上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷
1．（2025高三上·上海期中）全集，若集合，则 .
【答案】或
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
则或.
故答案为：或.
【分析】解绝对值不等式求得集合，再根据集合补集的定义求集合即可.
2．（2025高三上·上海期中）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式等价于，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】将分式不等式转化为二次不等式，根据二次不等式的解法求解即可.
3．（2025高三上·上海期中）若复数（是虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数，可得，
则.
故答案为：.
【分析】根据共轭复数的定先求复数z的共轭复数，再根据复数代数形式的乘除运算化简即可.
4．（2025高三上·上海期中）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，若，则，解得.
故答案为：.
【分析】根据平面向量共线的坐标表示列式求解即可.
5．（2025高三上·上海期中）已知，则 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：.
【分析】根据两角差的正切公式化简求值即可.
6．（2025高三上·上海期中）若的二项展开式中第项是常数项，则 .
【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的通项为
由题意可得：是常数项，即，解得.
故答案为：.
【分析】先写展开式的通项，根据展开式中第7项为常数项，列关于的等式求解即可.
7．（2025高三上·上海期中）记为数列的前项和，若，，则
【答案】243
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列，满足，
当时，，
当时，，则，即，，
因为，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
则，
当时，.
故答案为：243.
【分析】根据数列中与的关系，结合等比数列的定义求出数列的通项公式，再求出即可.
8．（2025高三上·上海期中）函数的最小值是 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，
由绝对值三角不等式可得：，
当且仅当，即时等号成立，
则函数的最小值是.
故答案为：.
【分析】由题意，利用绝对值三角不等式，求函数的最小值即可.
9．（2025高三上·上海期中）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是 .
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为，底面半径为，
由题意可得：，解得，
设圆锥母线与底面所成的角为，则，即.
故答案为：.
【分析】设圆锥母线长为，底面半径为，圆锥母线与底面所成的角为，由题意，根据圆锥侧面积和底面积的关系列式求得母线与圆锥底面半径之间得关系，再求母线与圆锥底面所成角的大小即可.
10．（2025高三上·上海期中）若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
设椭圆的标准方程为，设点，其中，
则，，，
由题意可得：，解得，
则，
故该椭圆的离心率为.
故答案为：.
【分析】设椭圆的标准方程为，设点，其中，表示，由点P在椭圆上，代入求得，结合已知条件得出的值，再根据离心率公式求解即可.
11．（2025高三上·上海期中）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是 .
【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题可知：当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，
作出圆锥和其内切球的轴截面，如图所示：
由圆锥的底面半径，圆锥的高，可得圆锥的母线长，
设圆锥的内切球半径，
由，可得，即，解得，
棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为，
令，解得，
则实数的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题可知：当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，先求圆锥的母线长，设圆锥的内切球半径，利用三角形相似求得圆锥内切球半径，可得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值.
12．（2025高三上·上海期中）已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 .
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
因为，所以，即，即，
则，
当且仅当与方向相反时，等号成立，
故的最大值为，
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用平面向量模长公式结合向量的数量积求得、的值，再由并结合向量模的三角不等式求的最大值即可.
13．（2025高三上·上海期中）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：充分性：因为，，所以，
必要性：设，，显然，所以成立，但此时不平行.
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【分析】由面面平行的性质，线面平行的判定以及充要条件的定义判断即可.
14．（2025高三上·上海期中）设，若幂函数的定义域为，且其图象关于轴对称，则的值可以是（ ）.
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，函数，定义域为，故A不合题意；
B、当时，函数是定义域为的偶函数，图象关于轴对称，故B符合题意；
C、当时，函数，定义域为，故C不合题意；
D、当时，函数是定义域为的奇函数，图象关于原点对称，故D不合题意.
故答案为：B.
【分析】逐项代入m的值，得函数的解析式，求函数的定义域，判断奇偶性可以确定的值.
15．（2025高三上·上海期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（ ）.
A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在
【答案】B
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得：事件，，，，，
由古典概型的概率公式可得，，，
则，，
即事件与相互独立，事件与不独立.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求事件，，，再利用独立事件的定义判断即可.
16．（2025高三上·上海期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：易知对任意的，，则函数的定义域为，
且，即函数为偶函数，
若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾，
故函数有且只有一个零点，该零点必为，即，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，故函数的值域为，
要使方程无解，则，即实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】易知函数的定义域为，根据奇偶性定义可得函数为偶函数，结合已知条件得出，求出的值，即可得函数的解析式，再利用基本不等式求函数的值域，可得实数的取值范围.
17．（2025高三上·上海期中）如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）.
（1）当点是棱的中点时，求证：直线平面；
（2）当时，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
，，，
因为，，所以，，
又因为，、平面，所以直线平面；
（2）解：设点，则，，
因为，所以，解得，则，
设平面的法向量为，则，
取，得，，可得，
因为，所以点到平面的距离为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，结合线面垂直的判定定理证明即可；
（2）设点，由，可得求得的值，再利用空间向量法求点到平面的距离即可.
（1）如图，以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
由，，得，，
又，、平面，
所以直线平面.
（2）设点，则，，
由，即，得，则，
设平面的法向量为，则，
取，得，，从而得到平面的一个法向量是，
因为，所以点到平面的距离为.
18．（2025高三上·上海期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】解：（I）由 结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故 .
（II）结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，
则 ， .
即 的取值范围是
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【分析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 的取值范围.
19．（2025高三上·上海期中） 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得；
平均数为岁；
设中位数为， 则，解得岁；
（2）解：第 1，2 组的人数分别为 20 人， 30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，
则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人， 3 人， 分别记为，，
设从 5 人中随机抽取3人，样本空间为
共 10 个基本事件，
其中第 2 组恰好抽到 2 人包含：，， 共 6 个基本事件，
则第 2 组中抽到 2 人的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得值，再根据频率分布直方图求平均数和中位数即可；
(2)根据分层抽样可知：第1，2组的人数分别抽取2人， 3人， 分别记为， 利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
（1）由频率分布直方图得：
解得.
平均数为岁.
设中位数为， 则岁.
（2）第 1，2 组的人数分别为 20 人， 30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，
则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人， 3 人， 分别记为，.
设从 5 人中随机抽取3人，为：
共 10 个基本事件，
其中第 2 组恰好抽到 2 人包含：，， 共 6 个基本事件，
从而第 2 组中抽到 2 人的概率.
20．（2025高三上·上海期中）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
【答案】（1）解：设椭圆的方程为，
由题意可得，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：如图：
①、设直线的方程为，点，，，
联立，消去整理可得，
易知
由韦达定理可得，，
由条件，，，直线的方程为，即直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上；
②、，
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，利用待定系数法求解即可；
（2）设直线的方程为，点，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本不等式求面积的最大值即可.
（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
（2）如图：
①设直线的方程为，并记点，，，
由消去，得，
易知
则，．
由条件，，，直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上．
②
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
21．（2025高三上·上海期中）已知函数，直线是函数在处的切线.
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）求证：直线不经过原点；
（3）当时，设点、、、为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得，
则当时，函数的单调递减区间为；
（2）证明：函数定义域为，，切线的斜率为，
则切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，得，
即，则，，
令，且，
假设过原点，则在时存在零点，
，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，所以，函数在上无零点，
与假设矛盾，故直线不过原点；
（3）解：当时，，，
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾，
由（2）知，所以，
则切线的方程为，
令，则，
因为，则，
则，记，
所以，满足条件的的个数集为函数的零点个数，
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，，，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，令求解即可得函数的单调递减区间；
（2）求函数的定义域，求导，利用点斜式写出切线方程，将原点代入切线方程再设新函数，利用导数研究其零点即可；
（3）当时，求导可得，，由（2）的切线方程，令，则，代入得到，再设新函数研究其零点即可.
（1）解：当时，定义域为，则，
由，可得，
所以，当时，函数的单调递减区间为.
（2）解：，切线的斜率为，
则切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，得，
即，则，，
令，且，
假设过原点，则在时存在零点.
，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，所以，函数在上无零点，
与假设矛盾，故直线不过原点.
（3）解：时，，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知，所以，
则切线的方程为，
令，则.
因为，则，
则，记，
所以，满足条件的的个数集为函数的零点个数.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，，，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
1 / 1上海市同济大学第二附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷
1．（2025高三上·上海期中）全集，若集合，则 .
2．（2025高三上·上海期中）不等式的解集是 .
3．（2025高三上·上海期中）若复数（是虚数单位），则 .
4．（2025高三上·上海期中）已知向量，，若，则 ．
5．（2025高三上·上海期中）已知，则 .
6．（2025高三上·上海期中）若的二项展开式中第项是常数项，则 .
7．（2025高三上·上海期中）记为数列的前项和，若，，则
8．（2025高三上·上海期中）函数的最小值是 .
9．（2025高三上·上海期中）若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是 .
10．（2025高三上·上海期中）若点、为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于、的点作的垂线，垂足为点，若，则该椭圆的离心率为 .
11．（2025高三上·上海期中）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为4，高为，则实数的最大值是 .
12．（2025高三上·上海期中）已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 .
13．（2025高三上·上海期中）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2025高三上·上海期中）设，若幂函数的定义域为，且其图象关于轴对称，则的值可以是（ ）.
A． B．1 C． D．2
15．（2025高三上·上海期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（ ）.
A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在
16．（2025高三上·上海期中）已知，且函数有且仅有一个零点.若方程无解，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
17．（2025高三上·上海期中）如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）.
（1）当点是棱的中点时，求证：直线平面；
（2）当时，求点到平面的距离.
18．（2025高三上·上海期中）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
19．（2025高三上·上海期中） 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出的值；求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
20．（2025高三上·上海期中）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
21．（2025高三上·上海期中）已知函数，直线是函数在处的切线.
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）求证：直线不经过原点；
（3）当时，设点、、、为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】或
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
则或.
故答案为：或.
【分析】解绝对值不等式求得集合，再根据集合补集的定义求集合即可.
2．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：不等式等价于，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】将分式不等式转化为二次不等式，根据二次不等式的解法求解即可.
3．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：由复数，可得，
则.
故答案为：.
【分析】根据共轭复数的定先求复数z的共轭复数，再根据复数代数形式的乘除运算化简即可.
4．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，若，则，解得.
故答案为：.
【分析】根据平面向量共线的坐标表示列式求解即可.
5．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：.
【分析】根据两角差的正切公式化简求值即可.
6．【答案】
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：展开式的通项为
由题意可得：是常数项，即，解得.
故答案为：.
【分析】先写展开式的通项，根据展开式中第7项为常数项，列关于的等式求解即可.
7．【答案】243
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列，满足，
当时，，
当时，，则，即，，
因为，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
则，
当时，.
故答案为：243.
【分析】根据数列中与的关系，结合等比数列的定义求出数列的通项公式，再求出即可.
8．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：函数，
由绝对值三角不等式可得：，
当且仅当，即时等号成立，
则函数的最小值是.
故答案为：.
【分析】由题意，利用绝对值三角不等式，求函数的最小值即可.
9．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设圆锥母线长为，底面半径为，
由题意可得：，解得，
设圆锥母线与底面所成的角为，则，即.
故答案为：.
【分析】设圆锥母线长为，底面半径为，圆锥母线与底面所成的角为，由题意，根据圆锥侧面积和底面积的关系列式求得母线与圆锥底面半径之间得关系，再求母线与圆锥底面所成角的大小即可.
10．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示：
设椭圆的标准方程为，设点，其中，
则，，，
由题意可得：，解得，
则，
故该椭圆的离心率为.
故答案为：.
【分析】设椭圆的标准方程为，设点，其中，表示，由点P在椭圆上，代入求得，结合已知条件得出的值，再根据离心率公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：由题可知：当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，
作出圆锥和其内切球的轴截面，如图所示：
由圆锥的底面半径，圆锥的高，可得圆锥的母线长，
设圆锥的内切球半径，
由，可得，即，解得，
棱长为的正方体的体对角线长为，则其外接球半径为，
令，解得，
则实数的最大值为.
故答案为：.
【分析】由题可知：当正方体棱长最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球，先求圆锥的母线长，设圆锥的内切球半径，利用三角形相似求得圆锥内切球半径，可得该正方体木块的最大体对角线长，即可求得实数的最大值.
12．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，
因为，所以，即，即，
则，
当且仅当与方向相反时，等号成立，
故的最大值为，
故答案为：.
【分析】由题意可得，利用平面向量模长公式结合向量的数量积求得、的值，再由并结合向量模的三角不等式求的最大值即可.
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面的基本性质及推论；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：充分性：因为，，所以，
必要性：设，，显然，所以成立，但此时不平行.
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
【分析】由面面平行的性质，线面平行的判定以及充要条件的定义判断即可.
14．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，函数，定义域为，故A不合题意；
B、当时，函数是定义域为的偶函数，图象关于轴对称，故B符合题意；
C、当时，函数，定义域为，故C不合题意；
D、当时，函数是定义域为的奇函数，图象关于原点对称，故D不合题意.
故答案为：B.
【分析】逐项代入m的值，得函数的解析式，求函数的定义域，判断奇偶性可以确定的值.
15．【答案】B
【知识点】相互独立事件
【解析】【解答】解：由题意可得：事件，，，，，
由古典概型的概率公式可得，，，
则，，
即事件与相互独立，事件与不独立.
故答案为：B.
【分析】由题意，先求事件，，，再利用独立事件的定义判断即可.
16．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：易知对任意的，，则函数的定义域为，
且，即函数为偶函数，
若函数存在一个非零的零点，则也必为函数的零点，这与已知条件矛盾，
故函数有且只有一个零点，该零点必为，即，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，故函数的值域为，
要使方程无解，则，即实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】易知函数的定义域为，根据奇偶性定义可得函数为偶函数，结合已知条件得出，求出的值，即可得函数的解析式，再利用基本不等式求函数的值域，可得实数的取值范围.
17．【答案】（1）证明：以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
，，，
因为，，所以，，
又因为，、平面，所以直线平面；
（2）解：设点，则，，
因为，所以，解得，则，
设平面的法向量为，则，
取，得，，可得，
因为，所以点到平面的距离为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，结合线面垂直的判定定理证明即可；
（2）设点，由，可得求得的值，再利用空间向量法求点到平面的距离即可.
（1）如图，以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，
由，，得，，
又，、平面，
所以直线平面.
（2）设点，则，，
由，即，得，则，
设平面的法向量为，则，
取，得，，从而得到平面的一个法向量是，
因为，所以点到平面的距离为.
18．【答案】解：（I）由 结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故 .
（II）结合(1)的结论有：
.
由 可得： ， ，
则 ， .
即 的取值范围是
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【分析】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得 的取值范围.
19．【答案】（1）解：由频率分布直方图各矩形面积和为1可得：，解得；
平均数为岁；
设中位数为， 则，解得岁；
（2）解：第 1，2 组的人数分别为 20 人， 30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，
则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人， 3 人， 分别记为，，
设从 5 人中随机抽取3人，样本空间为
共 10 个基本事件，
其中第 2 组恰好抽到 2 人包含：，， 共 6 个基本事件，
则第 2 组中抽到 2 人的概率.
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1) 根据频率分布直方图各矩形面积和为1列式求得值，再根据频率分布直方图求平均数和中位数即可；
(2)根据分层抽样可知：第1，2组的人数分别抽取2人， 3人， 分别记为， 利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
（1）由频率分布直方图得：
解得.
平均数为岁.
设中位数为， 则岁.
（2）第 1，2 组的人数分别为 20 人， 30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，
则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人， 3 人， 分别记为，.
设从 5 人中随机抽取3人，为：
共 10 个基本事件，
其中第 2 组恰好抽到 2 人包含：，， 共 6 个基本事件，
从而第 2 组中抽到 2 人的概率.
20．【答案】（1）解：设椭圆的方程为，
由题意可得，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：如图：
①、设直线的方程为，点，，，
联立，消去整理可得，
易知
由韦达定理可得，，
由条件，，，直线的方程为，即直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上；
②、，
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，利用待定系数法求解即可；
（2）设直线的方程为，点，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本不等式求面积的最大值即可.
（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
（2）如图：
①设直线的方程为，并记点，，，
由消去，得，
易知
则，．
由条件，，，直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，
所以点在定直线上．
②
而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．
21．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得，
则当时，函数的单调递减区间为；
（2）证明：函数定义域为，，切线的斜率为，
则切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，得，
即，则，，
令，且，
假设过原点，则在时存在零点，
，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，所以，函数在上无零点，
与假设矛盾，故直线不过原点；
（3）解：当时，，，
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾，
由（2）知，所以，
则切线的方程为，
令，则，
因为，则，
则，记，
所以，满足条件的的个数集为函数的零点个数，
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，，，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，令求解即可得函数的单调递减区间；
（2）求函数的定义域，求导，利用点斜式写出切线方程，将原点代入切线方程再设新函数，利用导数研究其零点即可；
（3）当时，求导可得，，由（2）的切线方程，令，则，代入得到，再设新函数研究其零点即可.
（1）解：当时，定义域为，则，
由，可得，
所以，当时，函数的单调递减区间为.
（2）解：，切线的斜率为，
则切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，得，
即，则，，
令，且，
假设过原点，则在时存在零点.
，所以，函数在上单调递增，
所以，当时，，所以，函数在上无零点，
与假设矛盾，故直线不过原点.
（3）解：时，，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知，所以，
则切线的方程为，
令，则.
因为，则，
则，记，
所以，满足条件的的个数集为函数的零点个数.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，，，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
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