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浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江宁波市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 其他问题(实际问题与二次函数)
2 0.75 由频率估计概率
3 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质
4 0.65 选择或补充条件使两个三角形相似；利用三边对应成比例判定相似；利用两角对应相等判定相似；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
5 0.85 列表法或树状图法求概率
6 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；直角三角形的两个锐角互余
7 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解
8 0.65 利用菱形的性质求线段长；求绕原点旋转90度的点的坐标；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
9 0.64 y=a（x-h） 的图象和性质；已知反比例函数的图象，判断其解析式
10 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；相似三角形的判定与性质综合；根据正方形的性质证明
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 概率的意义理解
12 0.75 根据正方形的性质证明；利用两角对应相等判定相似；全等的性质和SAS综合（SAS）；角平分线的性质定理
13 0.65 含30度角的直角三角形；利用弧、弦、圆心角的关系求解；用勾股定理解三角形
14 0.65 求一次函数解析式；线段周长问题(二次函数综合)；一次函数与几何综合；根据成轴对称图形的特征进行求解
15 0.55 y=a（x-h） +k的图象和性质；y=ax +bx+c的最值；把y=ax +bx+c化成顶点式
16 0.64 已知概率求数量；由频率估计概率；根据概率公式计算概率
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 根据概率公式计算概率；已知概率求数量；分式方程的其它实际问题
18 0.75 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项；根据判别式判断一元二次方程根的情况；解一元二次方程——配方法；y=ax 的图象和性质
19 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；画y=ax +bx+c的图象；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
20 0.65 相似三角形的判定与性质综合
21 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定
22 0.65 利用垂径定理求值；求扇形面积；用勾股定理解三角形；圆周角定理
23 0.64 销售问题(实际问题与二次函数)
24 0.4 相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的性质2025—2026学年九年级上册期末考试（宁波市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B D D B C D B
1．A
本题主要考查了二次函数的实际应用，直接把代入对应的函数解析式中求出对应的路程即可．
解：当时，路程米．
故选：A．
2．C
本题主要考查用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，红球的摸出频率接近其概率，从而估算红球数量。
解：∵共摸了100次球，有69次摸到红球，
∴红球出现的频率为 ，
∵总球数为10个，
∴红球数量约为 个，
故估计红球数量为7个，
故选：C．
3．B
本题考查了二次函数值的大小比较，准确的计算是解决本题的关键．
通过直接计算二次函数在各点的函数值，比较大小即可得出结论．
解：当时，
，
当时，
，
当时，
，
∴，，，
故．
故选B．
4．B
本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；
先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：∵，
∴，
∴，
A、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
B、添加，无法判断，故此选项符合题意；
C、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
D、∵，，
∴，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．D
本题考查了求概率．
通过列表法列出所有等可能结果，总共有9种情况，两人都选豆包只有1种情况，因此概率为．
解：设为A，豆包为B，为C．
所有可能结果列表如下：
A B C
A
B
C
∵总结果数为种，
且两人都选豆包的结果为，只有1种，
∴他们恰好都选到豆包的概率．
故选：D．
6．D
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，
∴，
故选：．
7．B
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
解：∵，
，，故A正确；
∴，故C正确；
，，故D正确；
∵和无法确定相等，
无法判断，
故选：B．
8．C
本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键．
首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点在第三象限，过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解．
解：将菱形绕原点逆时针旋转，每次旋转，，
旋转4次后回到原来的位置，
，
第2023次旋转结束时，点在第三象限，
如图：过点作轴于点，延长到点，使，过点作轴于点，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
故第2023次旋转结束时，点的坐标为，
故选：C．
9．D
本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键．
由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可．
解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的顶点在x轴正半轴上，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
10．B
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，掌握通过相似，对线段长度之比进行转换是解题的关键．
延长交于点H，先证，得到，再通过，得到占的，占的，即可求解．
解：如图，延长交于点H，
四边形是正方形，
，
，
是的中点，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
故选：B．
11．
本题考查了从图像获取信息．
根据概率曲线图作答即可．
解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为．
故答案为：．
12．①②④⑤
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，相似三角形的判定；延长至点，使，通过证明，，然后结合全等三角形的性质判断①②，当时，根据角平分线的性质可得，即可判断③ ，根据，，即可得出结论④，根据正方形的性质以及已知条件可得，结合对顶角相等，即可证明．
解：如图，延长至点，使，
正方形中，，，
，
，，
又，
，
，
，
，
，，
，故①正确；
；故②正确；
∵，
∴
当时，
又，
，故③不一定正确；
，，
的周长
，故④正确；
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
又，
．故⑤正确
故答案为：①②④⑤．
13．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和含的直角三角形的性质，掌握勾股定理的应用是解此题的关键．
过D作于E，求出，再根据含的直角三角形的性质求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．
解：过D作于E，则，
∵点C是直径的三等分点，直径，
∴，
∴，
∵点D是弧的三等分点（弧弧），
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标．
解：直线与抛物线交于A、B两点，
联立，得或，
，，
．
过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示．
．
不变，
当三点共线时，最小，即的周长最小．
，
．
设直线的函数表达式为，将，代入得，
，解得，
，
当时，．
．
故填：．
15．
本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，由于抛物线开口向下，对称轴为直线，从而可得当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，根据二次函数的性质并结合题意，分情况讨论的取值范围，求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
解：∵，
∴二次函数的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，
∵，是二次函数图象上任意两点，当，时，始终成立，
∴结合当时，随着的增大而减小，可得当时，始终成立，
结合当时，随着的增大而增大，可得当，即时，，故不符合题意；
当时，要满足当，时，始终成立，可得，解得；
综上所述：的取值范围是，
故答案为：．
16．②③/③②
本题考查了根据频率估计概率，概率公式求数量，求概率．
先根据题意求出绿色卡片和红色卡片的数量，再逐一判断即可．
∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，
∴抽到红色卡片的概率为，
∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为，
∴①错误，②正确，③正确．
故答案为：②③．
17．(1)
(2)5个
本题考查了概率公式，根据概率求数量，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据概率公式计算即可得解；
（2）设放入个白色乒乓球，根据随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为列方程即可得解．
（1）解：从抽奖箱里随机取出一个球有7种等可能结果，其中是黄色乒乓球的有4种结果，
所以从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是．
（2）解：设放入个白色乒乓球，
由题意得：，
解得：．
经检验符合题意，
答：放入了5个白色乒乓球．
18．(1)①；②点的坐标或
(2)2或 14
本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等．
（1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可；
（2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案．
（1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”，
∴设，点，
，解得：，
②∵点在抛物线上，
∴设点，，即，解得，．
点的坐标或；
（2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，
∴设点，
有唯一解，
即，
，解得，．
即的值为2或．
19．(1)
(2)顶点坐标为，图见解析
(3)
本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）从表格中选择两个坐标，用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点公式求得顶点坐标，通过（1）中函数解析式，利用描点法画出函数图象即可；
（3）分类讨论，在对称轴左侧或在对称轴右侧，结合图象，找出函数最大值与最小值，据此求解即可．
（1）解：将点和代入二次函数得，
解得
因此，二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）知，二次函数的解析式为，
对称轴，
令得，
则顶点坐标为，
函数图象如下：
（3）解：由（2）可知，二次函数顶点坐标为，且开口向下，
由于时，二次函数的最大值与最小值的差为9，
当时，随的增大而增大，
令时，函数最大值为，
令时，函数最小值为，
则，
解得，
此时无解；
当时，最大值为，
令时，，
令时，，
若，
解得，
此时，的取值范围为，
若，
解得或，
此时，最小值为
则
解得或
此时无解，
综上所述，的取值范围为．
20．(1)见解析
(2)8
(3)
本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）先证明，即可证明；
（2）根据相似三角形性质可得，结合的面积为，得到，从而得到；
（3）当时，得，整理得，因为，得，整理得，即，故当时，，即可得，即可作答．
（1）证明：，
，，，
∵点，分别是线段，上的中点时，
∴
∴，
，
，
∴
；
（2）解：，
∴，，
由（1）得，
∴
∵
∴，
∴
的面积为，
设边上的高为，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
则
∴
则
故当时，，
此时．
21．(1)2
(2)成立，证明见解析
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．
（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，再得到，根据等腰三角形的三线合一，得平分，结合圆周角定理，即可得；
（2）连接．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明．
（1）解：如图，连接，
是直径，
，
即．
，
，
．
又，
．
故答案为：2．
（2）解：成立．
理由如下：如图，连接．
为直径，
，
，
，
，
，，
，
．
22．(1)
(2)
（1）根据，可得，再由勾股定理可得，然后利用三角形面积公式求出，再利用垂径定理即可求解；
（2）根据垂径定理可得，再由，可得，设，则，，根据，可得，即可求解．
（1）解：∵是的直径，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，扇形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．(1)（）
(2)当销售单价定为 28 元/kg 时，日获利最大，最大日获利为 46400 元．
(3)a=2
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据日获利每千克获利×销售量即可列出函数关系式；
（2）根据题意，利用二次函数的顶点式求得（1）中的函数最大值即可；
（3）根据题意列出此时的与的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值时，进而求得．
（1）解：
（），
∴，
（2）解：
，
，对称轴为，
时，取得最大值，最大值为元，
答：当售价为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元．
（3）解：当元时，网络平台将向商家收取元/（）的相关费用，
此时，
，
此时对称轴为：，
，
，
依题意把销售单价定为29元，日获利最大，
即，
解得．
24．(1)
(2)见详解
(3)
（1）根据等边三角形的性质可证，运用“边角边”证明即可求解；
（2）根据题意证明，得到，，再证明，由相似三角形对应角相等即可求解；
（3）根据正方形的性质，可证，由相似三角形的性质即可求解．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）解：∵是等腰三角形，，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，则，
∴，
同理，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，是对角线，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析，构造三角形相似是解题的关键．2025—2026学年九年级上册期末考试（宁波市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当时，该物体经过的路程为（ ）
A．88米 B．68米 C．48米 D．28米
2．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ）
A．3个 B．5个 C．7个 D．9个
3．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．小全和小华准备在比较热门的，豆包，三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选到豆包的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形的对角线交于原点O，，将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，点、分别在边、上，，是的中点．与相交于点．则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近 ．（精确到）
12．如图，在正方形中，已知，分别是边，上的点，且满足，，分别与对角线交于点，，连接，点在线段上．以下结论：①；②；③；④的周长等于；⑤．其中结论正确的是： ．(填序号)
13．如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点（弧弧），若直径，则的长为 ．
14．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________．
15．已知，是二次函数图象上任意两点，当，时，始终成立，则的取值范围是 ．
16．有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．在超市促销抽奖活动中，抽奖箱里有7个除颜色外毫无差别的乒乓球，其中3个是白色乒乓球，4个是黄色乒乓球．
(1)摇匀后，从中随机取出1个球是黄色乒乓球的概率是多少？
(2)若往抽奖箱里放入若干数量的白色乒乓球，调整后摇匀，随机摸出一个球是白色乒乓球的概率为．问放入了多少个白色乒乓球？
18．在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”．
(1)已知直线上的点是点的“2倍点”，
①若点在轴上，求点的横坐标．
②若点在抛物线上，求点的坐标．
(2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值．
19．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
… 0 1 2 …
… 0 3 4 3 …
(1)求二次函数的解析式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，请直接写出的取值范围．
20．【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题．
如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，．
(1)若点，分别是线段，的中点时，求证：．
证明：
，，．
……
请完成以上证明过程．
(2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______；
(3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值．
21．已知：中，，以为直径的交于点．
(1)如图1，当为锐角时，与交于点，连接，则与的数量关系是___________；
(2)如图2，若不动，绕点逆时针旋转，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中与的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
22．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且．
(1)若，求的长；
(2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）．
23．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某商家在网络平台上进行直播销售板栗为了提高大家购买的积极性，该商家每天在直播中拿出元现金作为红包发给购买者已知该板栗的成本价格为元kg，每日销售量单位：kg与销售单价单位：元kg的关系满足，销售单价不低于成本价且不高于元kg设该商家销售板栗的日获利为单位：元．
(1)求日获利单位：元与销售单价单位：元kg之间的函数表达式．
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大最大日获利为多少元
(3)当时，网络平台将向该商家收取元的相关费用，若把销售单价定为元kg时日获利最大，求的值．
24．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．
(1)【问题发现】
如图①，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为____________；
(2)【问题提出】
如图②，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明；
(3)【问题解决】
如图（3），在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接．若，求的长．
