2025—2026学年九年级上册期末考试（杭州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D C C B C C D C
1．C
本题考查概率的独立性，理解每次试验独立是解题关键．
抛掷硬币是独立事件，每次抛掷正面朝上的概率均为，与之前结果无关．
解：∵硬币是均匀的，
∴每次抛掷出现正面朝上的概率均为，
又∵各次抛掷相互独立，
∴第100次抛掷出现正面朝上的概率仍为．
故选：C．
2．C
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征．
由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下，
∴当函数值时，自变量x的取值范围是，
故选：C．
3．D
本题考查二次函数的实际应用，把代入函数解析式，进行求解即可．
解：∵，
∴当水珠与喷头之间的水平距离为2米，即时，，
∴此时水珠距离水面的高度为8米；
故选D．
4．C
本题主要考查了根据频率估计概率，根据频率稳定性原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察表中数据，随着射击次数增加，频率逐渐稳定在0.8左右，即可得出答案．
解：∵射击次数为400和1000时，频率均为，且频率在多次试验中趋于稳定，
∴这名运动员“射中9环以上”的概率估计值为．
故选：C．
5．C
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、最值和增减性即可．
解：∵ 函数 中，，
∴ 开口向上，A 正确，故选项不符合题意；
对称轴为直线 ，B 正确，故选项不符合题意；
∵ ，
∴ 函数有最小值，但选项 C 说最大值，故 C 错误，故选项符合题意；
当 时，函数在对称轴右侧，y随x增大而增大，D 正确，故选项不符合题意．
故选：C．
6．B
本题考查的知识点包括直角三角形的勾股定理、三角形中位线的判定与性质．运用勾股定理是解题的关键．先通过勾股定理求出的长度，再结合是中点、的条件，判定为的中位线，进而利用中位线性质求出的长度．
解：在中，由勾股定理：
，
，
,
∴，
点是的中点，即：
，
，即：点是的中点，
是的中位线
故选：B．
7．C
本题考查正多边形的性质，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，掌握正多边形的性质是解题的关键．
连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，根据正六边形的性质可求．在中通过解直角三角形可得，从而，即可求解．
解：连接，交于点，设正六边形和正方形的边长都为a，
∵六边形是正六边形，，是其对角线，
∴，平分，平分
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点J是正六边形的对角线的交点，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，即，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的性质证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出的长，即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
同理可得，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
解得，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
故选：C．
9．D
本题考查旋转的性质与坐标变化，直角三角形性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据旋转角度和旋转次数确定旋转周期，得出第次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置，过点作轴于点H，利用直角三角形性质和勾股定理即可求得点坐标．
解：将绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∵，
∴每旋转4次回到初始位置，
∵，
即次旋转相当于旋转个周期后再旋转2次，即如图的位置．
∵绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∴，
过点作轴于点H，
，
在中，，
∴，
，
∴的坐标为．
故选：D．
10．C
根据正方形性质，以及等边三角形性质，证明，即可判断①，根据正方形性质，以及等边三角形性质，得到，再利用三角形内角和定理，即可判断②，证明，即可判断③，证明，结合相似三角形性质，以及等边三角形性质，即可判断④．
解：四边形为正方形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故①正确；
四边形为正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
不一定等于，
故③错误；
四边形为正方形，为其对角线，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有①②④，共个；
故选：C．
本题考查了正方形性质，等边三角形性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
11．20
本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h．
解：，
∵，函数有最大值，
当时，小球运动中的最大高度为20．
故答案为：20．
12．
本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解．
直接根据函数图象作答即可．
解：由图可知，当时，
与有交点，
即若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．
故答案为：．
13．
本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可．
解：连接，，
四边形是的内接四边形，
，,
是的中点，
，
,
,
四边形是的内接四边形，
,
故答案为：．
14．
本题主要考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形性质，旋转的性质等知识点，作出适当的辅助线是解题的关键．
根据题意求出长，由旋转得长，过F点作，勾股定理得长，即可求得长．
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，即，
，
由旋转得，
，
过F点作交于H，如图：
，
，
∴，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
15．
本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可．
解：列表如下：
0 4
0
4
由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种，
两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率．
故答案为：．
16． /60度 3
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据判定定理找出全等的三角形和相似的三角形是解题关键．
等边三角形每条边都相等，每个内角都是，又因为，，得出，从而得到．是的外角，等于两个不相邻的内角之和，等量替换后，得出．在第一空的基础上，进一步可以得到，于是．
解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，3．
17．见解析
本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．证法一：连接，则，根据是的直径，可得，即可解答；证法二：连接，根据圆内接四边形的性质可得，再由是的直径，可得，即可解答．
证法一：如图①，连接，则．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
证法二：如图②，连接．
∵ 四边形是的内接四边形，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．该圆形工件的半径．
此题考查了垂径定理的应用．根据线段垂直平分线段，得出，连接，则，再设的半径为，可得，然后解方程即可．
解：圆心落在上，平分，
线段垂直平分线段，
、、三点所在圆的圆心在上，
，
连接，则，
设的半径为，
，
，
，
解得：，
该圆形工件的半径．
19．(1)
(2)
本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是运用待定系数法求解析式．
（1）直接将点，，代入二次函数解析式，然后解方程组即可；
（2）将代入二次函数解析式求得m，即可求得点的坐标．
（1）解：将点，，代入得：，
解得：
∴二次函数解析式为．
（2）解：当时，
所以点P的坐标为．
20．(1)见解析
(2)
（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形；
（2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠得：，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形；
（2）解：由折叠可得：，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
设的长为x，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，即，
解得：（负值舍），
∴．
本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键．
21．(1)当或时，与相似；
(2)；
（1）本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是注意两种情况讨论；
（2）本题考查了二次函数的解析式与最大值，解题的关键是求出二次函数的解析式．
（1）解：，，
，
，
若时，，即，
解得：，
则当时，与相似；
若时，，
即，
解得：，
则当时，与相似，
综上所述：当或时，与相似；
（2）解：，
，
，
的最大值是．
22．(1)补全条形统计图见解析，40，
(2)280名
(3)
本题主要考查条形统计图与扇形统计图、画树状图法求概率等知识点，不重不漏地画出树状图是解题的关键．
（1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以即可得到D组的扇形圆心角的度数；再求出C组人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用800乘以睡眠时长大于等于9小时所占百分比即可解答；
（4）分别用A、B、C、D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的情况数，再运用概率公式求解即可．
（1）解：（名）
所以，小明一共抽样调查了40名同学；
D组的扇形圆心角的度数为：；
C组人数为：（名）．
补全条形统计图如下：
故答案为：40，．
（2）解：（名），
所以，该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生有280名．
（3）解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下，
因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种，
所以抽到1名男生和1名女生的概率是：．
23．(1)；
(2)向前大约走米．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式，解一元二次方程，求出二次函数的解析式是解题的关键．
（）由题意得，抛物线顶点坐标为，然后利用待定系数法求解即可；
（）当时，，解得，（舍去），从而求解．
（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
把代入解析式得，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得：，（舍去），
∴该队员应该向前走（米），
∴该队员应该向前大约走米．
24．(1)
(2)
(3)
（1）利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，进而得到为等边三角形，利用等式的性质即可得出结论；
（3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，利用平行四边形的判定与性质得到，设，则，利用等腰三角形的性质和矩形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理得到，化简，令的系数为0，即可得出结论．
（1）连接，，如图，
，，
，
的半径为，
，
在中，
．
（2）在上截取，连接，如图，
和所对的弧都是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
即．
（3）过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，
的值与无关，
，
（不合题意，舍去）或，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为．
本题主要考查圆的有关性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形、相似三角形来求解线段长度、角度以及参数值．2025—2026学年九年级上册期末考试（杭州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．小刚抛掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，当函数值时，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（ ）
A．3米 B．5米 C．6米 D．8米
4．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表（表中频率精确到0.01）：根据频率的稳定性，则这名运动员“射中9环以上”的概率估计值（结果保留小数点后一位）为（ ）
射击次数 20 40 100 200 400 1000
“射中9环以上”的次数 15 31 83 157 322 801
“射中9环以上”的频率
A． B． C． D．
5．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．有最大值 D．时，随增大而增大
6．如图，在中，，点是边的中点，于点，若，，则的长为（ ）
A． B．4 C．10 D．
7．如图，正六边形内作正方形，连接，交于点O，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，，，若，，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰顶点A在x轴的正半轴上， 且， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束时，点B的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H．给出以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球的运动时间之间的关系式为，则小球的最大高度为 ．
12．二次函数（为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
13．如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为
14．如图，中，，于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为 ．
15．已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
16．如图，在等边中，D，E分别是，边上的点，且，，连接AE，CD交于点F，则= ，= ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，是的直径，是弦，D是上一点，P是延长线上一点，连接．求证：（请用两种证法解答）
18．丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径．
19．已知二次函数的图象分别经过点，，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若在抛物线上，求出点的坐标．
20．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．
(1)证明：四边形是正方形；
(2)若矩形与原矩形相似，．求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么：
(1)当t为何值时，与相似.
(2)设的面积为y，求y与t的函数解析式，并求的最大值.
22．在学完九年级统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)将条形统计图补充完整，并回答问题：小明一共抽样调查了___________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为___________；
(2)若该校九年级有800人，请你估算该校每日平均睡眠时长大于等于9小时的学生人数；
(3)组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
23．如图，在浙一场篮球比赛中，金华队队员在距离篮筐中心（水平距离）处跳起投篮，已知球出手时距离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度，此时高度为．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线的一部分，篮筐中心距离地面3m．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)非常可惜，该球未命中篮筐．若该球员将球出手的角度和力度都不变，请求出该队员应该向前走或向后退大约多少米才能命中篮筐中心．（，保留一位小数）
24．如图，内接于，点是上的一个动点．
(1)如图1，若的半径为，，求的长．
(2)如图2，连接，．若，求的度数．
(3)如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江杭州市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 概率的意义理解
2 0.85 根据交点确定不等式的解集
3 0.84 喷水问题(实际问题与二次函数)
4 0.74 由频率估计概率
5 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
6 0.65 用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半；与三角形中位线有关的求解问题；由平行判断成比例的线段
7 0.65 根据正方形的性质求线段长；正多边形和圆的综合；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
8 0.65 等腰三角形的性质和判定；圆周角定理；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
9 0.64 根据旋转的性质求解；坐标与旋转规律问题；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形
10 0.4 根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边三角形的判定和性质
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 y=ax +bx+c的最值；投球问题(实际问题与二次函数)
12 0.75 根据二次函数图象确定相应方程根的情况
13 0.65 已知圆内接四边形求角度；同弧或等弧所对的圆周角相等
14 0.65 用勾股定理解三角形；利用平行四边形的性质求解；含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解
15 0.64 列表法或树状图法求概率
16 0.4 用SAS证明三角形全等（SAS）；相似三角形的判定与性质综合；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的性质
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；半圆（直径）所对的圆周角是直角
18 0.75 用勾股定理解三角形；垂径定理的实际应用
19 0.74 待定系数法求二次函数解析式；已知二次函数的函数值求自变量的值
20 0.65 矩形与折叠问题；根据正方形的性质与判定证明；相似多边形的性质
21 0.65 图形运动问题(实际问题与二次函数)；相似三角形——动点问题
22 0.65 条形统计图和扇形统计图信息关联；列表法或树状图法求概率；由样本所占百分比估计总体的数量；画条形统计图
23 0.64 待定系数法求二次函数解析式；投球问题(实际问题与二次函数)；公式法解一元二次方程；y=a（x-h） +k的图象和性质
24 0.4 圆周角定理；相似三角形的判定综合；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定
