广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高三上学期10月数学练习
1．（2025高三上·广州月考）设集合则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·广州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高三上·广州月考）已知复数z满足 ，则z的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C． D．i
4．（2025高三上·广州月考）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·广州月考）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
6．（2025高三上·广州月考）函数的对称中心不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·广州月考）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·广州月考）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高三上·广州月考）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．是的充要条件
D．若，，，则有两解
10．（2025高三上·广州月考）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是 B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2
11．（2025高三上·广州月考）设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为0
B．点是曲线的对称中心
C．直线与函数的图象相切
D．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为
12．（2025高三上·广州月考）二项式的展开式中，项的系数为 .
13．（2025高三上·广州月考）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
14．（2025高三上·广州月考）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
15．（2025高三上·广州月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若不等式在区间上有解，求的取值范围．
16．（2025高三上·广州月考）已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
17．（2025高三上·广州月考）在锐角中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
18．（2025高三上·广州月考）已知函数.
（1）求证：在上单调递增；
（2）若是奇函数.
（i）求的值；
（ii）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
19．（2025高三上·广州月考）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为
所以.所以.
故选答案为：C.
【分析】先解绝对值不等式可得，再求函数的值域可得，最后利用交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式的解集是，
由可推出，但推不出，
则“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B.
【分析】解对数不根式，根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】设 ，
因为 ，可得 ，
则 ，可得 ，所以复数 的虚部是-1.
故答案为：A
【分析】根据题意由共轭复数的定义整理化简再由复数的定义即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，令，解得，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】令求解即可得双曲线的渐近线方程.
5．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，且，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：，且，根据，结合空间向量的数量积公式计算即可.
6．【答案】D
【知识点】函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数，令，求得，
可得它图象的对称中心为，，
取，得对称中心为；
取，得对称中心为；
取，得对称中心为．
不可能是.
故答案为：D．
【分析】先令可得对称中心，再取整数值逐项验证即可求解．
7．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，因为，可得
设，则函数
则函数在上，前三个零点分别是，
所以，解得.
故答案为：C．
【分析】先利用可得，再可以正弦函数图象的性质和零点的定义即可求解.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则对任意恒成立，
设，则，且，
设，则，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
所以的最小值为，即的最小值为，
所以.
故答案为：D．
【分析】设，不等式可转化条件为对任意恒成立，设，则，求导可得，再利用导数和最值的关系即可求解.
9．【答案】C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A、若，由余弦定理得，则为锐角，
无法判断角是否为锐角，则无法判断是否为锐角三角形，故A错误；
B、若，由正弦定理得，
即，则或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
C、，由正弦定理得，即充分性成立，
，由正弦定理得，即必要性成立，
则是的充要条件，故C正确；
D、，由正弦定理，可得，
又因为，所以，且，所以或，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用余弦定理求得为锐角，无法判断角是否为锐角即可判断A；利用正弦定理即可判断B；利用正弦定理结合充分、必要条件的定义即可判断C；利用正弦定理求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，满足，
A、，解得，当且仅当，
即，时等号成立，故A错误；
B、，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、由基本不等式链，可得，当且仅当，时等号成立，故C正确；
D、，则，当且仅当，时等号成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】直接利用基本不等式求的最大值即可判断A；利用基本不等式，妙用“1”的代换求最值即可判断B；利用基本不等式链求解即可判断C；由结合的最大值可求出的最大值即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由，解得或，
所以，则，
当时，；当或时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，故A正确；
B、因为，故B正确；
C、设切点为，则，解得
所以直线与函数的图象相切于，故C正确；
D、由A选项知在上单调递增，在上单调递减，
又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值，如图所示：
的取值范围为，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】先利用不等式解集可得a=1，可得，求导可得，利用导数求极值的定义即可判断A；计算即可判断B；设出切点坐标，利用导数几何意义求解可判断C；求出极小值，然后解，结合图象即可判断D.
12．【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：
，
令，解得，则项的系数为.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，令求得，即可求项的系数.
13．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：已知如图所示：
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
【分析】先利用体积公式可得圆锥的高，再利用勾股定理可得母线长，最终利用侧面积公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：设，由可得，
由可知，或，，
由题中图可知，，
即，，
因为，
所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，
．
故答案为：．
【分析】设，依题可得，再结合的解可得，从而得到的值，再根据和，即可得，进而得出的值．
15．【答案】（1）解：，
所以，
令，解得，
所以函数单调减区间为；
（2）解：因为，所以，
故，即，
因此.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简可得，再利用周期公式即可求周期，最后利用整体代换求单调区间即可求解；
（2）先利用，可得，再利用正弦型函数的性质即可求解.
（1），
所以，
令，解得，
所以函数单调减区间为；
（2）因为，所以，
故，即，
因此.
16．【答案】（1）解： 正项数列的前项和为，且满足①，
当时，，，解得；
当时，，②，
①②两式相减整理可得，
因为数列为正项数列，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则；
（2）证明：由（1）可知：，，
，
则成立.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用数列的关系，结合等差数列的概念求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用裂项求和法求，证明即可.
（1）依题意可得，当时，，，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又为正项数列，
故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可知，所以，
，所以成立.
17．【答案】（1）解：，由余弦定理得，
由正弦定理得，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：由余弦定理可得，
因为点是线段的中点 ，所以，则，
由正弦定理，可得，，
则，
由题意得解得，则，，
，，
则线段长的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦、正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得，根据，求得，结合角的范围即可求得角的大小；
（2）由余弦定理得， 根据点是线段的中点 ，可得， 进而得出，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出，结合，正弦函数的性质求解即可．
（1）因为，由余弦定理得，
由正弦定理得，
又是锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，所以
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以，
由题意得解得，则，
所以，所以，
所以，所以线段长的取值范围为．
18．【答案】（1）证明：任取实数满足，则，
∵，∴，又，∴，
即，故在上单调递增；
（2）解：（i）是上的奇函数，∴，解得，当时，，，
满足，即是奇函数，故；
（ii）原不等式即，
∵是上的奇函数，则可得，
又是上的增函数，则，即，
因在上恒成立，
故问题转化为，恒成立，
设，
则，
故当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
故，则可得，
即的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义即可证明；
（2）（i）先利用奇函数性质可得，再验证符合题意即可再利用奇函数的定义验证即可求解；
（ii）利用函数的奇偶性和单调性可推得，利用可得在上恒成立，设，求导可得，再利用导数和单调性的关系即可求解．
（1）任取实数满足，
则，
∵，∴，又，∴，
即，故在上单调递增；
（2）（i）是上的奇函数，∴，解得，
当时，，，
满足，即是奇函数，故；
（ii）原不等式即，
∵是上的奇函数，则可得，
又是上的增函数，则，即，
因在上恒成立，
故问题转化为，恒成立，
设，
则，
故当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
故，则可得，
即的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当时，，
所以，
令得：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2）解：，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）解：在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，
所以在存在唯一实数，
使得，即，
所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】首先通过导数分析了函数的单调性和极值，进而通过讨论导数的正负性来确定函数的单调区间。最后，在特定参数和区间下，我们通过不等式的解法来确定满足条件的整数的最大值。
（1）当时，，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，所以在存在唯一实数，
使得，即，所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．
1 / 1广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高三上学期10月数学练习
1．（2025高三上·广州月考）设集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为
所以.所以.
故选答案为：C.
【分析】先解绝对值不等式可得，再求函数的值域可得，最后利用交集的定义即可求解.
2．（2025高三上·广州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式的解集是，
由可推出，但推不出，
则“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B.
【分析】解对数不根式，根据集合的包含关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2025高三上·广州月考）已知复数z满足 ，则z的虚部是（ ）
A．-1 B．1 C． D．i
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】设 ，
因为 ，可得 ，
则 ，可得 ，所以复数 的虚部是-1.
故答案为：A
【分析】根据题意由共轭复数的定义整理化简再由复数的定义即可得出答案。
4．（2025高三上·广州月考）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，令，解得，
则双曲线的渐近线方程为.
故答案为：A.
【分析】令求解即可得双曲线的渐近线方程.
5．（2025高三上·广州月考）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，且，
则
.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：，且，根据，结合空间向量的数量积公式计算即可.
6．（2025高三上·广州月考）函数的对称中心不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：对于函数，令，求得，
可得它图象的对称中心为，，
取，得对称中心为；
取，得对称中心为；
取，得对称中心为．
不可能是.
故答案为：D．
【分析】先令可得对称中心，再取整数值逐项验证即可求解．
7．（2025高三上·广州月考）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，因为，可得
设，则函数
则函数在上，前三个零点分别是，
所以，解得.
故答案为：C．
【分析】先利用可得，再可以正弦函数图象的性质和零点的定义即可求解.
8．（2025高三上·广州月考）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则对任意恒成立，
设，则，且，
设，则，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
所以的最小值为，即的最小值为，
所以.
故答案为：D．
【分析】设，不等式可转化条件为对任意恒成立，设，则，求导可得，再利用导数和最值的关系即可求解.
9．（2025高三上·广州月考）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．是的充要条件
D．若，，，则有两解
【答案】C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A、若，由余弦定理得，则为锐角，
无法判断角是否为锐角，则无法判断是否为锐角三角形，故A错误；
B、若，由正弦定理得，
即，则或，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
C、，由正弦定理得，即充分性成立，
，由正弦定理得，即必要性成立，
则是的充要条件，故C正确；
D、，由正弦定理，可得，
又因为，所以，且，所以或，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用余弦定理求得为锐角，无法判断角是否为锐角即可判断A；利用正弦定理即可判断B；利用正弦定理结合充分、必要条件的定义即可判断C；利用正弦定理求解即可判断D.
10．（2025高三上·广州月考）设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是 B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2
【答案】B,C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，满足，
A、，解得，当且仅当，
即，时等号成立，故A错误；
B、，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C、由基本不等式链，可得，当且仅当，时等号成立，故C正确；
D、，则，当且仅当，时等号成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】直接利用基本不等式求的最大值即可判断A；利用基本不等式，妙用“1”的代换求最值即可判断B；利用基本不等式链求解即可判断C；由结合的最大值可求出的最大值即可判断D.
11．（2025高三上·广州月考）设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为0
B．点是曲线的对称中心
C．直线与函数的图象相切
D．若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为
【答案】A,B,C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、由，解得或，
所以，则，
当时，；当或时，；
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，故A正确；
B、因为，故B正确；
C、设切点为，则，解得
所以直线与函数的图象相切于，故C正确；
D、由A选项知在上单调递增，在上单调递减，
又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值，如图所示：
的取值范围为，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】先利用不等式解集可得a=1，可得，求导可得，利用导数求极值的定义即可判断A；计算即可判断B；设出切点坐标，利用导数几何意义求解可判断C；求出极小值，然后解，结合图象即可判断D.
12．（2025高三上·广州月考）二项式的展开式中，项的系数为 .
【答案】80
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：
，
令，解得，则项的系数为.
故答案为：80.
【分析】写出展开式的通项，令求得，即可求项的系数.
13．（2025高三上·广州月考）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：已知如图所示：
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
【分析】先利用体积公式可得圆锥的高，再利用勾股定理可得母线长，最终利用侧面积公式即可求解.
14．（2025高三上·广州月考）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：设，由可得，
由可知，或，，
由题中图可知，，
即，，
因为，
所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，
．
故答案为：．
【分析】设，依题可得，再结合的解可得，从而得到的值，再根据和，即可得，进而得出的值．
15．（2025高三上·广州月考）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若不等式在区间上有解，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
所以，
令，解得，
所以函数单调减区间为；
（2）解：因为，所以，
故，即，
因此.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简可得，再利用周期公式即可求周期，最后利用整体代换求单调区间即可求解；
（2）先利用，可得，再利用正弦型函数的性质即可求解.
（1），
所以，
令，解得，
所以函数单调减区间为；
（2）因为，所以，
故，即，
因此.
16．（2025高三上·广州月考）已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）解： 正项数列的前项和为，且满足①，
当时，，，解得；
当时，，②，
①②两式相减整理可得，
因为数列为正项数列，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则；
（2）证明：由（1）可知：，，
，
则成立.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用数列的关系，结合等差数列的概念求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用裂项求和法求，证明即可.
（1）依题意可得，当时，，，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又为正项数列，
故可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
（2）证明：由（1）可知，所以，
，所以成立.
17．（2025高三上·广州月考）在锐角中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
【答案】（1）解：，由余弦定理得，
由正弦定理得，
因为是锐角三角形，所以，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：由余弦定理可得，
因为点是线段的中点 ，所以，则，
由正弦定理，可得，，
则，
由题意得解得，则，，
，，
则线段长的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦、正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得，根据，求得，结合角的范围即可求得角的大小；
（2）由余弦定理得， 根据点是线段的中点 ，可得， 进而得出，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出，结合，正弦函数的性质求解即可．
（1）因为，由余弦定理得，
由正弦定理得，
又是锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，所以
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以，
由题意得解得，则，
所以，所以，
所以，所以线段长的取值范围为．
18．（2025高三上·广州月考）已知函数.
（1）求证：在上单调递增；
（2）若是奇函数.
（i）求的值；
（ii）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明：任取实数满足，则，
∵，∴，又，∴，
即，故在上单调递增；
（2）解：（i）是上的奇函数，∴，解得，当时，，，
满足，即是奇函数，故；
（ii）原不等式即，
∵是上的奇函数，则可得，
又是上的增函数，则，即，
因在上恒成立，
故问题转化为，恒成立，
设，
则，
故当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
故，则可得，
即的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义即可证明；
（2）（i）先利用奇函数性质可得，再验证符合题意即可再利用奇函数的定义验证即可求解；
（ii）利用函数的奇偶性和单调性可推得，利用可得在上恒成立，设，求导可得，再利用导数和单调性的关系即可求解．
（1）任取实数满足，
则，
∵，∴，又，∴，
即，故在上单调递增；
（2）（i）是上的奇函数，∴，解得，
当时，，，
满足，即是奇函数，故；
（ii）原不等式即，
∵是上的奇函数，则可得，
又是上的增函数，则，即，
因在上恒成立，
故问题转化为，恒成立，
设，
则，
故当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减.
故，则可得，
即的取值范围为.
19．（2025高三上·广州月考）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）解：当时，，
所以，
令得：，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2）解：，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）解：在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，
所以在存在唯一实数，
使得，即，
所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】首先通过导数分析了函数的单调性和极值，进而通过讨论导数的正负性来确定函数的单调区间。最后，在特定参数和区间下，我们通过不等式的解法来确定满足条件的整数的最大值。
（1）当时，，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，所以在存在唯一实数，
使得，即，所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．
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