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浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江绍兴市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.85 投球问题(实际问题与二次函数)
2 0.85 二次函数图象的平移
3 0.75 y=ax +k的图象和性质
4 0.74 选择或补充条件使两个三角形相似
5 0.65 由平行截线求相关线段的长或比值
6 0.65 含30度角的直角三角形；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形；坐标与图形综合
7 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
8 0.65 根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质
9 0.64 由频率估计概率；根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
10 0.4 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定；求弧长
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 销售问题(实际问题与二次函数)
12 0.75 y=a（x-h） +k的图象和性质
13 0.74 y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与x轴的交点坐标
14 0.65 由平行截线求相关线段的长或比值
15 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形
16 0.64 其他问题(一元一次方程的应用)；已知概率求数量
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 y=a（x-h） 的图象和性质
18 0.75 三角形内角和定理的应用；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
19 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
20 0.65 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
21 0.65 求一次函数解析式；销售问题(实际问题与二次函数)；y=ax +bx+c的最值
22 0.64 把y=ax +bx+c化成顶点式；根据交点确定不等式的解集；一次函数、二次函数图象综合判断；求抛物线与x轴的交点坐标
23 0.4 相似三角形实际应用；由平行截线求相关线段的长或比值
24 0.4 拱桥问题(实际问题与二次函数)；垂径定理的实际应用；待定系数法求二次函数解析式；用勾股定理解三角形2025—2026学年九年级上册期末考试（绍兴市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（ ）
A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒
2．将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，能使的条件是( )
A． B． C． D．
5．如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为， E是圆上一点，，则圆心C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
10．如图，是的直径，，点B、C在上，，的延长线交于点E．且．下列说法中错误的是（ ）
A． B．的长为
C．平分 D．C为的中点
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大．
12．已知点，，的图像都在二次函数上，则，，的大小关系是 ．
13．抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ．
14．如图，直线，如果，，那么线段的长是 ．
15．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是 ．
16．盒子中有x枚黑棋和30枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．往盒子中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，则x的值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点．
(1)求，两点的坐标；
(2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标．
18．如图，在四边形中，平分，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
19．如图，是等腰直角三角形的外接圆，是直线下方的圆上一动点，的角平分线交于点，连接．
(1)若，，
①求的长；
②求的长；
(2)探究线段、、三者间的数量关系，并加以证明．
20．2024年酒泉市第二中学九年级学生计划到酒泉市周边的旅游景区去研学，根据酒泉市《旅游指南》2024年1月酒泉市已有五家国家级旅游景区，分别为A：嘉峪关长城景区；B：敦煌莫高窟旅景区；C：航天发射基地；D：瓜州榆林窟；E：金塔胡杨林景区．如果九年级计划从中选择部分景区研学．
(1)九年级任选一家去研学，选择B：敦煌莫高窟景区的概率是多少？
(2)若九年级选择了B：敦煌莫高窟旅景区，他们再从A，C，D，E四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
21．推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元） 30 40 45
销售数量y（件） 100 80 70
(1)求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(2)销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元．
22．已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，根据图象回答下列问题：
(1)点A坐标为______，方程的解是______；
(2)当x取何值时，？______；
(3)若二次函数的图像与直线有两个交点，则k的取值范围是______．
23．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，．
(1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长．
(2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示）
(3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
24．如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由．
(3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由．2025—2026学年九年级上册期末考试（绍兴市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B B A B D C C
1．C
本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答．
解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为
∴一枚炮弹从发射到落地，即
∴，
则，
解得（舍去），
∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒，
故选：C
2．A
本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解．
解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即．
故选：A
3．A
本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据二次函数的性质，进行判断即可．
解：，
∵，，
∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴，
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴二次函数的图象大致是：
．
故选：A．
4．B
本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解．
解：，
A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；
B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意；
C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；
D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；
故选：B．
5．B
本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可．
，
即
故选：B．
6．A
本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，可得．再根据点C是AB的中点求出点C的坐标．
解：∵、、、都在圆上，，
∴，
∵，
∴是的直径，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的直径，
∴圆心C的坐标为，即圆心C的坐标为
故选：A．
7．B
本题结合图形的性质，考查轴对称－最短路线问题．本题是要在上找一点P，使的值最小，设是A关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果．
解：作点A关于直径的对称点，连接，交于点P，连接，，，，，
∵点A与关于对称，
∴，
∴，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．D
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数．
解：，
．
将绕点顺时针旋转角至，
，，
是等腰三角形，且，
是等边三角形，
．
故选：D．
9．C
本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解．
解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，
A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意；
C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意；
D、同时掷两枚质地均匀的硬币，
共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意；
故选：C
10．C
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
A、根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得，根据等边对等角得出，等量代换即可得到；
B、根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，再根据弧长公式计算得出劣弧的长；
C、由，而，得出不平分．
D、根据圆周角定理得出，即，根据等角对等边得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据圆周角定理得到点为的中点；
解：A、四边形是的内接四边形，
，
，
，
，故A正确，不符合题意；
B、四边形是的内接四边形，
，
而，
，
是的直径，
，
，
，
劣弧的长，故B正确，不符合题意；
C、是的直径，，
，
，
由B选项知：，
，
不平分，故C错误，符合题意．
D、是的直径，
，即，
由A选项证明知道，
，
，
点为的中点，故D正确，不符合题意；
故选： C．
11．8
本题考查了二次函数的应用．
设当涨价a元时，单日利润为W元，则，即可求解．
解：设当涨价a元时，单日利润为W元，
则，
因为，抛物线开口向下，
所以当时，，
即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大．
故答案为：8．
12．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
根据题意得到抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，然后比较三个点到对称轴的距离即可求解．
解：在中，，对称轴为直线，
∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
，，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
本题考查二次函数与一元二次方程，
根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得．
解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，
设另一个交点为
，
解得：，
故另一个交点为，
关于的方程的解是：，
故答案为; ．
14．3
连接交于点G，证明，解答即可．
本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定是解题的关键．
解：连接交于点G，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴即，
∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：3．
15．
本题考查了垂径定理，中位线定理，勾股定理，由，得，，然后通过中位线定理可得，设的半径为，则，由勾股定理得，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
16．5
-此题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．根据盒中有x枚黑棋和枚白棋，得出盒子中共有枚棋，往盒子中再放进10枚黑棋后，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，再根据概率公式列出关系式，求出x的值即可．
解：∵盒子中有x枚黑棋和枚白棋，
∴盒子中共有个棋，
往盒子中再放进10个黑棋，盒子中共有枚棋，其中黑棋有枚，
根据取得黑棋的概率变为，
可得，
解得，
故答案为：5．
17．(1)，
(2)
本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）根据二次函数的性质解答即可；
（2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解．
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴点，
当时，，
∴点；
（2）设点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点为点关于对称轴对称的点，点，
∴点，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∵点在抛物线上，将代入抛物线得，
，
解得：，
∵在第一象限内，
∴，
∴点的坐标为．
18．(1)见解析
(2)的度数是．
此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识．
（1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；
（2）由相似三角形的性质得，则，所以．
（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是．
19．(1)①；②
(2)，证明见解析
本题主要考查了圆内接四边形的性质定理，勾股定理，直径定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，圆周角定理等内容，解题的关键是掌握以上性质．
（1）①根据直径定理得出直角，然后利用勾股定理求解即可；
②利用等腰直角三角形的性质得出相等边和角的度数，然后利用勾股定理求出，根据圆周角定理得出，根据等边对等角即可求解；
（2）将绕点逆时针旋转得，得出相等边，根据圆内接四边形的性质得出点D、B、F三点共线，然后利用勾股定理得出结论即可．
（1）解：①等腰直角三角形内接，
为圆的直径，
，
由勾股定理得；
②在等腰直角三角形中，
，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值已舍），
在中，，
为的角平分线，
.
，
，
；
（2）解：，证明如下：
，，
如图，将绕点逆时针旋转得，
即，
∴，，
四边形为圆的内接四边形，
，
，
即点D、B、F三点共线．
∴，
，
，
．
20．(1)
(2)
本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到选择A、D两个景区的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
（1）解：∵一共有五家旅游景区，且每个景区被选择的概率相同，
∴选择B：敦煌莫高窟景区的概率是；
（2）解：画树状图如下：
则一共有12种等可能性的结果数，其中选择A，D两个景区的结果数有2种，
∴选择A，D两个景区的概率为．
21．(1)；
(2)销售单价定为元时，最大利润是元．
此题主要考查了一次函数、二次函数的应用及二次函数最大值求法，解题的关键是根据题意列出函数关系．
（1）将点、代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得，根据x的范围以及二次函数的性质，即可求解．
（1）解：设香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：，
解得：，
函数关系式为；
（2）由题意得：，
，
抛物线开口向下，，
当时，有最大值，此时，
答：销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是元．
22．(1)；，
(2)或
(3)
本题考查了二次函数的图象与性质，包括函数解析式确定、与坐标轴交点、一元二次方程的解、函数值取值范围及函数与直线的交点问题；解题的关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合二次函数的顶点特征、开口方向分析对应问题．
（1）将点代入函数解析式求出的值；令解一元二次方程，所得根即为方程的解，也是点、的横坐标．
（2）令求出对应的值，根据二次函数开口向上的性质，确定时的取值范围．
（3）将二次函数化为顶点式，求出顶点纵坐标（函数最小值），结合开口方向确定的取值范围．
（1）解：∵ 函数过点，
∴ 代入得，解得，函数解析式为，
令，则，
因式分解得，解得，．
∴ 点坐标为，方程的解为，．
故答案为：；，．
（2）令，则
化简得，解得，
∵ 函数开口向上，
∴ 当或时，．
故答案为：或；
（3）
∵ 开口向上，顶点纵坐标为（函数最小值）
∴ 当时，直线与抛物线有两个交点
故答案为：．
23．(1)，
(2)
(3)
本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解；
（2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解；
（3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解．
（1）解：∵，点为中点时，
∴，
由题意可得：，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
如图，连接，
，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
24．(1)；
(2)能顺利通过隧道，理由见解析
(3)能顺利通过隧道，理由见解析
（）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解；
（）把代入（）所得函数解析式求出，与卡车高比较即可判断求解；
（）设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，利用勾股定理求得r的长，进而求出和的长度，得到的长度，再与卡车高比较即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，根据题意正确画出图形是解题的关键．
（1）解：设抛物线的函数表达式为，
由题意得，点坐标为，点的坐标为，
∵点在抛物线上，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下：
当时，，
∴这辆货运卡车能顺利通过隧道；
（3）解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下：
如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接，
∵为弧的中点，
∴，，
又由题意可得，，
∴，
∵，
，
解得，
∴，
，，
，
∴这辆货运卡车能顺利通过隧道．
