广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试卷
1．（2025高三上·深圳月考）集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高三上·深圳月考）若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·深圳月考）在中，是边上一点，且，是的中点，记，则( )
A． B． C． D．
4．（2025高三上·深圳月考）已知函数，则“”是“的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高三上·深圳月考）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·深圳月考）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．9
7．（2025高三上·深圳月考）若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
8．（2025高三上·深圳月考）若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·深圳月考）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若的值为3，则
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
10．（2025高三上·深圳月考）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．函数在区间的值域是[]
11．（2025高三上·深圳月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4不同的根
12．（2025高三上·深圳月考）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .
13．（2025高三上·深圳月考）已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为，则该圆台外接球的体积为 ．
14．（2025高三上·深圳月考）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 .
15．（2025高三上·深圳月考）已知函数是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称．
（1）求m的值；
（2）若使得不等式恒成立，求实数k的取值范围．
16．（2025高三上·深圳月考）设函数．
（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围．
17．（2025高三上·深圳月考）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面
（1）证明：；
（2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2025高三上·深圳月考）已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
19．（2025高三上·深圳月考）函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂．
（1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由；
（2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知，
又因为，
可得.
故答案为：B.
【分析】根据集合概念和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则的虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的除法运算求得，再根据复数的概念求复数的虚部.
3．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
故答案为：D．
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若，当时，；当时，，
即由不一定能得到，
所以“”不是“图象关于点对称”的必要条件；
若函数的图象关于对称，则，
因为时，令，则满足，
所以“”是“图象关于点对称”的充分条件，
综上可知，“”是“图象关于点对称”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，先求函数的图象关于对称的等价条件，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
由弧长为 ，可得，解得，因为，所以，
所以，
则圆锥的体积为：.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，根据侧面展开图扇形的弧长求出圆锥的母线及圆锥底面半径，再求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得，
则
故答案为：B
【分析】用两角和的正切公式求出，再对所求式子进行三角恒等变形，最终转化为关于和的表达式来求解.用三角恒等变换公式对式子进行化简.
8．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： 因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题需要分别分析分段函数两段的单调性，找到函数在不同区间的最大值情况，再结合最大值为的条件，确定的取值范围.
9．【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A：若，则，
所以的值为，故A正确；
对于B：由，可得，
因为，
所以，
则，故B正确；
对于C：当时，，
因为，所以，
所以与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，
则，
所以，
则，
解得，
当时，，，，，
，，
所以；
当时，，，，，
所以，，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合向量平行的坐标表示，从而列方程求出的值，则判断出选项A；先求出向量的坐标表示，再结合向量的模的坐标表示求出的值，则判断出选项B；结合向量共线定理，举反例判断出选项C；利用已知条件和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出实数的值，再利用分类讨论的方法得出，，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图可知：，的最小正周期，
当时，，，，所以故；
对A，，正确；
对B，，错误；
对C，将向右平移，得
到，正确；
对D，时，，则，
因此，在区间的值域是[]，错误；
故答案为： AC.
【分析】解决三角函数图象问题的步骤：先通过图像确定振幅、周期，求出函数表达式；再逐一验证选项（对称性质代入特殊点、图像平移用 “左加右减”、值域用整体法分析相位范围）。
11．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，A符合题意.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，B符合题意
对于C：
所以，C不符合题意；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，D符合题意.
故答案为： ABD
【分析】是偶函数分析函数的对称性，A符合题意；结合函数为奇函数分析函数的周期性，B符合题意；结合函数的周期性分析C；作出函数的图象，D符合题意.
12．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，
因为函数在上是减函数，为减函数，
所以在上是增函数，
又因为的图象的对称轴为直线，所以，且在上恒成立，
则，解得，
故实数的取值范围是.
【分析】设，根据复合函数的单调性，将问题转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的高为，圆台外接球的半径为，
由题知，，
解得．易知圆台的外接球球心在圆台的上、下底面圆心所在的直线上，
若球心位于圆台内部，则，得；
若球心位于圆台外部，则，无解．
该圆台外接球的体积为．
故答案为：
【分析】先利用圆台的体积公式求出圆台的高，再利用球的截面圆性质求出圆台外接球的半径，最后利用球的体积公式即可求解．
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设曲线上的切点坐标为，
函数定义域为，求导可得，
则公切线的方程为，即；
设曲线上的切点坐标为，
函数定义域为，求导可得，
则公切线的方程为，即，
由题意可得：，消去可得．
若存在两条不同的直线与曲线均相切，
则关于的方程有两个不同的实数根，
设，则，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
由，解得，
当且时，，当时，且，
则的大致图象，如图所示：
由图可知，，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分别设切点，再求函数的定义域，分别求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，由题意可得，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合求解即可.
15．【答案】（1）解：由得定义域为R，由题意得是定义在R上的奇函数，
所以
检验：当时定义域为R，
又满足故是奇函数，所以
（2）解：因为是奇函数，
所以原不等式可化为
又是R上的增函数，所以
所以问题转化为任意成立，即成立，
而对勾函数在上单调递增，所以当时为最大值，
故
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）先利用奇函数的定义可得可得再验证求解即可求解；
（2）先利用奇函数和函数的单调性将函数值不等式转化为，使用分离参数法可得，再结合对勾函数的性质即可求解.
（1）由得定义域为R，由题意得是定义在R上的奇函数，
所以
检验：当时定义域为R，
又满足故是奇函数，所以
（2）因为是奇函数，
所以原不等式可化为
又是R上的增函数，所以
所以问题转化为任意成立，即成立，
而对勾函数在上单调递增，所以当时为最大值，
故
16．【答案】（1）解：因为，
即，因为，所以，
由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时.
（2）解：因为，由（1）得到，
即，又因为，所以得到，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，得到，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数化简可得，再利用函数的图像与性质即可求解；
（2）先利用（1）中条件可得，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式可得，最后三角形任何两边之和大于第三边即可求解.
（1）因为，
即，因为，所以，
由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时.
（2）因为，由（1）得到，
即，又因为，所以得到，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，得到，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为.
17．【答案】（1）证明：过点作于，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故，又因为为直径，所以，
且平面，所以平面，平面，
所以，且，平面，，
平面，平面，故；
（2）解：由（1）知，，
当时，取到最大值，过点作于，
以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
设平面与平面的法向量分别为，
则，令，，可得，
易知平面的法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点作于，利用面面、线面垂直的性质推得，再根据线面垂直的判定证明平面，最后利用线面垂直的判定和性质证明即可；
（2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于， 以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法求面面角的余弦值即可.
（1）过点作于，
由平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，故，又为直径，易知，
且平面，所以平面，平面，
，且，平面，，
平面，平面，故.
（2）由（1）知，，
当时，取到最大值，过点作于，
建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，
设平面与平面的法向量分别为.
则，，
所以，则，
令，可得，
所以，因为平面的法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值.
18．【答案】（1）解：当时，函数，定义域为，
求导可得，且，，
则在处的切线方程为，即；
（2）解：函数定义域为，
，
当，即时，，函数在上单调递减，
当，即时，在上，，在上，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，函数在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由题意可得：方程有两个不同实根，
设，
则，且，
当时，时，时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，
则存在，使得，
在上，，在上，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
设，则，
当时，单调递减，
因为，所以，又因为，
所以在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，在上，，在上，，
函数在上单调递增，在上单调递增，且，
则只有一个零点，不符合题意；
当时，，，
存在，使得，
在上，单调递减，在上，单调递增，且，
，
又因为当时，单调递增，
又因为，所以，在上存在一个零点
又因为，所以时，有两个零点，符合题意；
综上，方程有两个不同实根时，或.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义，结合直线的点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的定义域，再求导，对参数进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由题意得有两个不同实根，令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围.
（1）由题意的定义域为
当时，，
，，又，
在处的切线方程为，即
（2），
，
当，即时，，
在上单调递减，
当，即时，在上，，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）方程有两个不同实根，
等价于方程有两个不同实根，
设，
则且，
当时，时，时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，
存在使，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，
设，则，
当时，单调递减，
又，，又，
在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，
在上，在上，
在上单调递增，在上单调递增，
，
只有一个零点，不符合题意；
当时，，
，
存在使得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
又当时，单调递增，
又，，在上存在一个零点
又，时有两个零点，符合题意；
综上，方程有两个不同实根时，或.
19．【答案】（1）解：不是，理由如下：因为，则，
由于，即对任意的不恒成立，
所以函数不是上的“函数”.
（2）解：因为，所以，因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）解：因为，所以，因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，对任意的，上式恒成立，符号题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
若对任意的，当时，都有成立，
不妨设，则，于是有，
即，
令，，
则存在，使得在上为增函数，
于是存在，使得，
即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
而函数在上单调递增，所以，即，
另一方面，当，时，，，
可得知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数的定义结合正余弦函数的性质直接判断即可求解；
（2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解；
（3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，求导可得恒成立，再利用导数分析求解即可求解.
（1）不是，理由如下：
因为，则，
由于，即对任意的不恒成立，
所以函数不是上的“函数”.
（2）因为，所以，
因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）因为，所以，
因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，对任意的，上式恒成立，符号题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
若对任意的，当时，都有成立，
不妨设，则，于是有，
即，
令，，
则存在，使得在上为增函数，
于是存在，使得，
即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
而函数在上单调递增，所以，即，
另一方面，当，时，，，
可得知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.
1 / 1广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试卷
1．（2025高三上·深圳月考）集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知，
又因为，
可得.
故答案为：B.
【分析】根据集合概念和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高三上·深圳月考）若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，
则的虚部为.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的除法运算求得，再根据复数的概念求复数的虚部.
3．（2025高三上·深圳月考）在中，是边上一点，且，是的中点，记，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：已知如图所示：
故答案为：D．
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
4．（2025高三上·深圳月考）已知函数，则“”是“的图象关于点对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若，当时，；当时，，
即由不一定能得到，
所以“”不是“图象关于点对称”的必要条件；
若函数的图象关于对称，则，
因为时，令，则满足，
所以“”是“图象关于点对称”的充分条件，
综上可知，“”是“图象关于点对称”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，先求函数的图象关于对称的等价条件，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
5．（2025高三上·深圳月考）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
由弧长为 ，可得，解得，因为，所以，
所以，
则圆锥的体积为：.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，根据侧面展开图扇形的弧长求出圆锥的母线及圆锥底面半径，再求出圆锥的高，代入圆锥的体积公式求解即可.
6．（2025高三上·深圳月考）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：由题意，可得，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】根据题意可得的值，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
7．（2025高三上·深圳月考）若，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得，
则
故答案为：B
【分析】用两角和的正切公式求出，再对所求式子进行三角恒等变形，最终转化为关于和的表达式来求解.用三角恒等变换公式对式子进行化简.
8．（2025高三上·深圳月考）若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解： 因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】本题需要分别分析分段函数两段的单调性，找到函数在不同区间的最大值情况，再结合最大值为的条件，确定的取值范围.
9．（2025高三上·深圳月考）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为
B．若的值为3，则
C．若，则与的夹角为锐角
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A：若，则，
所以的值为，故A正确；
对于B：由，可得，
因为，
所以，
则，故B正确；
对于C：当时，，
因为，所以，
所以与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：若，
则，
所以，
则，
解得，
当时，，，，，
，，
所以；
当时，，，，，
所以，，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合向量平行的坐标表示，从而列方程求出的值，则判断出选项A；先求出向量的坐标表示，再结合向量的模的坐标表示求出的值，则判断出选项B；结合向量共线定理，举反例判断出选项C；利用已知条件和向量垂直数量积为0的等价关系，从而得出实数的值，再利用分类讨论的方法得出，，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高三上·深圳月考）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．函数在区间的值域是[]
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图可知：，的最小正周期，
当时，，，，所以故；
对A，，正确；
对B，，错误；
对C，将向右平移，得
到，正确；
对D，时，，则，
因此，在区间的值域是[]，错误；
故答案为： AC.
【分析】解决三角函数图象问题的步骤：先通过图像确定振幅、周期，求出函数表达式；再逐一验证选项（对称性质代入特殊点、图像平移用 “左加右减”、值域用整体法分析相位范围）。
11．（2025高三上·深圳月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是偶函数，当，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4不同的根
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】对于A：因为是偶函数，
所以，即
所以关于对称，A符合题意.
对于B：因为，
所以，
所以，即周期，B符合题意
对于C：
所以，C不符合题意；
对于D：因为，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，根据对称性，可作出上的图象，
又的周期，
作出图象与图象，如下图所示：
所以与有4个交点，D符合题意.
故答案为： ABD
【分析】是偶函数分析函数的对称性，A符合题意；结合函数为奇函数分析函数的周期性，B符合题意；结合函数的周期性分析C；作出函数的图象，D符合题意.
12．（2025高三上·深圳月考）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，
因为函数在上是减函数，为减函数，
所以在上是增函数，
又因为的图象的对称轴为直线，所以，且在上恒成立，
则，解得，
故实数的取值范围是.
【分析】设，根据复合函数的单调性，将问题转化为函数在上单调递增，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系列式求解即可.
13．（2025高三上·深圳月考）已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为，则该圆台外接球的体积为 ．
【答案】
【知识点】球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆台的高为，圆台外接球的半径为，
由题知，，
解得．易知圆台的外接球球心在圆台的上、下底面圆心所在的直线上，
若球心位于圆台内部，则，得；
若球心位于圆台外部，则，无解．
该圆台外接球的体积为．
故答案为：
【分析】先利用圆台的体积公式求出圆台的高，再利用球的截面圆性质求出圆台外接球的半径，最后利用球的体积公式即可求解．
14．（2025高三上·深圳月考）已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设曲线上的切点坐标为，
函数定义域为，求导可得，
则公切线的方程为，即；
设曲线上的切点坐标为，
函数定义域为，求导可得，
则公切线的方程为，即，
由题意可得：，消去可得．
若存在两条不同的直线与曲线均相切，
则关于的方程有两个不同的实数根，
设，则，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
由，解得，
当且时，，当时，且，
则的大致图象，如图所示：
由图可知，，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分别设切点，再求函数的定义域，分别求导，利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，由题意可得，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合求解即可.
15．（2025高三上·深圳月考）已知函数是定义在R上的增函数，图象关于原点中心对称．
（1）求m的值；
（2）若使得不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：由得定义域为R，由题意得是定义在R上的奇函数，
所以
检验：当时定义域为R，
又满足故是奇函数，所以
（2）解：因为是奇函数，
所以原不等式可化为
又是R上的增函数，所以
所以问题转化为任意成立，即成立，
而对勾函数在上单调递增，所以当时为最大值，
故
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）先利用奇函数的定义可得可得再验证求解即可求解；
（2）先利用奇函数和函数的单调性将函数值不等式转化为，使用分离参数法可得，再结合对勾函数的性质即可求解.
（1）由得定义域为R，由题意得是定义在R上的奇函数，
所以
检验：当时定义域为R，
又满足故是奇函数，所以
（2）因为是奇函数，
所以原不等式可化为
又是R上的增函数，所以
所以问题转化为任意成立，即成立，
而对勾函数在上单调递增，所以当时为最大值，
故
16．（2025高三上·深圳月考）设函数．
（1）当时，求函数的最小值并求出对应的；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求周长的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
即，因为，所以，
由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时.
（2）解：因为，由（1）得到，
即，又因为，所以得到，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，得到，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数化简可得，再利用函数的图像与性质即可求解；
（2）先利用（1）中条件可得，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式可得，最后三角形任何两边之和大于第三边即可求解.
（1）因为，
即，因为，所以，
由的图像与性质知，当，即时，函数取到最小值为，
即当时，函数的最小值为，此时.
（2）因为，由（1）得到，
即，又因为，所以得到，即，
又，由余弦定理，得到，
又由基本不等式知，，当且仅当取等号，
所以，得到，
又因为，所以，
所以周长的取值范围为.
17．（2025高三上·深圳月考）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且，平面平面
（1）证明：；
（2）若线段上存在一点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：过点作于，如图所示：
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，故，又因为为直径，所以，
且平面，所以平面，平面，
所以，且，平面，，
平面，平面，故；
（2）解：由（1）知，，
当时，取到最大值，过点作于，
以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
设平面与平面的法向量分别为，
则，令，，可得，
易知平面的法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点作于，利用面面、线面垂直的性质推得，再根据线面垂直的判定证明平面，最后利用线面垂直的判定和性质证明即可；
（2）根据已知确定三棱锥的体积取得最大有，过点作于， 以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系， 利用空间向量法求面面角的余弦值即可.
（1）过点作于，
由平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，故，又为直径，易知，
且平面，所以平面，平面，
，且，平面，，
平面，平面，故.
（2）由（1）知，，
当时，取到最大值，过点作于，
建立以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的方向为轴，
设平面与平面的法向量分别为.
则，，
所以，则，
令，可得，
所以，因为平面的法向量为，
则平面与平面夹角的余弦值.
18．（2025高三上·深圳月考）已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数，定义域为，
求导可得，且，，
则在处的切线方程为，即；
（2）解：函数定义域为，
，
当，即时，，函数在上单调递减，
当，即时，在上，，在上，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，函数在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）解：由题意可得：方程有两个不同实根，
设，
则，且，
当时，时，时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，
则存在，使得，
在上，，在上，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
设，则，
当时，单调递减，
因为，所以，又因为，
所以在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，在上，，在上，，
函数在上单调递增，在上单调递增，且，
则只有一个零点，不符合题意；
当时，，，
存在，使得，
在上，单调递减，在上，单调递增，且，
，
又因为当时，单调递增，
又因为，所以，在上存在一个零点
又因为，所以时，有两个零点，符合题意；
综上，方程有两个不同实根时，或.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义，结合直线的点斜式求切线方程即可；
（2）求函数的定义域，再求导，对参数进行分类讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由题意得有两个不同实根，令，对进行分类讨论，确定函数的零点个数，从而求得的取值范围.
（1）由题意的定义域为
当时，，
，，又，
在处的切线方程为，即
（2），
，
当，即时，，
在上单调递减，
当，即时，在上，，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，在上单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）方程有两个不同实根，
等价于方程有两个不同实根，
设，
则且，
当时，时，时，，
此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意；
当时，在上单调递增，
当时，，
存在使，
在上，在上，
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，
设，则，
当时，单调递减，
又，，又，
在上和上各有一个零点，符合题意；
当时，，
在上，在上，
在上单调递增，在上单调递增，
，
只有一个零点，不符合题意；
当时，，
，
存在使得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
又当时，单调递增，
又，，在上存在一个零点
又，时有两个零点，符合题意；
综上，方程有两个不同实根时，或.
19．（2025高三上·深圳月考）函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂．
（1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由；
（2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．
【答案】（1）解：不是，理由如下：因为，则，
由于，即对任意的不恒成立，
所以函数不是上的“函数”.
（2）解：因为，所以，因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）解：因为，所以，因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，对任意的，上式恒成立，符号题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
若对任意的，当时，都有成立，
不妨设，则，于是有，
即，
令，，
则存在，使得在上为增函数，
于是存在，使得，
即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
而函数在上单调递增，所以，即，
另一方面，当，时，，，
可得知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数的定义结合正余弦函数的性质直接判断即可求解；
（2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解；
（3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，求导可得恒成立，再利用导数分析求解即可求解.
（1）不是，理由如下：
因为，则，
由于，即对任意的不恒成立，
所以函数不是上的“函数”.
（2）因为，所以，
因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数的取值范围为.
（3）因为，所以，
因为函数是上的“函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当时，对任意的，上式恒成立，符号题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
所以，即.
综上所述，.
若对任意的，当时，都有成立，
不妨设，则，于是有，
即，
令，，
则存在，使得在上为增函数，
于是存在，使得，
即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
而函数在上单调递增，所以，即，
另一方面，当，时，，，
可得知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.
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