(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江金华市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 判断点与圆的位置关系
2 0.75 根据旋转的性质求解；三角形内角和定理的应用；等边对等角
3 0.74 y=ax +bx+c的图象与性质；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
4 0.65 y=ax +k的图象和性质
5 0.65 事件的分类
6 0.65 由频率估计概率；根据概率公式计算概率
7 0.65 作角平分线(尺规作图)；相似三角形的判定综合；作垂线(尺规作图)；已知圆内接四边形求角度
8 0.65 比例的性质
9 0.64 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题
10 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；其他问题(二次函数综合)
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 二次函数图象与各项系数符号；根据交点确定不等式的解集；根据二次函数的图象判断式子符号
12 0.75 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；三角形内角和定理的应用；等边对等角
13 0.65 根据旋转的性质求解；相似三角形的判定与性质综合；三线合一；用勾股定理解三角形
14 0.65 三角形的外角的定义及性质；圆周角定理
15 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；根据概率公式计算概率；整式四则混合运算
16 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；特殊三角形问题(二次函数综合)；根据二次函数的图象判断式子符号
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 公式法解一元二次方程；由平行截线求相关线段的长或比值
18 0.74 其他问题(一次函数的实际应用)；销售问题(实际问题与二次函数)
19 075 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题
20 0.65 条形统计图和扇形统计图信息关联；画条形统计图；求扇形统计图的圆心角；列表法或树状图法求概率
21 0.65 利用平行四边形的性质证明；利用两角对应相等判定相似；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
22 0.65 用勾股定理解三角形；垂径定理的实际应用
23 0.64 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
24 0.4 角度问题(二次函数综合)；把y=ax +bx+c化成顶点式；相似三角形的判定与性质综合；面积问题(二次函数综合)2025—2026学年九年级上册期末考试（金华市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在同一平面内，已知半径为5的及点P，M，N，Q．若，，，，则在外的点是（ ）
A．P B．M C．N D．Q
2．如图，将绕着点逆时针旋转得到，若点的对应点恰好落在的延长线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：：：若为任意实数，则有：点在抛物线上时，方程的两根为，则，其中正确的结论的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．若点，，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开手机就有未接电话
B．学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖
C．从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6
D．五个人分成四组，这四组中有一组有两人
6．李明同学利用被等分成10份的转盘（如图①）做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，则最有可能符合这一结果的试验是（ ）
A．转动转盘后，出现比5小的数
B．转动转盘后，出现奇数
C．转动转盘后，出现能被3整除的数
D．转动转盘后，出现能被5整除的数
7．如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（ ）．
A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误
8．已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
10．对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③当时，；④其中正确结论的本数为 （填序号）
12．如图，以为直径的半圆经过的顶点，，点在上，，若，则 °．
13．如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ．
14．如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ．
15．如图所示两个矩形和，若矩形的周长是矩形的周长的倍，矩形的面积也是矩形的面积的倍，则称为矩形相对于矩形的“共比系数”．若时，矩形相对于矩形的“共比系数”为，则 ；若（均为正整数），则矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为 ．
16．如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）解方程：．
（2）如图，已知和，是的中点，是的中点，，求的值．
18．糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（元） 15 20 30 …
（斤） 100 80 40 …
(1)日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式；
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
19．已知二次函数（，，是常数，且）．
(1)若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
(2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
20．我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率．
21．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
23．如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点，连接．
(1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)如图2，连接和，若点P到x轴的距离为d，的面积为2d，求点P的坐标；
(3)如图3，当点P为第四象限抛物线上的一个点，连接和，作于点Q，当中存在某个内角等于度数的2倍时，请直接写出满足条件的点P的坐标．2025—2026学年九年级上册期末考试（金华市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D B D C A A B A
1．D
本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外． 根据点到圆心的距离即可得出答案．
解：∵的半径为，，，，，
∴，，,，
∴点P、M在圆内，N在圆上，Q在圆外．
故选：D．
2．C
本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得，，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解．
解：由旋转的性质得，，，
，
故选：C．
3．D
本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数的图象性质，二次函数图象与各项系数符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对称轴为直线，得， 结合函数图象，得当时，，且，得，当时，取得最小值，即，得二次函数与直线的一个交点为，即，，则，即可作答．
解：观察函数图象，得抛物线开口向上，
，
二次函数图象的对称轴为直线，即，
，故符合题意；
观察函数图象，当时，，
，
而，
，
，
，故符合题意；
时，取得最小值，
（为任意实数），
，
即，故符合题意；
点在抛物线上时，方程的两根为，
二次函数与直线的一个交点为，
二次函数图象的对称轴为直线，
二次函数与直线的一个交点为，
即，，
，故符合题意；
故选：D．
4．B
本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性，是解题的关键．
根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为，
∴当时，y随x增大而增大，
∵，，都在二次函数的图象上，且,
∴．
故选：B．
5．D
本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键．
根据必然事件的定义逐项判断即可．
解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意；
B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意；
C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意；
D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意．
故选D．
6．C
本题考查利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可．
解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为；
A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为，不符合题意；
B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为，不符合题意；
C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被3整除的数的结果有3种，故概率为，符合题意；
D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为，不符合题意；
故选C
7．A
本题主要考查相似三角形的判定、圆内接四边形的性质、作图-基本作图等知识点，掌握相似三角形的判定方法以及基本作图的方法是解题的关键．
第一种情况，由圆内接四边形的性质推出，而可判定；第二种情况：由作图知：，即可判定；第三种情况：由作图知：平分，E在的垂直平分线上，得到，推出，判定，进而完成解答．
解：第一种情况：
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
第二种情况：
由作图知：，
∵，
∴；
第三种情况：
由作图知：平分，E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的三种方法都正确．
故选：A．
8．A
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行变形即可．
解：，
，，，
故不符合题意，
故选A．
9．B
本题考查圆内接四边形，圆周角定理，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，，，，过点作于，则，进而得，根据，得，则，进而得，则，再根据三角形的中位线定理得，，则，由此得当为的直径时，为最大，最大值为4，据此可得的最大值．
解析：连接，，，，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，，
，
，
点，分别是，的中点，
，同理，
，
当最大时，为最大，
为的弦，
当为的直径时，为最大，
当时，为最大，最大值为．
故选：B．
10．A
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题，
分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围；
当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围.
解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当时，，即，
解得．
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线与y轴交点纵坐标为1，
∴，
解得：．
∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线经过点，
∴．
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线经过点，
∴，
解得：．
∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是或，
故选：A．
11．①②③④
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断④；利用图象法即可判断③．
解：∵二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，
，
∵二次函数的对称轴为直线，
，
，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
时，，
，
∴，即，故④正确；
由函数图象可知，当时，，故③正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④，
故答案为：①②③④．
12．110
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出的度数，根据圆周角定理得到的度数，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
解：如图，连接，
在中，，，
∴，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
故答案为：110．
13．
过点作于点，先求出，再由旋转的性质证明，得到，然后由等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解．
解：如图，过点作于点，
矩形的边长，，
，，
，
，
，
在中，，
由旋转的性质可知，，，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．
14．
本题主要考查圆周角定理和三角形外角定理，关键在于熟练掌握圆周角定理．根据，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角定理即可求得．
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15． 或3
第一空：根据题意建立关于的式子，消去，得到关于的一元二次方程求解即可；
第二空：同上思路，得到关于和的式子，进而可以看成关于的一元二次方程有两个正根问题，再将代入验证即可．
解：第一空：∵，
∴矩形的周长为，矩形的面积为，
∵，
∴矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，或；
第二空：同理（1）思路可得
矩形的周长为，矩形的面积为，
∵，
∴矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，
∴，，
∴可以把和看成一元二次方程的两个正根，
∴，
整理得，
∵（均为正整数），
∴，，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
∴共有组，符合题意的有组，
矩形相对于矩形的“共比系数”为的概率为，
故答案为：或；．
本题主要考查新定义，整式的混合运算，一元二次方程根的判别式，概率的计算，理解新定义的计算，整式的混合运算法则，根的判别式的计算，概率的计算方法是解题的关键．
16．①②④⑤
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断．
解：设抛物线解析式为，
即，
∵，
∴，所以②正确；
∵抛物线开口向上，
，
，即，
，
，所以①正确；
∵，
∴，故，所以③错误；
，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，有最小值，
，
即，所以④正确；
过点作于点，如图，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
，即，
解得，所以⑤正确；
∵，，，
，，，
当时，，
解得，（舍去），
当时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值为或，所以⑥错误．
故答案为：①②④⑤．
17．（1），；（2）．
本题主要考查解一元二次方程，平行线分线段成比例，掌握公式法求一元二次方程，平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键．
（1）先确定，，再运用求根公式，代入计算即可求解；
（2）根据，是的中点，得到，则有，所以有（或），即可求解．
解：（1），
，
则，．
（2），，
，
，
，是的中点，
，
，
，
（或）．
18．(1)
(2)每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答；
（2）根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答．
（1）解：设，
把，代入中得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：
，
，
当时，元，
每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元．
19．(1)①；②见详解；
(2)
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1) ①将代入，得，即可得；
②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论．
(2)由题意可得，求出h的取值范围即可．
（1）解∶①，
，
将代入，
得，
；
②证明∶令，
，
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点；
（2）解∶，点和在抛物线上，
对称轴为直线，，
，
解得，
的取值范围为．
20．(1)；详见解析
(2)
(3)
此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键．
（1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可；
（2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数；
（3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率．
（1）被调查的学生有（名），
足球人数：（名），
补全条形统计图如下：
（2），
故答案为：．
（3）
共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种，
甲和乙同时被选中的概率．
21．(1)见解析
(2)
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论；
（2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理得：．
22．(1)的长
(2)此时水面截线减少了
本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键．
（1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答；
（2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答．
（1）解：如图1：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长．
（2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，
∴
由题意可知：
在中，根据勾股定理得：，
∴ ，解得：，
∴，
∴，
∴此时水面截线减少了．
23．(1)见解析
(2)
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）如图，延长交于E，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论；
（2）如图，连接，设的半径为r，根据勾股定理列方程得到，从而得出结果．
（1）证明：如图，延长交于E，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
设的半径为r，
，，
，
在中，，
解得：
．
24．(1)，；
(2)或；
(3)或．
本题考查了二次函数的解析式求解与顶点坐标计算、三角形面积公式的坐标应用、含绝对值方程的分类讨论、相似三角形的判定与性质以及角度倍数关系的几何转化；解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，结合坐标表示线段长度与图形面积，通过构造辅助线转化角度关系，利用相似三角形建立线段比例，再结合分类讨论思想求解符合条件的点坐标．
（1）将抛物线与x轴交点A、B的坐标代入解析式，列方程组求b、c的值，再通过配方或顶点公式求顶点M的坐标；
（2）先求抛物线与y轴交点C的坐标，设P点坐标（利用抛物线解析式表示纵坐标），根据P到x轴的距离d确定d的表达式，再用坐标法计算的面积，结合面积等于列方程，求解并筛选y轴右侧的点P；
（3）构造辅助点N使，利用三线合一得，计算、；由证；分和两类，结合与的相似比，分别表示出P点坐标，代入抛物线解析式求解，舍去不合题意的解，得到最终P点坐标．
（1）解：将A、B代入，得
两式相减：→，代入得
∴抛物线解析式为，配方得，
∴顶点M
（2）解：由（1）得C，设P，则
面积
由，代入得
∵，分两种情况：
①：
→→舍去），
②：
→→舍去），
∴P或
（3）解：在 上取一点 N，使 ，
因，则（三线合一）．
过点A作于点F，过点Q作轴交y轴于点D，作于点E．
，
∴．
∵，
∴，
．
∵点Q在直线：上，
∴可设，则．
由知，则，又，
∴，又，
∴，则
下面分两种情况讨论：
情况一：若，则．
∴，则，
设，由勾股定理易得，
则
∴，
则点P横坐标，
点P纵坐标，
∴，代入，得，
整理得，解得或（不合题意，舍去），
；
情况二：若，同理可得．
，由勾股定理得，
，
，
，代入，得，
整理得，解得或（不合题意，舍去），
．
综上，或．
