2025—2026学年九年级上册期末考试（湖州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B A A A B D D
1．B
本题考查二次函数的图象和性质，直接根据顶点式，写出顶点坐标即可．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为 ．
故选B．
2．A
本题主要考查勾股定理的应用，旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．在中，，可知是直角三角形，，，根据勾股定理可知，将绕点逆时针旋转，所以，，所以连接（图示见详解），在中，根据勾股定理即可求解．
解：根据题意得，是直角三角形，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得，且，，
∴，如图所示，连接，
在中，．
故选：．
3．D
本题考查不可能事件的概念，熟练掌握概念是解决问题的关键．根据不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可．
解：A、运动员跳高成绩可能为米，为可能事件；
B、图钉抛掷时钉尖可能着地，为可能事件；
C、两条线段可能相交，为可能事件；
D、因为袋子中只有白球和红球，没有黄球，所以摸出黄球是不可能事件．
故选：D．
4．B
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其相关性质是解题的关键．观察解析式可知，，顶点坐标为 ，对称轴为 （即轴），进而根据二次函数的相关性质判断即可．
解：抛物线 中，，
图象开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为 （即轴），故选项A、C、D说法正确，不符合题意；
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
当时，随增大而减小，故选项B说法不正确，符合题意；
故选：B．
5．A
本题考查正多边形的内角和问题、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
根据正五边形的性质得到，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理及外角性质可证得，进而得，证明，利用相似三角形的性质列方程求解即可．
解：∵五边形是正五边形且边长为2，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
同理，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
故选：A．
6．A
本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角．构造弧所对的圆心角后即可求得答案．
解：如图，连接，
∵，
∴，
，
∴是正九边形的一条边，
故选：A．
7．A
本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
A、 与不一定相等，符合题意；
B、 ∵直径，
∴，故不符合题意；
C、∵直径，
∴，故不符合题意；
∴，故D不符合题意，
故选：A．
8．B
本题考查求弧的度数，斜边上的中线.
根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数即可．
解：∵，是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，
∴，
∴.
故选：B．
9．D
此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意；
B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意；
D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种，
故小明获胜的概率为，符合题意；
故选：D．
10．D
本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键．
根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可．
解：由图可知，，，
∴，
∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴，
四个选项中，符合要求的只有D选项，
故选：D ．
11．
本题考查了二次函数的增减性，关键是知识点的熟练应用；
先确定抛物线的对称轴和开口方向，再计算各点与对称轴的距离，根据二次函数的增减性判断函数值的大小．
解：∵二次函数 的对称轴为直线，且开口向上，
∴点 到对称轴的距离为，
点 到对称轴的距离为，
点 到对称轴的距离为，
∵抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，
又∵，
∴，
故答案为：．
12．
本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答．
解：∵点G是的重心，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长．
解：是的直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
14．/
本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟知最小时，最小是解题的关键．根据题意得到最小时，最小，即可解答．
解：线段绕点顺时针旋转得到线段，
为等腰直角三角形，
，
即最小时，最小，
如图，当时，最小，
根据勾股定理可得，
，
，
，
即的最小值是．
故答案为：
15．120
本题主要考查了概率的应用，根据概率的意义正确列出算式是解题的关键．
由题意可知标上记号豆子的概率为，然后再用标记豆子的数量除以概率即可解答．
解：由题意可知：瓶子中被标记豆子的概率为，
所以瓶子中豆子的总数为粒．
故答案为：120．
16．①②③
本题考查了二次函数与系数的关系；由抛物线开口方向得到，由抛物线与轴交点位置得到，则可对②进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对①⑤进行判断；由抛物线与轴的交点个数可对③进行判断；由于时函数值小于，则可对④进行判断．
解：抛物线开口向下，
，
抛物线与轴交点位于轴正半轴，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线，
，即，所以①正确，⑤错误；
抛物线与轴有两个不同的交点，
，所以③正确；
时，，
，所以④错误．
故答案为：①②③．
17．见解析
本题考查了全等三角形的判定，三角形的内角和，旋转的性质，先根据旋转的性质得，，再根据平角求出，进而可得，，再由中点的性质得，再利用证明即可．
证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
18．13.5厘米
本题考查了相似三角形的应用，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
像的高是13.5厘米．
19．（1）；
（2）详见解析．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并熟练运用所学知识．待定系数法求二次函数解析式、证明三角形的对应线段成比例．
利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
由可得，由已知条件，可证，根据相似三角形的判定定理即可证，由相似三角形的性质可得结论．
解：抛物线的对称轴为，
，
解得：，
抛物线的解析式为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为 ；
证明：，
，
，， ，
，
，
，
．
20．(1)
(2)
(3)或
（）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）联立两函数解析式，求出方程组的解即可；
（）根据函数图象解答即可；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）解：把代入二次函数，得，
解得，，
∴，
把代入一次函数，得，
∴；
（2）解：∵，
∴一次函数，
由，解得或，
∴点的坐标为；
（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或．
21．(1)见解析
(2)
本题考查了圆周角定理，直径所对圆周角的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键．
（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则,由题意可知 ，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，据此即可证明；
（2）先在直角三角形中，利用内角和得出，则，然后根据三角形内角和定理求解即可．
（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由条件可知，
，
．
22．(1)，B
(2)，
(3)估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人
(4)
本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键．
（1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可；
（2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以，计算求解即可；
（3）根据，计算求解即可；
（4）根据题意画树状图，然后求概率即可．
（1）解：由题意知，本次抽取的学生共有（人），
∴B等级人数为（人），A等级人数为（人），
∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级，
∴他们成绩的中位数落在B等级，
故答案为：、B；
（2）解：由（1）知B等级的人数为人；
∵D等级的人数为人,
∴，
∴扇形统计图中D等级所的百分比为；
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人；
（4）解：由题意画树状图如下；
共有种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8，
∵，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
23．(1)当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元
(2)每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键．
（1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可．
（1）解：根据题意，每份售价为元，销售量为份．
利润
令，得．
整理得：，解得，
售价不能高于75元，即，，
∴舍去．
答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元．
（2）解：
，
，抛物线开口向下，函数有最大值，
∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内，
∴当时，（元）．此时售价为（元）
答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元．
24．(1)抛物线的解析式为；
(2)
(3)或或
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标；
（2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解；
（3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可．
（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点，
则，
解得，
抛物线的解析式为：；
联立，则，
解得或，
当时，，
；
（2）为定值，且，
当的面积最大时，四边形的面积最大，
过点P作轴的垂线交于点K，
设点，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时，
四边形的面积的最大值为；
（3）解：抛物线的解析式为：，
令，则，
，
设，
，，，
是以为腰的等腰三角形，
当时，即，
，
解得：或（舍去）；
；
当时，即，
，
解得：或，
或；
综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江湖州市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.85 用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
3 0.75 事件的分类
4 0.75 y=ax +k的图象和性质
5 0.65 等腰三角形的性质和判定；相似三角形的判定与性质综合
6 0.65 圆周角定理；正多边形和圆的综合
7 0.65 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解
8 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用弧、弦、圆心角的关系求解；三角形的外角的定义及性质；等边对等角
9 0.64 根据概率公式计算概率；由频率估计概率
10 0.64 一次函数、二次函数图象综合判断
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
12 0.75 根据三角形中线求面积；重心的有关性质
13 0.65 含30度角的直角三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；圆周角定理
14 0.65 等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
15 0.65 已知概率求数量；概率的其他应用
16 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；二次函数图象与各项系数符号；抛物线与x轴的交点问题
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 三角形内角和定理的证明；全等的性质和SAS综合（SAS）
18 0.75 相似三角形实际应用；利用平行四边形的判定与性质求解
19 0.65 待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质综合
20 0.65 求一次函数解析式；根据交点确定不等式的解集；一次函数、二次函数图象综合判断；求抛物线与x轴的交点坐标
21 0.65 同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（直径）所对的圆周角是直角
22 0.64 条形统计图和扇形统计图信息关联；列表法或树状图法求概率；由样本所占百分比估计总体的数量；由扇形统计图求某项的百分比
23 0.64 营销问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)
24 0.4 面积问题(二次函数综合)；特殊三角形问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；已知两点坐标求两点距离2025—2026学年九年级上册期末考试（湖州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，使点C落在线段上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
3．下面四个事件中，不可能发生的是（ ）
A．某运动员跳高的最好成绩是米
B．任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地
C．在纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．在一个装着白球与红球的袋中摸球，摸出黄球
4．对于抛物线，下列说法不正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而增大
C．顶点坐标为 D．对称轴为轴
5．如图，正五边形的边长为2，连接对角线，线段分别与和相交于点M、N，线段的长度是（ ）
A． B．2 C． D．
6．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（ ）
A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形
7．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反
C．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4
D．小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜
10．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数的图象上有三点、、，则、、的大小关系为 ．
12．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ．
13．如图，是的直径，若，，则的长等于 ．
14．如图，在正方形中，，点是延长线上一点，且，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ．
15．在一个瓶子中装有一些豆子，小明想估算瓶子中豆子的总数，他进行了如下操作：小明先从瓶子中倒出20粒豆子，接着小明给这些豆子全部标上记号，然后把这些被标上记号的豆子又重新装回瓶子中，充分摇匀后又从瓶子中倒出了一些豆子，发现倒出的30粒豆子中，被标记的豆子有5粒．小明通过计算得出瓶子中豆子的总数为 粒．
16．二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤．则上述结论正确的是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，，，是的中点，为边上一点且满足．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．求证：．
18．在凸透镜成像的实验中，我们有时无法直接测量出像的大小，但可以通过数学知识计算出来．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，请你根据以上数据求出像的高是多少厘米？
19．（1） 已知抛物线的图象经过点，其对称轴为．求抛物线的解析式．
（2）如图，在中，，点，分别是，边上的点，且．
求证：
20．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点．
(1)求的值；
(2)求点的坐标；
(3)根据图象，直接写出当时的取值范围．
21．如图，是的内接三角形，是的直径，过点B作交的延长线于点D，点E在上，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
22．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：
(1)本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级；
(2)频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______；
(3)若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人；
(4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____．
23．某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元．
(1)当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？
(2)五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
24．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；
(2)请求出四边形的面积的最大值；
(3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
