第三节 图形的对称、平移与旋转
A 级 基础巩固
1. 25·福建 中国古算诗词歌赋较多．古算
诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式． 下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是 （ ）
2. 传统文化·剪纸 剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按如图所示的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是 （ ）
3. 25·保定模拟 如图，Rt△ABC 中，∠BAC=
90°，将△ABC 沿 BC 的方向平移得到△DEF，其中 A，B，C 的对应点分别是点 D，E，F．若点 E 是 BC 的中点，AB=4，AC=8，则点 A 与点 D 之间的距离为（ ）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
4. 25·张家口三模 如图，在△ABC中，∠BAC= 20°，∠B=30°，将△ABC 绕点 A 逆时针
旋转 α 得到△AB′C′，当 B，C，C′在同一
条直线上时，α= （ ）
A． 80° B． 70° C． 60° D． 50°
5. 25·河南 如图，在菱形 ABCD 中，∠B=45°，AB=6，点 E 在边 BC 上，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，若点 B 落在 BC延长线上的点 F 处，则 CF 的长为 （ ）
A． 2 B． 6-3
C． 2 D． 6 -6
6. 数形结合 如图， 将△ABC 沿射线 BC 方向平移得到△DEF，点 A，B，C 的对应点分别是点 D，E，F．
（1）若∠DAC=60°，求∠DFE 的度数；
（2）若 BF=15，BE=CE，求平移的距离；
（3）在（2）的条件下，若△ABC 的周长为 25，求四边形 ABFD 的周长．
B 级 能力过关
7. 25·天津 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，
将△ABC绕点 A顺时针旋转得到△AB′C′，
点 B，C 的对应点分别为 B′，C′，B′C′的
延长线与边 BC 相交于点 D，连接 CC′．若 AC=4，CD=3，则线段 CC′的长为 （ ）
8. 25·湖北 如图，正方形 ABCD 的对角线
相交于点 O，折叠正方形 ABCD 的一边 BC，使点 C 落在 BD 上的点 F 处，折痕 BE 交 AC 于点 G． 若 DE=2 ，则CG 的长为
（ ）
A． B． 2 C． +1 D． 2 -1
9. 25·威海 把一张矩形纸片按照如图 1 所
示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图 2 或图 3 所示的正方形． 若矩形纸片的长为 m，宽 为 n，四边形 EFGH 的面积等于四边形 ABCD 面积的 2 倍，则 =______．
10. 几何直观 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=
90°，AC=15，BC=20．将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△ADE（点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点为点 E），延长 DE与 BC 交于点 P，且点 P 始终在边 BC 上（不 与 B，C 重合），连接 AP，BD，设 CP=x.
（1）求证：CP=EP；
（2）如图 2，当 AD∥BC 时，求 x 的值；
（3）如图 3，在△ADE 旋转过程中，设 DP 与 AB 交于点 O．当 OE=8 时，求 x 的值.
C 级 中考新趋势题
11. 转化思想 如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是 80 cm， 则图中阴影图形的周长是 （ ）
A． 440 cm
B． 420 cm
C． 380 cm
D． 460 cm
第三节 图形的对称、平移与旋转
A 级 基础巩固
1. D 2. A 3. B 4. A
5. D 提示：∵ 四边形 ABCD 是菱形， AB=6，
∴AB=BC=6，根据折叠的性质得， AE⊥BF，BE=EF.
∵∠B=45°，∴∠BAE=90°-45°=∠B，
∴AE=BE= AB=3 ，
∴BF=2BE=6，
∴CF=BF-BC=6 -6.
6. 解：（1）∵△ABC 沿射线 BC 方向平移得到△DEF，
∴AC∥DF，AD∥BF，
∴∠ACB=∠DFE，∠ACB=∠DAC，
∴∠DFE=∠DAC=60°；
（2）由平移的性质可得 BE=CF，
又 ∵BE=CE，∴BE=CE=CF= BF=5，
∴ 平移的距离为 5；
（3）由平移的性质可得 AD=BE=CF= 5，DF=AC，
∴ 四边形 ABFD 的周长为 AB+BC+
CF+DF+AD=AB+BC+AC+2AD=25+ 2×5=35．
B级 能力过关
7. D
提示：如图，连接 AD，交 CC′于点 O，
由旋转的性质得，AC′=AC=4，∠AC′B′=∠ACB=90°，
∴∠AC′D=90°．
在 Rt△ACD 和 Rt△AC′D 中，
∴Rt△ACD≌Rt△AC′D（HL），
∴C′D=CD=3，∴AD 垂直平分 CC′，
∴CC′=2OC.
∵∠ACB=90°，AC=4，CD=3，
∴AD= =5．
∵S△ACD= CD·AC= AD·OC，
∴OC= ，
∴CC′=2× ．
8. B 提示：如图，过点 G 作 GH⊥BC 于点H.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD=AB=AD， ∠BCD=∠ADC=90°， ∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，
由折叠的性质可得，BC=BF，CE=EF，
∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE， ∠FBE=∠CBE，
∴∠DEF=∠FDE=45°，而 DE=2 ，
∴DF=EF=DE·sin45°=2，
∴CD=BC=2 +2=BF，
∴AC=BD=BF+DF=2 +4，
∴OB= BD= +2.
∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，
∴OG=HG.∵BG=BG，
∴Rt△OBG≌Rt△HBG（HL），
∴BH=BO= +2，
∴CH=BC-BH= ，
∴GH=CH= ，
∴CG=2.
9. 提示：由题意得 m2 + =2· ，整理得 4m2 -8mn+n2 =0，
10. 解：（1）证明：由旋转的性质得
△ADE≌△ABC，
∴AE=AC，∠AED=∠C=∠AEP=90°.
又 ∵AP=AP， ∴Rt△AEP≌Rt△ACP（HL），
∴CP=EP；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°， AC=15，BC=20，依据勾股定理，得 AB= =25，
∴AD=AB=25，DE=BC=20，
由（1）可知△AEP≌△ACP，
∴PC=PE，∠APE=∠APC.
∵AD∥BC，∠DAP=∠APC，
∴∠DAP=∠APE， ∴DP=DA=25，
∴CP=PE=PD-DE=25-20=5，∴x=5；
（3）分两种情况讨论：
①当 O 在 E，P 之间：如图 1，过点 P
作PF⊥AB 于点 F ，
故△OFP 和△BFP 为直角三角形，
∴PC=PE=x，BP=20-x，∠C=∠BFP=
∠OEA=90°，OP=x-8，
又 ∵∠B 为公共角，∴△ABC∽△PBF，
∵BP=20-x，
∴FP=12- x，BF=16- x.
∵AE=AC=15，∠OEA=90°，
∴AO= =17.
∵AB=25，∴BO=8，
∴OF=8-BF=8- .
∵OP=x-8，FP=12- x，
∠BFP=90°，∴OF 2 +FP 2 =OP 2 ，
即
解得 x=
②当 O 在 E，D 之间： 如图 2 所示，
同理可得 OF=8- x，OP=x+8，FP= 12- x，∴OF2 +FP2 =OP ，
即
，解得 x= .
综上所述，x 的值为
C级 中考新趋势题
11. A第二节 尺规作图
A 级 基础巩固
1. 25·邯郸模拟 如图所示，已知△ABC（AC＜
AB＜BC），用尺规在线段 BC 上确定一点P，使得 PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是 （ ）
2. 25·石家庄四区联考 某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点 P 作已知直线 l 的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是 （ ）
A． 同位角相等，两直线平行
B． 内错角相等，两直线平行
C． 平行公理
D． 平行四边形的性质
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于
MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC 于点 D，若 CD=1，AB=4，则△ABD 的面积是 （ ）
4. 如图，在△ABC 中，∠ABC=40°，∠C=76°．观察图中的尺规作图痕迹，可知∠BAF 的度数为 （ ）
A． 10° B． 12° C． 16° D． 20°
5. 25·湖南 如图，在△ABC 中，BC=6，E 是 AC 的中点，分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，直线MN
交 AB 于点 D，连接 DE，则DE 的长是 ______．
6. 25·烟台 如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作 △BED， 使 △BED 与
△BCD关于直线 BD 成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下 ， 若 BE 交 AD 于点 F，AB=1，BC=2，求 AF 的长．
B 级 能力过关
7. 25·眉山 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥
BC，AB=6，BC=10．按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB，AD 于 E，F 两点；②分别以点E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧相交于点 P；③作射线 AP 交BC 于点 G，则 CG 的长为（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
8. 25·天津 如图，CD 是△ABC 的角平分线．按以下步骤作图：①以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F；②以点 B 为圆心，AE长为半径画弧，与 BC 相交于点 G；③以点 G 为圆心，EF 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 H； ④作射线BH，与 CD 相交于点 M，与 AC 相交于点
N．则下列结论一定正确的是 （ ）
A． ∠ABN=∠A
B． BN⊥AC
C． CM=AD
D． BM=BD
9. 25·苏州 如图，∠MON=60°，以点 O 为圆心，2 为半径画弧， 分别交 OM，ON 于 A，B 两点，再分别以点 A，B 为圆心， 为半径画弧，两弧在∠MON 内部相交于点 C，作射线OC，连接 AC，BC，则 tan ∠BCO =______.
（结果保留根号）
10. 25·江西 如图，在 6×5 的正方形网格中，点 A，B，C 均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图 1 中作出 BC 的中点；
（2）在图 2 中作出△ABC 的重心．
11. 操作题 如图， 在钝角三角形 ABC 中，∠C=30°，请用尺规作图法，求作一个等边三角形 BDE，使得顶点 D，E 均在△ABC的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法）
C 级 中考新趋势题
12. 几何直观 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，甲、乙两个同学展示的作图痕迹如下，其中射线 OP 为 ∠AOB 的平分线的是 （ ）
A． 甲 B． 乙 C． 甲和乙 D． 甲、乙均不是
第二节 尺规作图
A 级 基础巩固
1. D 2. D 3. A 4. B 5. 3
6. 解：（1）如图，△BED 即为所求；
（2）如图，BE 交 AD 于点 F.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD =BC =2，AB =CD =1，AD ∥BC， ∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
由对称性可知，∠EBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD，
设 AF=x，则 BF=DF=2-x，
在 Rt△ABF 中，12 +x2 =（2-x）2 ，
解得 x= ，∴AF= ．
B级 能力过关
7. A 提示：根据题意可得，AP 平分
∠BAD.即∠BAG=∠DAG.
∵AD∥BC，∴∠DAG=∠BGA，
∴∠BAG=∠BGA，
∴BA=BG=6.∵BC=10，
∴CG=BC-BG=4.
8. D 提示：由作图过程可知，∠CBN=
∠BAC．∵CD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ACD=∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°，
∠CBM+∠BCM+∠BMC=180°，
∴∠ADC=∠BMC，
∴∠BDM=∠BMD，∴BM=BD．
9.
提示：如图，过点 B 作 BD⊥OC 于点 D，
由作图过程可知，OC 平分∠MON，
∴∠BOD= ∠MON=30°，
∴BD= OB= 1 2 ×2=1，
∵BC= ， ∴CD= ，
∴tan∠BCO=
10. 解：（1）如图 1，点 D 即为所求；
（2）如图 2，则点 O 即为所求．
11. 解：如图，△BDE 即为所求． （答案不唯一）
C级 中考新趋势题
12. C第七章 图形与变换
第一节 视图与投影
A 级 基础巩固
1. 抽象能力 圆形的物体在太阳光照射下的投影是 （ ）
A． 圆 B． 椭圆
C． 线段 D． 以上都有可能
2. 25·天津 如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
3. 25·陕西 上马石是古人上下马的工具，它可以看作如图所示的几何体，该几何体的俯视图为 （ ）
4. 25·云南 下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是 （ ）
A． 正方体 B． 长方体 C． 圆锥 D． 圆柱
5. 25·成都 下列几何体中，主视图和俯视 图相同的是 （ ）
6. 25·东营 领奖台的示意图如下， 则此领奖台的左视图是 （ ）
7. 25·秦皇岛模拟 图 1 中有一个用四个相同的小正方体搭成的长方体，现要再添加一个相同的小正方体，使这 5 个小正方体搭成的几何体的主视图、左视图如图 2 所示，则添加的小正方体应摆放的位置是 （ ）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
8. 在图中的①②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，那么放置的位置不可能是 （ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B 级 能力过关
9. 25·廊坊模拟 如图，将由 4 个完全相同的小正方体组成的几何体在桌面上顺时针旋转 90°后，其俯视图为 （ ）
10. 25·石家庄十八县区联考 如图是几个大
小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是 （ ）
11. 数形结合 由若干个棱长都为 1 cm 的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为 （ ）
A． 2 cm2 B． 3 cm2 C． 4 cm2 D． 6 cm2
12. 空间观念 如图是几个相同小正方体粘合而成的几何体的主视图和左视图，则其俯视图可能为 （ ）
13. 25·保定竞秀区二模 如图是由 8 个大
小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A． ① B． ② C． ③ D． ④
14. 25·秦皇岛模拟 如图是嘉嘉用 6 块相同
的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的 n 个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则 n 的最大值为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
15. 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体相对面上的两个数相等，则 10x × 10y ×10=
（ ）
A． 105 B． 106 C． 107 D． 108
16. 几何直观 三棱柱及其三视图如图所示，已知在△EFG 中，EF=8 cm，EG=12 cm，∠EFG=45°，则 AB 的长为 （ ）
A. 8 cm B. 12 cm C. 4 cm D. 6 cm
C 级 中考新趋势题
17. 空间观念 25·保定模拟 如图，该正方体 是由第一、第二两部分无缝隙拼接而的，这两部分分别由 3 个（阴影部分）、 5 个同样大小的小正方体粘成，拿走第一部分所对应的几何体后，剩余第二部分几何体的三视图与原正方体的三视图相比，发生变化的是 （ ）
A． 主视图
B． 左视图
C． 主视图和俯视图
D． 左视图和俯视图
第七章 图形与变换
第一节 视图与投影
A 级 基础巩固
1. D 2. D 3. D 4. D
5. C 6. C 7. C
8. A 提示：根据正方体表面展开图的特征可知，在②③④的任意一个位置放置一个小正方形后所组成的图形能折成一个正方体，而在①的位
置放置一个小正方形，不能折成一个正方体.
B级 能力过关
9. A 10. D 11. C 12. C 13. D
14. C 提示：拿走其中的 n 个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，可以拿走最左侧的一和最右侧的两个，则 n 的最大值为3．
15. C 提示：由题意可得 x=2，y=4，
则 10x ×10y ×10=102 ×104 ×10=107 .
16. C 提示：如图，过点 E 作 EQ⊥FG 于点 Q，
由题意，得 EQ=AB，
∵EF=8 cm，∠EFG=45°，
∴EQ=AB= ×8=4（cm）．
C级 中考新趋势题
17. D第七章综合达标检测卷
（时间：90 分钟 满分：120 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3
分，共 36 分）
1. 25·自贡 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是 （ ）
2. 数形结合 如图是一张三角形纸片 ABC，点 C 在数轴表示-1 的位置上．将该三角形纸片的 BC 边紧靠数轴向右平移得到△A′B′C′，当点 C 的对应点 C′在数轴表示 4 的位置上时，AA′的长为 （ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
3. 几何直观 通过如下尺规作图，能说明△ABD 的面积和 △ACD 的面积相等的是 （ ）
4. 23·河北 12 题 如图 1，一个 2×2 的平台上已经放了一个棱长为 1 的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图 2 所示，平台上至少还需再放几个这样的正方体 （ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
5. 25·眉山 如图，在 4×3 的长方形网格中，
每个小正方形的边长均为 1，将△OAB 以点 O 为位似中心放大后得到△OCD，则 △OAB 与△OCD 的周长之比是 （ ）
A． 2∶1 B． 1∶2 C． 4∶1 D． 1∶4
6. 人九下 P43，T11 改编 在学习相似多边形
时，将边长为 4，6，6 的等腰三角形和长、宽分别为 6，4 的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为 1，则下面对新图形和原图形是否为相似多边形的判断正确的是 （ ）
A． 甲、乙两组都是
B． 甲组是，乙组不是
C． 甲组不是，乙组是
D． 甲、乙两组都不是
7. 25·德阳 如图， 在 Rt△ABC 中，∠ACB=
90°，将△ABC 沿 CB 方向向右平移至
△EGF 处，使 EF 恰好过边 AB 的中点D，
连接 CD，若 CD=1，则 GE 的长为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
8. 25·石家庄 28 中三模 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=66°，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转得到△A′BC′，当点 C′落在边 AB 上时，连接 AA′，则∠AA′C′的度数为（ ）
A． 24° B． 33° C． 43° D． 57°
9. 空间观念 一个正方体相对两面的整式之积均相等，它的展开图如图所示，下列判断正确的是 （ ）
A． P=x B． P=x3 C． Q=x2 D． Q=x4
10. 如图，正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 40°得到正方形 ODEF，连接 AF，∠OAF 的度数是 （ ）
A． 20° B． 25° C． 30° D． 35°
11. 如图 1 是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图 2 所示，此时液面宽度 AB 为 （ ）
A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 11 cm
12. 25·张家口三模 如图，在荀ABCD 中，AB=
6，BC=4，∠ABC=60°，E 是边 AB 上的一点，F 是边 CD 上一点，将平行四边 形ABCD 沿 EF 折叠，得到四边形 EFGC，点A 的对应点为点 C，点 D 的对应点为点 G，则 CF 的长为 （ ）
A． 3 B． 3.5 C． 4 D． 4.5
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3
分，共 12 分）
13. 与平面直角坐标系结合 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），B（3，2），
以原点 O 为位似中心，作△OAB 的位似图形△OA′B′，并把△OAB 的边长缩小到原来的 ，则点 A 的对应点 A′的坐标是 __________________．
14. 25·江西 如图，在矩形纸片 ABCD 中，沿着点 A 折叠纸片并展开，AB 的对应边为 AB′，折痕与边 BC 交于点 P．当 AB′与 AB，AD 中任意一边 的夹 角 为 15° 时 ，∠APB 的度数可以是 ____________．
15. 25·保定模拟 如图 1， 有一张燕尾形纸 片 ABCD，CD=CB=2 cm， 延长 BC，DC，分别交AD，AB 于点 E，F.如图 2 所示，沿 CE，CF 剪开纸片，恰好拼成一个正方形 AC′CC″（如图 3），则在图 1 中：
（1）∠BCD=________；
（2）AD=________．
16. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= BC=6，将 Rt△ABC 沿着射线 BA 方向平移得到 Rt△A′B′C′，当点 C′落在∠ABC 的平分线上时 ，B′ C′ 交 AC 于点 E，此时 CE 的长为 ________.
三、解答题（本大题共 5 个小题，共 72 分）
17.（12 分） 25·保定模拟 如图，量角器放置在长方形纸面中，AB 为其直径，点 O 为其圆心，点 C，D 在量角器的半圆上，对应刻度分别为 30°和 60°，连接 OC，OD，BD．
（1）尺规作图：作线段 OA 的垂直平分线
l，直线 l 与 OA 交于点 E，与 OC 交于点
F；（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写
作法）
（2）连接 AF，求证：△AFO∽△BOD．
18.（12 分）如图 1，△ABC 与△DBC 全等，
且∠ACB=∠DBC=90°，AB=6，AC=4．如图 2，将△DBC 沿射线 BC 方向平移得到△D1B1C1，连接 AC1，BD1．
（1）求证：BD1=AC1 且 BD1∥AC1；
（2）△DBC 沿射线 BC 方向平移的距离等于 ______ 时，点 A 与点 D1 之间的距离最小．
19.（14 分）将长方形纸片沿 OC，OD 折叠成平面图形，折叠后，点 A 的对应点为点 A′，点 B 的对应点为点 B′．
（1）如图 1，当点 B′在 OA′上时，判断∠AOC
与∠BOD 的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，当点 B′在∠COA′的内部时，
①若∠AOC=42°，∠BOD=65°，求∠A′OB′
的度数；
②若 ∠AOC =α， ∠BOD = β ． ∠COB′ +
∠A′OD=________________．
（用含 α 和 β 的代数式表示）
20.（16 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=
90°，E 是 AB 边上一点，且点 E 不与 A，B 重合，ED⊥AC 于点 D．
（1）当 sin B= 时，
①求证：BE=2CD；
②当△ADE 绕点 A 旋转到如图 2 所示的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE=2CD 是否成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（2）当 sin B= 时，将△ADE 绕点 A 旋转到∠DEB=90°，若 AC=10，AD=2 ， 请直接写出线段 CD 的长．
21.（18 分） 25·成都 如图，在 ABCD 中，
点 E 在 BC 边上，点 B 关于直线 AE 的对称点 F 落在 ABCD 内，射线 AF 交射线 DC 于点 G，交射线 BC 于点 P，射线 EF 交 CD 边于点 Q．
【特例感知】（1）如图 1，当 CE=BE 时，
点 P 在 BC 延长线上，求证：△EFP≌△ECQ；
【问题探究】（2）在（1）的条件下，若 CG=
3，GQ=5，求 DQ 的长；
【拓展延伸】（3）如图 2，当 CE=2BE 时，
点 P 在 BC 边上，若 ，求 的值．（用含 n 的代数式表示）
第七章综合达标检测卷
1. C 2. D 3. C 4. B 5. B
6. B 7. B 8. B 9. D 10. B
11. B 提示：如图，过点 B 作 BE⊥DE 于点 E，由题意可知 AC∥BD，AB∥DE， ∠ACB =90° ，BD =15 cm，BC =6 cm，BE=10 cm，∴∠CAB=∠ABD=∠BDE，∠ACB=∠BED=90°，
∴△ACB∽△DEB，∴ ，
即 ，∴AB=9 cm.
12. B 提示：如图，过点 C 作 CK⊥AB 于点 K，过点 E 作 EP⊥BC 于点 P．
∵∠ABC=60°，BC=4，
∴CK= BC=2 .
∵ 点 C 到 AB 的距离和点 E 到 CD 的距离都是平行线 AB，CD 间的距离，∴ 点 E 到 CD 的距离是 2 .
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，∠D=∠ABC，∠A=∠BCD，
由折叠的性质可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG， ∴BC=GC，∠ABC=∠G， ∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠GCF，
在△BCE 和△GCF 中，
∴△BCE≌△GCF（ASA）， ∴CE=CF.
∵∠ABC=60°，∠EPB=90°，
∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，
设 BP=m，则 BE=2m，
∴ 在 Rt△BEP 中，
EP=，
由折叠的性质可知，AE=CE.
∵AB=6，∴AE=CE=6-2m，
∵BC=4，∴PC=4-m，
在 Rt△ECP 中，EP2 +PC2 =CE2 ，
∴（ m）2 +（4-m）2 =（6-2m）2 ，
解得 m= ，
∴CE=6-2× ，
∴CF=3.5.
13.（1，2）或（-1，-2）
14. 82.5°或 52.5°或 37.5°
提示：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
由折叠得∠PAB′=∠PAB= ∠BAB′，
如图 1，∠BAB′=15°.
∵∠PAB= ×15°=7.5°，
∴∠APB=90°-∠PAB=82.5°；
如图 2，∠DAB′=15°，且点 B′与点 B 在直线 AD 同侧，
∵∠BAB′=∠BAD+∠DAB′=105°，
∴∠PAB= ×105°=52.5°，
∴∠APB=90°-∠PAB=37.5°.
综上所述，∠APB 的度数可以是82.5° 或 52.5°或 37.5°.
15.（1）90° （2）2
16. 3
提示：由平移可知， BC∥B′C′，B′C′=BC=6，
∴∠CBC′=∠BC′B′．
又 ∵BC′平分∠CBB′，
∴∠CBC′=∠B′BC′，
∴∠B′BC′=∠BC′B′，
∴BB′=B′C′=6．
∵AB= BC=6 ，
∴AB′=6 -6，
∴AE= AB′=6-3 ，
∴CE=AC-AE=6-（6-3 ）=3 ．
17. 解：（1）如图，直线 l 即为所求；
（2）证明：如图，连接AF，
由作图，得 AF=OF，
∴∠FAO=∠FOA=30°，
由图可知∠AOD=60°，
∴∠OBD= ∠AOD=30°.
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD=30°，
∴∠FAO=∠OBD，∠FOA=∠ODB，
∴△AFO∽△BOD．
18. 解：（1）证明：由题意得，△ACB≌
△DBC，∴AB=CD，AC=BD，
∠ABC=∠DCB，∴AB∥CD，
由平移的性质可知，CD=C1D1，CD∥C1D1，
∴AB=C1D1，AB∥C1D1，
∴ 四边形 BD1C1A 为平行四边形，
∴BD1=AC1，且 BD1∥AC1；
（2）2
提示：当点 C 与点 B1 重
合时，点 A 与点 D1 之间的距离最小，
∴△DBC 沿射线 BC 方向平移的距离=BC= .
19. 解：（1）∠AOC+∠BOD=90°.理由：
由折叠的性质可得，OC 平分∠AOA′，
OD 平分∠BOB′，
∴∠AOC= ∠AOA′，
∠BOD= ∠BOB′.
∵∠AOA′+∠BOB′=180°，∴∠AOC+
∠BOD= （∠AOA′+∠BOB′）=90°；
（2）①根据折叠的性质得，
OC 平分∠AOA′，OD 平分∠BOB′，
∵∠AOC=42°，∠BOD=65°，
∴∠A′OC=∠AOC=42°，
∠B′OD=∠BOD=65°，
∠COD=180°-∠AOC-∠BOD=180°-
42°-65°=73°，
∴∠COB′=∠COD-∠B′OD=73°-65°=8°，
∴∠A′OB′=∠A′OC-∠B′OC=42°-
8°=34°；
②360°-3α-3β 提示：根据折叠的性
质得，OC 平分∠AOA′， OD 平分∠BOB′.
∵∠AOC=α，∠BOD=β，
∴ ∠A′ OC = ∠AOC =α， ∠B′ OD =
∠BOD=β， ∠COD=180°-∠AOC-∠BOD=180°-
α-β，
∴∠COB′=∠COD-∠B′OD=180°-α-
β-β=180°-α-2β，∠A′OD=∠COD-
∠A′OC=180°-α-β-α=180°-2α-β，
∴∠COB′+∠A′OD=180°-α-2β+180°-
2α-β=360°-3α-3β．
20. 解：（1）①证明：∵ 在 Rt△ABC 中，
∠C=90°，sinB= ，
∴∠B=30°，∴∠A=60°，
如图 1，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H.
∵ED⊥AC，∴∠ADE=∠C=90°，
∴ 四边形 CDEH 是矩形，∴EH=CD，
∴ 在 Rt△BEH 中，∠B=30°，
∴BE=2EH，∴BE=2CD；
②BE=2CD 成立.
证明：由题意，得∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠CAD=∠BAE，
又 ∵
∴△ACD∽△ABE，
∴BE=2CD；
（2）线段CD的长为2 或4 .
提示：∵sinB= ，
∴∠ABC=∠BAC=∠DAE=45°，
∵ED⊥AD，∴∠AED=∠DAE=45°，
∴AD=DE，AC=BC，
将 △ADE 绕 点 A 旋转到 ∠DEB = 90°，分两种情况：
①如图 2，过点 A 作 AF⊥BE 交 BE 的延长线于点 F，
则∠F=90°，当∠DEB=90°时， ∠ADE=∠DEF=90°，又 ∵AD=DE，
∴ 四边形 ADEF 是正方形，
∴AD=AF=EF=2 .
∵AC=10=BC，
∴ 根据勾股定理得，AB=10 ，
在 Rt△ABF 中，BF= = 6 ，
∴BE=BF-EF=4 .
又 ∵△ABC 和△ADE 都是直角三角形，且∠BAC=∠EAD=45°， ∴∠CAD=∠BAE，
②如图 3，过点 A 作 AF⊥BE 于点 F，
则∠AFE=∠AFB=90°，
当∠DEB=90°时，∠DEB=∠ADE=90°，
又 ∵AD=ED，∴ 四边形 ADEF 是正方形，
∴AD=EF=AF=2 ，
又 ∵AC=10=BC，∴AB=10 ，
在 Rt△ABF 中，BF= =6 ，
∴BE=BF+EF=8 ，
易证得△ACD∽△ABE，
综上所述，线段 CD 的长为 2 或 4．
21. 解：（1）证明：由题意，得∠B=∠AFE，
BE=FE，∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠PCG，∴∠AFE=∠PCG.
∵∠AFE=∠QFG，∴∠PCG=∠QFG.
∵∠FGQ=∠CGP，∴∠CQE=∠P.
∵CE=BE，BE=EF，∴EF=EC，
又 ∵∠CEQ=∠FEP，∴△EFP≌△ECQ（AAS）；
（2）由（1）得△EFP≌△ECQ，
∴EQ=EP，∵EF=EC，∴FQ=CP.
∵∠FGQ=∠CGP，∠CQE=∠P，
∴△FQG≌△CPG（AAS），
∴FG=CG=3，GQ=GP=5，
由题意，得 AF=AB.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△CGP∽△BAP，
解得 AB=12，
∴CD=12，∴DQ=CD-CG-QG=4；
（3）如图，延长 AD，EQ 交于点 M，
设 CQ=a，BE=b，
∵ ，CE=2BE，
∴DQ=an，EC=2b，
∴AB=CD=（n+1）a，AD=3b， 由折叠的性质得，
AF=AB=（n+1）a，∠AFE=∠B.
∵AD∥BC，即 DM∥EC，
∴△DQM∽△CQE，
∴DM=2nb.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠ADQ.
∵∠AFQ+∠AFE=180°，
∴∠AFQ+∠ADQ=180°，
∴∠DAF+∠DQF=180°.
∵∠EQC+∠DQF=180°，
∴∠EQC=∠DAF，
∵AD∥BC，∴∠DAF=∠FPE，
∴∠EQC=∠FPE，
又 ∵∠FEP=∠CEQ，
∴△FEP∽△CEQ，
∴FP= a.
∵AD∥BC，∴△AMF∽△PEF，
∴CP=EC-EP=2b-
又 ∵PC∥AD，∴△GPC∽△GAD，第四节 图形的相似及位似
A 级 基础巩固
1. 人九下 Ｐ31，练习 T1 改编 如图，已知 AB∥CD∥EF，AD∶AF=3∶5，BC=6，CE 的长为
（ ）
A． 2 B． 4 C． 3 D． 5
2. 25·内江 阿基米德曾说过：“给我一个支
点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见． 如图 1 是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图 2，动力臂 OA= 150 cm，阻力臂 OB=50 cm，BD=20 cm， 则 AC 的长度是 （ ）
A． 80 cm B． 60 cm C． 50 cm D． 40 cm
3. 25·邯郸模拟 嘉嘉的作业纸不小心被撕
毁了（如图所示），已知△ABC∽△DEF．测得 AC=3 cm，DF=4 cm，△DEF 的面积为 16 cm2 ，则△ABC 的面积为 （ ）
A． 6 cm2 B． 9 cm2 C． 10 cm2 D． 12 cm2
4. 25·石家庄模拟 若 =2，则 =______．
5. 25·甘肃“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝． 风筝的形状如图所示，其中对角线 AC⊥BD．已知大 、 小风筝的对应边 之比为 3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为 30 cm 和 35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 ______ cm.
6. 25·安徽 如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC 的顶点和 A1 均为格点（网格线的交点）．已知点 A 和 A1 的坐标分别为（-1，-3）和（2，6）．
（1）在所给的网格图中描出边 AB 的中点 D，并写出点 D 的坐标；
（2）以点 O 为位似中心，将△ABC 放大得到△A1B1C1，使得点 A 的对应点为 A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．
B 级 能力过关
7. 25·沧州模拟 如图，已知∠B=30°，∠D=
130°，△ABC∽△DAC，则∠BCD 的度数为
（ ）
A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°
8. 25·浙江 如图，已知多边形 ABCDE 是五边形，A′B′C′D′E′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形，已知点 A，A′的坐标分别为（2，0），（3，0）．若 DE 的长为 3， 则 D′E′的长为 （ ）
9. 应用意识 如图，在大树 AB 的右侧有三个台阶 T1～T3，每个台阶的高、宽分别是0.2 m 和 0.4 m.某一时刻，测得台阶在地面上的影子 DE=0.45 m，此时树梢顶点A的影子落在点 G 处．已知大树 AB 的底部到台阶的距离 BC=1.9 m，则大树 AB 的高度约为 （ ）
A． 3 m B． 3.5 m C． 3.8 m D． 4.2 m
10. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ，AB=5，
BC=3，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到△RBS，其中点 A，C 的对应点分别为点 R，S，连接 AR，CS，其旋转角满足 0°＜∠ABR＜180°．
（1）如图 1，AC=______，在图中找出一
对相似但不全等的三角形 __________；
（2）当旋转到 AB⊥RS 位置时，记 CS 和
BR 的交点为 M．
①请在图 2 中补全图形；
②求 BM 的长．
C 级 中考新趋势题
11. 跨学科·物理 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图 1 中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．如图 2，在一次游戏中，小明距离墙壁 4 m，爸爸拿着的光源与小明的距离为 2 m．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应 （ ）
A． 增加 0.5 m B． 增加 1 m
C． 增加 2 m D． 减少 1 m
第四节 图形的相似及位似
A 级 基础巩固
1. B 2. B 3. B 4.
5. 195
6. 解：（1）如图，点 D 即为所求．
点 D 的坐标为（-2，-1）；
（2）如图，△A1B1C1 即为所求．
B级 能力过关
7. B
8. C
9. B
10. 解：（1）4 △ABR∽△CBS
（2）①当旋转到 AB⊥RS 位置时，A，B，S 三点共线，补全图形如图 1 所示；
②如图 2，过点 C 作 CE∥RB 交 AB 于点 E，则∠BEC=∠SBR，△SBM∽△SEC，
∵△RBS 是△ABC 绕点 B 顺时针旋转得到的，
∴∠RBS=∠ABC，SB=BC=3，
∴∠BEC=∠ABC，∴CE=BC=3，
过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
则 BE=2BD，∠CDB=∠ACB=90°，
又 ∵∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
C级 中考新趋势题
11. C
