广东省深圳实验学校高中部2025-2026学年高一上学期第一阶段考试数学试题
1．（2025高一上·深圳月考）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·深圳月考）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·深圳月考）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．与
4．（2025高一上·深圳月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则且
C．
D．“”是“”的充分条件
5．（2025高一上·深圳月考）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·深圳月考）设函数，若实数满足，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
7．（2025高一上·深圳月考）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·深圳月考）已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·深圳月考）已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
10．（2025高一上·深圳月考）已知，，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．的最小值为2
11．（2025高一上·深圳月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的取值范围为
12．（2025高一上·深圳月考）已知，，则的取值范围是 .
13．（2025高一上·深圳月考）全集是不大于的素数，若，，，则集合 .
14．（2025高一上·深圳月考）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
15．（2025高一上·深圳月考）已知集合或，，，
（1）已知，求实数的取值范围；
（2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围.
16．（2025高一上·深圳月考）已知函数，且．
（1）求a；
（2）用定义证明函数在上是增函数；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
17．（2025高一上·深圳月考）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
18．（2025高一上·深圳月考）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
19．（2025高一上·深圳月考）已知函数.
（1）若.
（i）求不等式的解集；
（ii）若对任意的，，求实数的取值范围；
（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，又，
故.
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次不等式的求解与集合的交集运算，核心思路是先解不等式确定集合B，再根据交集的定义求出。
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由命题，
设，
因为，可得集合不是空集，
又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】本题考查充分必要条件与集合包含关系的转化，核心思路是将逻辑条件转化为集合的真子集关系，通过列不等式组求解参数范围。
3．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，A错误；
B，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，B错误；
C，函数的定义域为，的定义域为，且，
可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同，所以两函数是同一函数，C正确；
D，函数的定义域为，
函数的定义域为，所以函数与的定义域不同，
所以两函数不是同一函数，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查同一函数的判定，核心思路是从 “定义域” 和 “对应法则” 两个维度逐一分析选项，确保两者均相同的函数才是同一函数。
4．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A：，则，则，A错误；
B：若时满足，但且不成立，B错误；
C：存在时，，C正确；
D：若，时，，此时不成立，D错误.
故答案为：C
【分析】判断命题真假的关键：对不等式命题用作差法或特殊值法验证；对存在性命题找满足条件的实例；对充分条件命题验证 “条件能否推出结论”。
5．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为，，所以，解得，
所以，即，
故答案为：B.
【分析】本题考查绝对值不等式的求解与不等式性质的应用，核心思路是先分别解出x和y的范围，再通过不等式的加法性质求出2x+6y的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由条件可知的定义域为，所以，
当时，，此时无解；
当时，，解得；
所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查分段函数的求值与方程求解，核心思路是根据分段函数的定义域和分段区间，分情况讨论m的取值，解出m后再代入计算目标函数值。
7．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；复合函数的单调性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令，配方得，为二次函数，
当时，取得最小值，当时，，
所以当时，，题目中p为假命题，所以或，
将不等式变形为，又，即，
令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，
因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，
需，即命题q为真时，，
结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】本题考查存在性与全称命题的真假及参数范围求解，核心思路是分别将命题转化为函数的最值问题，求出p假和q真时a的范围，再取交集。
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，可得为定值，
设，则，
因为，所以，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得为定值，设，得到，结合，求得，将问题转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，求得到和，即可求得实数的取值范围 .
9．【答案】B,C,D
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：A，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
B，，，所以，故B正确；
C，，，故C正确；
D，，
所以，，则，其的子集的个数为，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】本题考查集合的基本运算与性质，核心思路是通过集合的包含关系确定参数a，再分别计算交集、并集、补集及子集个数，逐一验证选项。
10．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，，
A，由，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确；
B，由，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误；
C，由B选项可知，，所以，当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确；
D，由，
则，当且仅当，即且时等号成立，
联立，整理得到，由，则，无实数解，
所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”的条件，结合 “乘1法”，逐一分析各选项的最值是否成立。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：A，，，
则时，取得最大值为，故A正确；
B，，，
函数在上单调递增，故B错误；
C，由，则，即，当且仅当时等号成立，则，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故C正确；
D，，，函数在上单调递增，
则时，取得最小值，时，取得最大值，
则的取值范围为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查函数的最值、单调性与不等式性质，核心思路是通过配方、单调性分析、不等式（柯西、单调性）分别验证各选项的函数性质。
12．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由，则，而，故，
所以，的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查不等式的性质（倒数与乘法），核心思路是先通过的范围求出的范围，再结合的范围，利用不等式的乘法性质推导的取值范围。
13．【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为全集是不大于的素数，所以，
因为，所以，
因为，，
所以可绘出韦恩图，如图所示：
由韦恩图可知，，
故答案为：.
【分析】本题考查集合的韦恩图与素数定义，核心思路是先确定全集，再通过集合运算的含义绘制韦恩图，进而确定集合A的元素。
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，令，所以，
则，所以，
由对任意实数，成立，所以求的最大值，
因为，则，令，
所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，
所以实数的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查不等式恒成立与基本不等式的综合应用，核心思路是通过换元将二元不等式转化为单变量函数，再利用基本不等式求函数的最大值，从而确定参数m的最小值。
15．【答案】（1）解：，或，
因，故，
即实数的取值范围为.
（2）解：由于是的必要条件，所以，
因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）集合并集为：根据的区间，确定的区间需覆盖的“缺口”部分，直接列不等式得的范围。
（2）必要条件转化为集合包含：将“是的必要条件”转化为，再分、、三种情况讨论的区间，结合的范围列不等式求解。
（1），或，
因，故，
即实数的取值范围为.
（2）由于是的必要条件，所以，
因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：因为函数，且，可得，解得.
（2）证明：由（1）知，任取，，且，
则，
因为，且，可得，，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）通过代入函数值建立方程，直接求解参数a，体现函数求值的基本方法。
（2）利用单调性定义，通过作差法分析函数值的大小关系，推导单调性，体现函数单调性的判定逻辑。
（3）结合单调性结论，直接计算区间端点的函数值得到最值，体现单调函数的最值求解策略。
（1）因为函数，且，可得，解得.
（2）由（1）知，任取，，且，
则，
因为，且，可得，，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
（3）由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
17．【答案】（1）解：由关于的不等式的解集为，得，
且2和是方程的两个实数根，
将代入可得，解得，
所以的另一实数根为，即，所以，.
（2）解：由，得，又，所以恒成立.
当时，，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围为；
（3）解：当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.
若，，不等式解集为；
若，不等式可化为，此时不等式解集为；
若，，不等式解集为；
若，，不等式解集为或
综上可知，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）结合二次不等式的解集与方程根的关系，通过代入根求解参数，体现二次函数、方程、不等式的联系。
（2）利用参变分离与基本不等式，将恒成立问题转化为最值问题，体现不等式恒成立的求解策略。
（3）对二次项系数分类讨论，结合因式分解后的根的大小关系，推导不同情况下的解集，体现含参二次不等式的分类讨论逻辑。
（1）由关于的不等式的解集为，得，
且2和是方程的两个实数根，
将代入可得，解得，
所以的另一实数根为，即，所以，.
（2）由，得，又，所以恒成立.
当时，，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围为；
（3）当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.
若，，不等式解集为；
若，不等式可化为，此时不等式解集为；
若，，不等式解集为；
若，，不等式解集为或.
综上可知，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
18．【答案】（1）解：依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，即，解得，
又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）解：由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有，两边同除以，得到，整理得到，
故有，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
即存在这样的满足条件，使得其范围为.
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）通过建立不等式模型，结合二次不等式的求解，确定技术人员的人数范围，体现实际问题的数学转化与不等式求解逻辑。
（2）将两个条件转化为关于m的不等式，分别分析左右两边的最值，利用函数单调性与基本不等式确定m的存在性，体现恒成立问题的最值分析策略。
（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，即，解得，
又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有，两边同除以，得到，整理得到，
故有，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
即存在这样的满足条件，使得其范围为.
19．【答案】（1）解：当时，；
（i）由二次函数性质知：在上单调递增，
，由得：，即不等式的解集为.
（ii）①当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，；
当时，不成立；
当时，，与矛盾，不合题意；
当时，恒成立，又，
不存在满足题意的；
②当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，，
，，；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）解：由得：；
当时，恒成立，，
又在上单调递减，，解得：；
由得：，，
①当时，，，
存在实数，满足，，
解得：，；
②当时，，，
存在实数，满足，，解得：或，
；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1) (i) 先化简函数解析式，分析单调性，结合函数值求不等式解集；
(ii) 分和讨论，利用函数单调性转化不等式，结合分离变量求最值。
(2) 将恒成立问题转化为绝对值不等式，拆分后结合函数最值确定的范围。
（1）当时，；
（i）由二次函数性质知：在上单调递增，
，由得：，即不等式的解集为.
（ii）①当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，；
当时，不成立；
当时，，与矛盾，不合题意；
当时，恒成立，又，
不存在满足题意的；
②当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，，
，，；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）由得：；
当时，恒成立，，
又在上单调递减，，解得：；
由得：，，
①当时，，，
存在实数，满足，，
解得：，；
②当时，，，
存在实数，满足，，解得：或，
；
综上所述：实数的取值范围为.
1 / 1广东省深圳实验学校高中部2025-2026学年高一上学期第一阶段考试数学试题
1．（2025高一上·深圳月考）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，又，
故.
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次不等式的求解与集合的交集运算，核心思路是先解不等式确定集合B，再根据交集的定义求出。
2．（2025高一上·深圳月考）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由命题，
设，
因为，可得集合不是空集，
又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集，
则满足且等号不能同时成立，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】本题考查充分必要条件与集合包含关系的转化，核心思路是将逻辑条件转化为集合的真子集关系，通过列不等式组求解参数范围。
3．（2025高一上·深圳月考）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．与
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，A错误；
B，函数的定义域为，函数的定义域为，
所以函数与的定义域不同，所以两函数不是同一函数，B错误；
C，函数的定义域为，的定义域为，且，
可得函数与的定义域相同，且对应法则也相同，所以两函数是同一函数，C正确；
D，函数的定义域为，
函数的定义域为，所以函数与的定义域不同，
所以两函数不是同一函数，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题考查同一函数的判定，核心思路是从 “定义域” 和 “对应法则” 两个维度逐一分析选项，确保两者均相同的函数才是同一函数。
4．（2025高一上·深圳月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则且
C．
D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A：，则，则，A错误；
B：若时满足，但且不成立，B错误；
C：存在时，，C正确；
D：若，时，，此时不成立，D错误.
故答案为：C
【分析】判断命题真假的关键：对不等式命题用作差法或特殊值法验证；对存在性命题找满足条件的实例；对充分条件命题验证 “条件能否推出结论”。
5．（2025高一上·深圳月考）若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：因为，，所以，解得，
所以，即，
故答案为：B.
【分析】本题考查绝对值不等式的求解与不等式性质的应用，核心思路是先分别解出x和y的范围，再通过不等式的加法性质求出2x+6y的取值范围。
6．（2025高一上·深圳月考）设函数，若实数满足，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：由条件可知的定义域为，所以，
当时，，此时无解；
当时，，解得；
所以，
故答案为：C.
【分析】本题考查分段函数的求值与方程求解，核心思路是根据分段函数的定义域和分段区间，分情况讨论m的取值，解出m后再代入计算目标函数值。
7．（2025高一上·深圳月考）已知命题：；命题：，若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；复合函数的单调性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令，配方得，为二次函数，
当时，取得最小值，当时，，
所以当时，，题目中p为假命题，所以或，
将不等式变形为，又，即，
令，因为函数、在均单调递减，所以在上单调递减，
因此在上的最大值为，要使对所有恒成立，
需，即命题q为真时，，
结合p假、q真的条件，取上述两者a的交集，所以的取值范围为．
故答案为：A．
【分析】本题考查存在性与全称命题的真假及参数范围求解，核心思路是分别将命题转化为函数的最值问题，求出p假和q真时a的范围，再取交集。
8．（2025高一上·深圳月考）已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意，可得为定值，
设，则，
因为，所以，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得为定值，设，得到，结合，求得，将问题转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，求得到和，即可求得实数的取值范围 .
9．（2025高一上·深圳月考）已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
【答案】B,C,D
【知识点】子集与真子集；集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：A，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
B，，，所以，故B正确；
C，，，故C正确；
D，，
所以，，则，其的子集的个数为，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】本题考查集合的基本运算与性质，核心思路是通过集合的包含关系确定参数a，再分别计算交集、并集、补集及子集个数，逐一验证选项。
10．（2025高一上·深圳月考）已知，，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．的最小值为2
【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，，
A，由，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确；
B，由，当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误；
C，由B选项可知，，所以，当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确；
D，由，
则，当且仅当，即且时等号成立，
联立，整理得到，由，则，无实数解，
所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”的条件，结合 “乘1法”，逐一分析各选项的最值是否成立。
11．（2025高一上·深圳月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：A，，，
则时，取得最大值为，故A正确；
B，，，
函数在上单调递增，故B错误；
C，由，则，即，当且仅当时等号成立，则，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，故C正确；
D，，，函数在上单调递增，
则时，取得最小值，时，取得最大值，
则的取值范围为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查函数的最值、单调性与不等式性质，核心思路是通过配方、单调性分析、不等式（柯西、单调性）分别验证各选项的函数性质。
12．（2025高一上·深圳月考）已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：由，则，而，故，
所以，的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查不等式的性质（倒数与乘法），核心思路是先通过的范围求出的范围，再结合的范围，利用不等式的乘法性质推导的取值范围。
13．（2025高一上·深圳月考）全集是不大于的素数，若，，，则集合 .
【答案】
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为全集是不大于的素数，所以，
因为，所以，
因为，，
所以可绘出韦恩图，如图所示：
由韦恩图可知，，
故答案为：.
【分析】本题考查集合的韦恩图与素数定义，核心思路是先确定全集，再通过集合运算的含义绘制韦恩图，进而确定集合A的元素。
14．（2025高一上·深圳月考）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，令，所以，
则，所以，
由对任意实数，成立，所以求的最大值，
因为，则，令，
所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，
所以实数的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查不等式恒成立与基本不等式的综合应用，核心思路是通过换元将二元不等式转化为单变量函数，再利用基本不等式求函数的最大值，从而确定参数m的最小值。
15．（2025高一上·深圳月考）已知集合或，，，
（1）已知，求实数的取值范围；
（2）已知命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，或，
因，故，
即实数的取值范围为.
（2）解：由于是的必要条件，所以，
因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围为.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；必要条件
【解析】【分析】（1）集合并集为：根据的区间，确定的区间需覆盖的“缺口”部分，直接列不等式得的范围。
（2）必要条件转化为集合包含：将“是的必要条件”转化为，再分、、三种情况讨论的区间，结合的范围列不等式求解。
（1），或，
因，故，
即实数的取值范围为.
（2）由于是的必要条件，所以，
因，
① 当时，，此时，符合题意；
② 当时，，由，可得，解得，
③ 当时，，由，可得，解得，
综上所述：，
即实数的取值范围为.
16．（2025高一上·深圳月考）已知函数，且．
（1）求a；
（2）用定义证明函数在上是增函数；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：因为函数，且，可得，解得.
（2）证明：由（1）知，任取，，且，
则，
因为，且，可得，，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）通过代入函数值建立方程，直接求解参数a，体现函数求值的基本方法。
（2）利用单调性定义，通过作差法分析函数值的大小关系，推导单调性，体现函数单调性的判定逻辑。
（3）结合单调性结论，直接计算区间端点的函数值得到最值，体现单调函数的最值求解策略。
（1）因为函数，且，可得，解得.
（2）由（1）知，任取，，且，
则，
因为，且，可得，，则，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
（3）由（2）知，函数在上为单调递增函数，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
17．（2025高一上·深圳月考）已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：由关于的不等式的解集为，得，
且2和是方程的两个实数根，
将代入可得，解得，
所以的另一实数根为，即，所以，.
（2）解：由，得，又，所以恒成立.
当时，，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围为；
（3）解：当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.
若，，不等式解集为；
若，不等式可化为，此时不等式解集为；
若，，不等式解集为；
若，，不等式解集为或
综上可知，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）结合二次不等式的解集与方程根的关系，通过代入根求解参数，体现二次函数、方程、不等式的联系。
（2）利用参变分离与基本不等式，将恒成立问题转化为最值问题，体现不等式恒成立的求解策略。
（3）对二次项系数分类讨论，结合因式分解后的根的大小关系，推导不同情况下的解集，体现含参二次不等式的分类讨论逻辑。
（1）由关于的不等式的解集为，得，
且2和是方程的两个实数根，
将代入可得，解得，
所以的另一实数根为，即，所以，.
（2）由，得，又，所以恒成立.
当时，，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围为；
（3）当时，不等式为，其解集为；
当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，.
若，，不等式解集为；
若，不等式可化为，此时不等式解集为；
若，，不等式解集为；
若，，不等式解集为或.
综上可知，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
18．（2025高一上·深圳月考）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
【答案】（1）解：依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，即，解得，
又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）解：由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有，两边同除以，得到，整理得到，
故有，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
即存在这样的满足条件，使得其范围为.
【知识点】一元二次不等式的实际应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）通过建立不等式模型，结合二次不等式的求解，确定技术人员的人数范围，体现实际问题的数学转化与不等式求解逻辑。
（2）将两个条件转化为关于m的不等式，分别分析左右两边的最值，利用函数单调性与基本不等式确定m的存在性，体现恒成立问题的最值分析策略。
（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，即，解得，
又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人.
（2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得，
由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有，两边同除以，得到，整理得到，
故有，
又，当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，当时，取得最大值7，所以，
即存在这样的满足条件，使得其范围为.
19．（2025高一上·深圳月考）已知函数.
（1）若.
（i）求不等式的解集；
（ii）若对任意的，，求实数的取值范围；
（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，；
（i）由二次函数性质知：在上单调递增，
，由得：，即不等式的解集为.
（ii）①当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，；
当时，不成立；
当时，，与矛盾，不合题意；
当时，恒成立，又，
不存在满足题意的；
②当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，，
，，；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）解：由得：；
当时，恒成立，，
又在上单调递减，，解得：；
由得：，，
①当时，，，
存在实数，满足，，
解得：，；
②当时，，，
存在实数，满足，，解得：或，
；
综上所述：实数的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1) (i) 先化简函数解析式，分析单调性，结合函数值求不等式解集；
(ii) 分和讨论，利用函数单调性转化不等式，结合分离变量求最值。
(2) 将恒成立问题转化为绝对值不等式，拆分后结合函数最值确定的范围。
（1）当时，；
（i）由二次函数性质知：在上单调递增，
，由得：，即不等式的解集为.
（ii）①当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，；
当时，不成立；
当时，，与矛盾，不合题意；
当时，恒成立，又，
不存在满足题意的；
②当时，，
则由得：，
又在上单调递增，，，
，，；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）由得：；
当时，恒成立，，
又在上单调递减，，解得：；
由得：，，
①当时，，，
存在实数，满足，，
解得：，；
②当时，，，
存在实数，满足，，解得：或，
；
综上所述：实数的取值范围为.
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