2025—2026学年九年级上册期末考试（温州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C D B D A A C
1．D
本题主要考查了相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的图形为相似图形，据此可得答案．
解：A、两个半径不等的圆一定相似，不符合题意；
B、两个边长不等的正方形一定相似，不符合题意；
C、两个大小不等的正三角形一定相似，不符合题意；
D、两个长、宽均不相等的矩形不一定相似，符合题意；
故选：D．
2．B
本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可．
解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
时，函数的图象位于轴的下方，
且当时函数图象位于轴的下方，
当时，．
故选：．
3．D
本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握顶点式中顶点坐标为．
根据二次函数顶点式的坐标特征，直接确定顶点坐标．
解：对于抛物线的顶点式，其顶点坐标为．
在抛物线中，，
所以顶点坐标是．
故选：D．
4．C
本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可．
解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形，，
，
，
∴四边形的周长四边形周长，
∵四边形的周长是3，
∴四边形的周长是9，
故选：C．
5．D
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可．
解：连接，
∵四边形内接于，且，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
本题考查坐标与图形变化—旋转，直角三角形的性质，勾股定理．首先求出点的坐标，根据题意得四次一循环，第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等，再求出第一次旋转后点的坐标即可解答．
解：在中，，，，
∴，
∴，
，
由题意知，四次一循环，
，
第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等，
绕点顺时针第一次旋转，如下图所示：
由题意得：，
，，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：B．
7．D
根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出两次取出的小球的标号的和等于4的情况数，即可求出所求的概率．
解：列表得：
1 2 3 4
1 ﹣﹣﹣ （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） ﹣﹣﹣ （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） ﹣﹣﹣ （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两次取出的小球的标号的和不小于4的情况数是10，
所以两次取出的小球标号的和等于4的概率为．
故选：D．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．A
列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
解：列表如下：
-
-
-
-
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，
灯泡发光的概率为，
故选：A．
9．A
本题考查了二次函数与图形运动，二次函数的图象性质，等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，分别列出与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积y的表达式，然后结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
解：如图所示：
∵为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴当时，
此时是开口向下的二次函数，
如图所示：
依题意，
则
∴
故，
同理得出是等腰直角三角形，
∴当时，
此时是开口向上的二次函数，
观察四个选项，唯有A选项符合题意；
故选：A
10．C
此题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
解：如图，
A、和是同一个三角形的内角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、不是两个三角形对应相等的角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可以判断出与相似，故此选项正确；
D、且，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
11．
本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想．
根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可．
解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得，
方程的解为，
故答案为：．
12．/
本题主要考查圆中最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题．
解：∵，
，
∵为的中点，
，
在绕点旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图，
，
，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵为的中点，
∴，
由勾股定理得，，
∴的周长，
故答案为：．
13．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可．
解：∵是的直径，
∴，
又，
∴，
∵四边形内接于，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可．
解：由旋转性质得，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可．
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为： ．
故答案为：．
16．/
本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
根据题意，运用待定系数法，建立适当的平面直角坐标系，求得函数解析式，代入求值即可解答．
解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为轴，左边树为轴建立平面直角坐标系，
由题意可得，，
设函数解析式为
把、、三点分别代入得：
解得．
．
当时，米．
故答案为：．
17．(1)图见解析，，，，，，，，，，，，
(2)公平，理由见解析
本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算．
（1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可；
（2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解．
（1）解：画树状图为：
共12种等可能的结果，
点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，．
（2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足，
小明胜的概率为：，小红胜的概率为：，
这个游戏公平．
18．(1)见解析
(2)，
本题考查位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键．
（1）用位似比得出对应点位置，再顺次连接即可；
（2）根据位似变换的性质求出坐标即可．
（1）解：原点为位似中心，变换后为，
，横、纵坐标乘以，得变换后，
，横、纵坐标乘以，得变换后，
依次连接、、，得到的位似图形，如图所示，
（2）由（1）知，，．
19．(1)
(2)或
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及解一元二次方程，关键是求出抛物线解析式．
（1）把，代入，解方程组求出b，c的值；
（2）由（1）得出抛物线解析式为，设点P坐标为，根据三角形的面积列出关于m的方程，解方程即可．
（1）解：把，代入得：
，
解得；
二次函数解析式为；
（2）解：由（1）知，二次函数解析式为，
设点P坐标为，
的面积为6，，
∴，
∴，
即或，
解得：或，
∴或．
20．(1)老张的鱼塘中估计有条鱼
(2)池塘中的鱼约共重千克
本题主要根据样本百分比估算总体数量，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．
（1）根据样本估算总体数量的方法列分式方程求解即可；
（2）根据捞出条称得重量为千克，结合池塘鱼的数量即可求解．
（1）解：从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出条带有记号的鱼为条，
设老张的鱼塘中有条鱼，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴老张的鱼塘中估计有条鱼；
（2）解：捞出条称得重量为千克，
∴（千克），
∴池塘中的鱼约共重千克．
21．(1)
(2)当时，矩形面积最大
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质及应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先证，再利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求解；
（2）根据（1）的结论，再根据矩形的面积及二次函数的性质求解即可．
解：（1）是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
是的高，
，，，，
，
，
（2），
，
当时，矩形面积的最大值为．
22．(1)证明见解析
(2)
此题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理.
（1）根据垂径定理得到，则 ，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得出，等量代换得到，再根据等角对等边即可得解；
（2）根据勾股定理计算即可.
（1）证明：∵为的直径，点E是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵点E是弦的中点，
∴
设半径为，
在中，由勾股定理得，
解得．
23．(1)
(2)
本题考查二次函数的实际应用．
（1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式；
（2）当时，，解得或，进而可得结论．
（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得或，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为．
24．(1)，；
(2)
(3)点，的距离为，点的坐标为．
本题考查了勾股定理解三角形，解含有的直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到点M的运动轨迹，以及得到点，，三点共线时距离最大．
（1）根据点B的坐标以及，可求解的长度，由此可求解点A的坐标；再根据旋转角度可求解点C与点D的坐标，根据点M为的中点即可求解；
（2）作辅助线，根据旋转角度可得，再根据含有的直角三角形的特征以及中点，可得，以及，再根据平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”可得轴，由此可得，从而可计算点M的横纵坐标；
（3）先得到点M的运动轨迹，根据点，，三点共线可求解点，的距离；再根据三点共线可得，由此可得，构造等腰三角形，设未知数，利用勾股定理求解x的值，即可求解点C的坐标．
（1）解：∵，，
∴，
∴在中，，
∴点的坐标为；
当时，则绕点逆时针旋转得到，
∴可得点的坐标为，点的坐标为；
∴点的坐标为；
故答案为：，；
（2）解：记与x轴的交点为点E，连接，如图，
∵，则绕点逆时针旋转得到，
∴，且，
∴，
∵，，
∴在中，，
又∵点为中点，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴轴，
∴，
∴可得点M的纵坐标为，点M的横坐标为，
∴点的坐标为；
（3）解：根据题意可知，点M的轨迹是半径为1的圆，即，
当点，，三点共线时，点，的距离取到最大值，
∵点的坐标，
∴，
∴点，的距离，
过点C作轴交y轴于点H，在取点，使，如图，
由点的坐标可知，，
当点，，三点共线时，，
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，，
即，
∴，
又∵，
在中，，
即，
即，
整理可得，，
可得，
∴解得，
∴，
即，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为．2025—2026学年九年级上册期末考试（温州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列语句描述的各组图形中，不一定是相似形的是（ ）
A．两个半径不等的圆 B．两个边长不等的正方形
C．两个大小不等的正三角形 D．两个长、宽均不相等的矩形
2．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．或
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
5．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4．若一次性摸出两个，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为等腰直角三角形，，，正方形的边长也为2，且与在同一直线上，从点C与点D重合开始，沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止，设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
10．下列各组条件中，一定能推得与相似的是（ ）
A．且 B．∠A＝∠B且；
C．且 D．且
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．
12．如图，在扇形中，，，C为的中点，为上一点，且，连接，，在绕点旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
13．如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为
14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则 ．
15．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
16．如图，在相距的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高的小妹距较近的那棵树时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 m．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由．
18．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点B，C的坐标分别为，．
(1)以O为位似中心，在y轴的左侧作的位似图形，使与的位似比为2．
(2)写出点B，C的对应点，的坐标．
19． 如图，已知二次函数的图象与x轴交于，两点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点P的坐标．
20．“养鱼大王”老张为了与销售商签订购销合同，需要对自己池塘中鱼的总重量进行估计．为此，他先从鱼池中捞出条鱼，将每条鱼做上记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出条称得重量为千克，且带有记号的鱼为条．问：
(1)老张的鱼塘中估计有多少条鱼？
(2)池塘中的鱼约共重多少千克？
21．如图，在中，，边上的高，矩形的顶点、分别在边、上，顶点、在边上，若设，．
(1)求出与之间的函数表达式；
(2)直接写出当取何值时，矩形面积最大．
22．如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，求的半径．
23．小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为．
(1)如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________；
(2)如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标；
(3)在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可）(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江温州市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 相似图形
2 0.85 图象法解一元二次不等式
3 0.75 y=a（x-h） +k的图象和性质
4 0.75 相似多边形的性质；求两个位似图形的相似比
5 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
6 0.65 含30度角的直角三角形；坐标与旋转规律问题；用勾股定理解三角形
7 0.65 列表法或树状图法求概率
8 0.65 列表法或树状图法求概率
9 0.64 图形运动问题(实际问题与二次函数)；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质求线段长
10 0.64 相似三角形的判定综合
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 两直线的交点与二元一次方程组的解；根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=ax +bx+c的图象与性质
12 0.75 等边三角形的判定和性质；利用弧、弦、圆心角的关系求证；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
13 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
14 0.65 等边对等角；根据旋转的性质求解；三角形内角和定理的应用
15 0.65 列表法或树状图法求概率
16 0.64 其他问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
三、解答题
17 0.65 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
18 0.85 在坐标系中画位似图形；求位似图形的对应坐标
19 0.75 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式
20 0.75 用样本的频数估计总体的频数；分式方程的其它实际问题
21 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；相似三角形的判定与性质综合；求一次函数解析式
22 0.65 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
23 0.64 待定系数法求二次函数解析式；喷水问题(实际问题与二次函数)
24 0.4 写出直角坐标系中点的坐标；用勾股定理解三角形；含30度角的直角三角形；坐标系中的旋转
