B正确；
C、，，
当且仅当时等号成立，，则等号不成立，即，故C正确；
D、当、时，满足，，但，故D错误.
故选答案为：D.
【分析】根据对数性质运算求解即可判断A；根据对数的单调性，结合对数性质运算求解即可判断B；根据对数的运算，结合基本不等式求解即可判断C；取特殊值求解即可判断D.
6．【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
令，解得或，则函数存在两个零点，故B，C错误；
求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
故A正确，D错误.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再令，求得零点即可判断BC；求导，利用导数判断函数的单调性即可判断AD.
7．【答案】C
【知识点】函数的周期性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
当时，，即当时，函数的以3为周期的周期函数，
则，即，
当时，，则
则．
故答案为：C.
【分析】由函数解析式可知当时，函数的周期为3，可得，再由时的解析式求值即可.
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
由题意可知：有两个实数根，
当时，，令，可得；
当时，，令，可得．
在同一坐标系下，作出函数，和的图象，如图所示：
函数定义域为，求导可得，当时，，，
则函数在处的切线方程为；
函数定义域为，求导可得，当时，，，
则函数在的切线方程为；
即函数与只有一个公共点，
由图象得：当时，恰有3个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，恰有3个零点，
要使得恰有2个零点，则满足，
则实数的取值范围为．
故答案为：C.
【分析】由题意可得有两个实数根，分解方程可得和，在同一坐标系下，作出函数，和的图象，再分别对、求导，利用导数的几何意义求切线方程，可得 函数与只有一个公共点， 结合函数图象讨论求解即可.
9．【答案】C,D
【知识点】正切函数的图象与性质；终边相同的角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A、因为，所以，，则，故A错误；
B、终边落在直线上的角为，则与角或的终边相同，
即或，整理得，故B错误；
C、设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，由题意可得：，，
即，解得，则，故C正确；
D、函数，由，解得，
则函数的定义域为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】易知 ，根据角的范围所在的象限得到和的正负，从而得到的正负即可判断A；利用终边相同的角的定义求解即可判断B；设扇形的圆心角为 ，半径为，面积为弧长为，利用公式和求解即可判断C；根据正切函数的定义求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、若，函数定义域为，满足，则为偶函数，故A正确；
B、若，求导可得，令，易得，
则在上单调递增，当时，；时，，
则函数在上存在唯一的零点，即，即，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，故B正确；
C、若为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，
则，故C错误；
D、若曲线关于直线对称，则，则，得，
当时，则，
故关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】将代入，利用偶函数的定义求证即可判断A；求导，利用导函数判断函数的单调性即可判断B；由题意可得：在上恒成立，分离参数求解即可判断C；根据求出，再根据检验即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，函数为减函数，在上为增函数，
则，故A正确；
B、因为，则在上为增函数，又故，
因，则，故得，即B正确；
C、取，满足，但，故C错误；
D、由C，当时，可得，
因，则，可得，同理可得，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得：函数为减函数，在上为增函数，比较幂的大小即可判断A；根据函数在上为增函数，可得，化简即可判断B；取特殊值求解即可判断C；利用C项分析时所构造函数的极值推得，即，同理得即可判断D.
12．【答案】{x ﹣2＜x＜1}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：方程化为（x﹣1）（x+2）＜0，
即 或 ，解得：﹣2＜x＜1，
则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}
【分析】由方程化为x﹣1与x+2的乘积为负数，得到x﹣1与x+2异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
13．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，，
可得，
则
故答案为：.
【分析】由题意，利用两角差的正切公式求出，再根据正弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知：当时，与同号，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，所以在和的单调性相同，
又因为，
由，可得，而，
要使方程有解，则，
令，则，
则正实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得：当时，可得与同号，利用导数判断函数的单调性，再根据为奇函数，得到在和的单调性相同，将方程有解，转化为，令，得到，结合二次函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，极小值为；
（2）解：函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以，
令，解得或，
则的单调递增区间为，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，并求导，利用导数判断函数的单调性并求极值即可；
（2）求定义域，再求导，令导数等于零，求得零点或，因为，所以，再令求函数单调递增区间即可.
（1）当时，，定义域为R，，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为；
（2），
令得或，
因为，所以，
令得或，
所以的单调递增区间为，.
16．【答案】（1）解：因为函数的图象过原点，
所以，解得，
，
则的最小正周期为；
（2）解：由（1）可得：函数，
令（），解得（），
则的单调递增区间为（），
因为在区间上单调递增，且，此时，所以，故的最大值为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象过原点求得，再利用正弦、余弦的二倍角公式以及逆用两角和正弦公式化简求得函数，最后利用周期公式求解周期即可；
（2）由（1）可得：函数，利用整体法求函数的单调递增区间，再根据子集关系建立不等式求解即可.
（1）由得.所以
.
所以的最小正周期为.
（2）由（），得（）.
所以的单调递增区间为（）.
因为在区间上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为.
17．【答案】（1）解：设无盖长方体铁皮盒的表面积为，由题意可得： ；
（2）解：因为材料利用率为，所以，即；
因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，；
（3）解：铁皮盒体积，其中，
求导可得：，令，解得，列表如下：
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
则函数在区间上为增函数，在上为减函数，
当时，取最大值，且最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）设无盖长方体铁皮盒的表面积为，利用长方体表面积公式表示即可；
（2）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义求x的取值范围即可；
（3）用表示铁皮盒的体积，求导，利用导数判断函数的单调性，求出的最大值及其对应的的值即可.
（1）设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则
（2）因为材料利用率为，所以，即；
因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，.
（3）铁皮盒体积，
其中，，令，得，列表如下：
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数，
则当时，取最大值，且最大值为
18．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：函数的定义域为，
求导可得，
因为，所以当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
故函数在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，求函数的定义域，并求导，利用导数判断函数的单调性，即可得函数的单调区间；
（2）求函数的定义域，再求导可得，利用导数判断函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，求实数的取值范围即可.
（1）解：当时，函数，其定义域为，
则，
令，解得，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：由函数，可得的定义域为，
则，
因为，
则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解：函数，求导可得，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
，
因为，所以，
则在区间的最大值和最小值分别是；
（2）解：函数定义域为，求导可得，
当时，，函数在上单调递增，没有极值；
当时，当时，在上单调递增，
当时，上在单调递减，函数有极大值，无极小值，
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值；
（3）解：问题转化为在上的最小值与在上的最小值的差大于，
当时，即，由（2）可知：在上的最小值为，
由（1）可知在上的最小值为，；
当时，即，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，
因为，所以当时，，
此时有；
当时，，
则有，
综上所述：实数m的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值即可；
（2）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可；
（3）根据任意性和存在性的定义，问题转化为在上的最小值与在上的最小值的差大于，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可.
（1）由，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
所以，
因为，所以，
在区间的最大值和最小值分别是；
（2）由，函数的定义域为全体正实数集，
当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值；
当时，当时，在上单调递增，
当时，上在单调递减，
该函数有极大值，无极小值，
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值；
（3）问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于
在上的最小值与在上的最小值的差大于，
当时，则有，由（2）可知在上的最小值为，
由（1）可知在上的最小值为，
所以有；
当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为，
所以当时，，
此时有；
当时，，
则有，
综上所述：实数m的取值范围为.
1 / 1广东省深圳市高级中学高中园2026届高三上学期第一阶段测试数学试题
1．（2025高三上·深圳月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
则.
故答案为：B．
【分析】根据并集定义计算求解.
2．（2025高三上·深圳月考）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数是定义在上的奇函数，且单调递减，故A不符合；
B、函数是定义在 上的偶函数，故B不符合；
C、函数的定义域为，为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，故C不符合；
D、函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
3．（2025高三上·深圳月考）若为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由，有为第二象限角，则，
故.
故答案为：B.
【分析】
利用诱导公式、同角三角函数基本关系与二倍角公式计算即可得解.
4．（2025高三上·深圳月考）已知是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：是的内角 ，则，
在中，取，，
则“”推不出“”，即充分性不成立；
在中，，则“”推出“”，即必要性成立，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由是的内角 ，可得， 再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
5．（2025高三上·深圳月考）已知且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小；基本不等式
【解析】【解答】解：，且，
A、，故A正确；
B、由，可得，则，故B正确；
C、，，
当且仅当时等号成立，，则等号不成立，即，故C正确；
D、当、时，满足，，但，故D错误.
故选答案为：D.
【分析】根据对数性质运算求解即可判断A；根据对数的单调性，结合对数性质运算求解即可判断B；根据对数的运算，结合基本不等式求解即可判断C；取特殊值求解即可判断D.
6．（2025高三上·深圳月考）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
令，解得或，则函数存在两个零点，故B，C错误；
求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
故A正确，D错误.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再令，求得零点即可判断BC；求导，利用导数判断函数的单调性即可判断AD.
7．（2025高三上·深圳月考）已知定义在R上的函数满足则等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数的周期性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
当时，，即当时，函数的以3为周期的周期函数，
则，即，
当时，，则
则．
故答案为：C.
【分析】由函数解析式可知当时，函数的周期为3，可得，再由时的解析式求值即可.
8．（2025高三上·深圳月考）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
由题意可知：有两个实数根，
当时，，令，可得；
当时，，令，可得．
在同一坐标系下，作出函数，和的图象，如图所示：
函数定义域为，求导可得，当时，，，
则函数在处的切线方程为；
函数定义域为，求导可得，当时，，，
则函数在的切线方程为；
即函数与只有一个公共点，
由图象得：当时，恰有3个零点；
当时，恰有2个零点；
当时，恰有3个零点，
要使得恰有2个零点，则满足，
则实数的取值范围为．
故答案为：C.
【分析】由题意可得有两个实数根，分解方程可得和，在同一坐标系下，作出函数，和的图象，再分别对、求导，利用导数的几何意义求切线方程，可得 函数与只有一个公共点， 结合函数图象讨论求解即可.
9．（2025高三上·深圳月考）下列说法正确的是（ ）
A．
B．终边落在直线上的角的集合是
C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
D．函数的定义域为
【答案】C,D
【知识点】正切函数的图象与性质；终边相同的角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A、因为，所以，，则，故A错误；
B、终边落在直线上的角为，则与角或的终边相同，
即或，整理得，故B错误；
C、设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，由题意可得：，，
即，解得，则，故C正确；
D、函数，由，解得，
则函数的定义域为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】易知 ，根据角的范围所在的象限得到和的正负，从而得到的正负即可判断A；利用终边相同的角的定义求解即可判断B；设扇形的圆心角为 ，半径为，面积为弧长为，利用公式和求解即可判断C；根据正切函数的定义求解即可判断D.
10．（2025高三上·深圳月考）设，函数则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为偶函数
B．若，则的最小值为
C．若为增函数，则的取值范围为
D．若曲线关于直线对称，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、若，函数定义域为，满足，则为偶函数，故A正确；
B、若，求导可得，令，易得，
则在上单调递增，当时，；时，，
则函数在上存在唯一的零点，即，即，
当时，；当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，故B正确；
C、若为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，
则，故C错误；
D、若曲线关于直线对称，则，则，得，
当时，则，
故关于直线对称，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】将代入，利用偶函数的定义求证即可判断A；求导，利用导函数判断函数的单调性即可判断B；由题意可得：在上恒成立，分离参数求解即可判断C；根据求出，再根据检验即可判断D.
11．（2025高三上·深圳月考）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，函数为减函数，在上为增函数，
则，故A正确；
B、因为，则在上为增函数，又故，
因，则，故得，即B正确；
C、取，满足，但，故C错误；
D、由C，当时，可得，
因，则，可得，同理可得，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得：函数为减函数，在上为增函数，比较幂的大小即可判断A；根据函数在上为增函数，可得，化简即可判断B；取特殊值求解即可判断C；利用C项分析时所构造函数的极值推得，即，同理得即可判断D.
12．（2025高三上·深圳月考）不等式 的解集是 ．
【答案】{x ﹣2＜x＜1}
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：方程化为（x﹣1）（x+2）＜0，
即 或 ，解得：﹣2＜x＜1，
则不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．
故答案为：{x|﹣2＜x＜1}
【分析】由方程化为x﹣1与x+2的乘积为负数，得到x﹣1与x+2异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
13．（2025高三上·深圳月考）若，，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，，
可得，
则
故答案为：.
【分析】由题意，利用两角差的正切公式求出，再根据正弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系求解即可.
14．（2025高三上·深圳月考）已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知：当时，与同号，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，所以在和的单调性相同，
又因为，
由，可得，而，
要使方程有解，则，
令，则，
则正实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得：当时，可得与同号，利用导数判断函数的单调性，再根据为奇函数，得到在和的单调性相同，将方程有解，转化为，令，得到，结合二次函数的性质求解即可.
15．（2025高三上·深圳月考）已知函数
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，极小值为；
（2）解：函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以，
令，解得或，
则的单调递增区间为，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，并求导，利用导数判断函数的单调性并求极值即可；
（2）求定义域，再求导，令导数等于零，求得零点或，因为，所以，再令求函数单调递增区间即可.
（1）当时，，定义域为R，，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，极小值为；
（2），
令得或，
因为，所以，
令得或，
所以的单调递增区间为，.
16．（2025高三上·深圳月考）已知函数的图象过原点.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值.
【答案】（1）解：因为函数的图象过原点，
所以，解得，
，
则的最小正周期为；
（2）解：由（1）可得：函数，
令（），解得（），
则的单调递增区间为（），
因为在区间上单调递增，且，此时，所以，故的最大值为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象过原点求得，再利用正弦、余弦的二倍角公式以及逆用两角和正弦公式化简求得函数，最后利用周期公式求解周期即可；
（2）由（1）可得：函数，利用整体法求函数的单调递增区间，再根据子集关系建立不等式求解即可.
（1）由得.所以
.
所以的最小正周期为.
（2）由（），得（）.
所以的单调递增区间为（）.
因为在区间上单调递增，且，此时，
所以，故的最大值为.
17．（2025高三上·深圳月考）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加，如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为x的正方形，高为y，体积为V.
（1）求无盖长方体铁皮盒的表面积（用x，y表示）；
（2）写出y关于x的函数关系式，并写出x的范围；
（3）要使得无盖长方体铁盒的容积最大、对应的x为多少？并求出V的最大值.
【答案】（1）解：设无盖长方体铁皮盒的表面积为，由题意可得： ；
（2）解：因为材料利用率为，所以，即；
因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，；
（3）解：铁皮盒体积，其中，
求导可得：，令，解得，列表如下：
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
则函数在区间上为增函数，在上为减函数，
当时，取最大值，且最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）设无盖长方体铁皮盒的表面积为，利用长方体表面积公式表示即可；
（2）根据长方形的面积等于无盖长方体的表面积可得出关于的函数关系式，结合实际意义求x的取值范围即可；
（3）用表示铁皮盒的体积，求导，利用导数判断函数的单调性，求出的最大值及其对应的的值即可.
（1）设无盖长方体铁皮盒的表面积为，则
（2）因为材料利用率为，所以，即；
因为长方形铁皮长为40，宽为30，故，综上，.
（3）铁皮盒体积，
其中，，令，得，列表如下：
+ 0
单调递增 极大值 单调递减
所以，函数在区间上为增函数，在上为减函数，
则当时，取最大值，且最大值为
18．（2025高三上·深圳月考）设函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：函数的定义域为，
求导可得，
因为，所以当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
故函数在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
故的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，求函数的定义域，并求导，利用导数判断函数的单调性，即可得函数的单调区间；
（2）求函数的定义域，再求导可得，利用导数判断函数单调性，得到函数的极小值（最小值），也是最小值，结合恒成立，得出不等式，求实数的取值范围即可.
（1）解：当时，函数，其定义域为，
则，
令，解得，
当时，，所以在区间上单调递减，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：由函数，可得的定义域为，
则，
因为，
则当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值，
要使得恒成立，则，解得，
所以的取值范围为.
19．（2025高三上·深圳月考）已知函数
（1）求在区间的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调区间与极值；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：函数，求导可得，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
，
因为，所以，
则在区间的最大值和最小值分别是；
（2）解：函数定义域为，求导可得，
当时，，函数在上单调递增，没有极值；
当时，当时，在上单调递增，
当时，上在单调递减，函数有极大值，无极小值，
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值；
（3）解：问题转化为在上的最小值与在上的最小值的差大于，
当时，即，由（2）可知：在上的最小值为，
由（1）可知在上的最小值为，；
当时，即，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，
因为，所以当时，，
此时有；
当时，，
则有，
综上所述：实数m的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值即可；
（2）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可；
（3）根据任意性和存在性的定义，问题转化为在上的最小值与在上的最小值的差大于，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可.
（1）由，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
所以，
因为，所以，
在区间的最大值和最小值分别是；
（2）由，函数的定义域为全体正实数集，
当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值；
当时，当时，在上单调递增，
当时，上在单调递减，
该函数有极大值，无极小值，
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值；
（3）问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于
在上的最小值与在上的最小值的差大于，
当时，则有，由（2）可知在上的最小值为，
由（1）可知在上的最小值为，
所以有；
当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为，
所以当时，，
此时有；
当时，，
则有，
综上所述：实数m的取值范围为.
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