2025—2026学年九年级上册期末考试（衢州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B B C B B D
1．A
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活应用定理，找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：，
，即，
解得：．
故选：A．
2．A
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
利用同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角是直角来求解．
解：∵是的直径，
∴．
∵与所对的弧都是，
∴．
∴．
故选：A．
3．D
本题主要考查二次函数一般式与顶点式的转化，掌握配方法是解题的关键．
由于二次项系数为1，直接使用配方法，加上一次项系数一半的平方，将一般式转化为顶点式．
∵
∴
∴
故选：D．
4．D
本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
解：∵，
∴，
即，
A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
5．B
因为点C是弧的中点，所以可知，又根据为直径，得到．由此求出，再利用圆内接四边形的性质求出的度数．
解：C为中点，若，
∴，
∵为直径，
∴．
∴，
∵为内接四边形，
∴，
∴，
故选：B．
此题主要考查圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题关键．
6．B
本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是．
解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作，
点的坐标为，
，，
，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
当最大时最大，
当点、、共线时有最大值，
的半径为，
的最大值是，
的最大值是．
故选：B．
7．C
本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验．
解：由题意知，试验的频率约为，
A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符；
B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符；
C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致；
D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符．
故选：C．
8．B
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．
解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和，
将A，两点的横坐标代入函数解析式得，
点坐标为，点坐标为，
∴，，，．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
9．B
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图象像与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图像与性质进行排除选项即可．
解：由图像可知：开口向下，即；抛物线与y轴交于负半轴，即，对称轴在y轴的右侧，即，
∴，即且，故⑤正确；
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于不同的两点，
∴，故②正确；
由图象可知：当时，则有，当时，则有，故③错误，④正确；
综上所述：正确的有②④⑤，共3个；
故选B．
10．D
本题考查反比例函数的性质，二次函数的顶点坐标，先根据图形的面积求出反比例函数的比例系数，再根据二次函数的性质即可得出顶点坐标．
解：根据题意得：，
所以或，
所以抛物线为，
所以顶点坐标是或，
故选：D．
11．
本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况，
故A，B之间电流能够正常通过的概率是；
故答案为：．
12．，
本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可．
解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线，
∴点也在的图象上．
∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，．
故答案是：，．
13．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
解：
．
故答案为．
14．
本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可．
解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：35．
15．/70度
本题考查了圆内接四边形的性质，弧弦圆心角的关系，等腰三角形的性质等，连接，由圆内接四边形的性质和补角性质可得，即得，又由得，即得到，再根据等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，连接，
∵四边形内接于，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
本题考查二次函数的顶点，根据得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可．
解：∵顶点坐标为，
∴设，消去得，
∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是，
故答案为：．
17．(1)（答案不唯一）
(2)①证明见解析；②
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键．
（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解；
（2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解；
（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
即：方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
（2）解：①令，则，
，
一定存在两个“点”．
②设，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
18．(1)见解析
(2)的长为4
此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识．
（1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明；
（2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为4．
19．(1)见解析
(2)
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度．
（1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证；
（2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得．
（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由(1)得，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
20．(1)
(2)
该题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据是的直径，得出，再根据圆周角定理得出，即可求解．
（2）连接，根据垂径定理得出，根据圆周角定理得出，从而得出，等角对等边得出．设，则，．在中，根据勾股定理列方程求出，即可求解．
（1）解：∵是的直径，
∴．
∵．
∴．
（2）解：连接，
∵，是的直径，
∴．
∵．
∴．
∴．
设，则，．
在中，，
∴．
解得：（负值舍去）．
∴．
21．(1)能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44；
(2)
此题主要考查了利用树形图求概率．
（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和能组成的两位数的情况数；
（2）结合树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，由概率公式即可求出其概率．
（1）解：画树形图如下：
有图可知，能组成的两位数有：22，23，24，32，33，34，42，43，44；
（2）解：由树状图可知组成的两位数能被3整除的数有33，42，24，
∴组成的两位数能被3整除的概率是．
22．(1)水管的长度为米
(2)景观射灯与池中心的水平距离为7米
(3)水管要升高米
该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．
（1）将点B的坐标代入即可求解；
（2）把代入解析式，即可求解；
（3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解；
（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米，
将点B的坐标代入中，
得
解得，
∴．
令，得，
∴水管的长度为米；
（2）解：由题意得，令
解得，（舍去），
∴顶端F的横坐标为，
∴景观射灯与池中心的水平距离为7米；
（3）解：设水管要升高h米，
∴升高后的抛物线的解析式为．
当时，，
∴
，
∴，
答：水管要升高米．
23．(1)
(2)
(3)或
本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数得增减性、二次函数最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题易得，再代入二次函数求解即可；
（2）由P在第二象限可知，进而得到，再根据增减性求解即可；
（3）由易得0，再分类讨论，根据点P和点Q在对称轴同侧和异侧问题，利用增减性和对称性建立不等式求解即可．
（1）∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合，
∴，点Q的横坐标为3，
∴，
将代入得，，
抛物线的函数表达式；
（2）解：令，则．
或．
解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，．
点在第二象限，
，
，
点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小，
当时，，当时，，
；
（3）令，
解得或，
，
，
解得，
，
所以符合条件的两种情况如图所示：
①当点、位于对称轴两侧时，如图1，
∴
解得，
∴；
②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2
，
解得：，
综上所述：或．
24．(1)①，理由见解析②
(2)
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①证明，即可解答；
②延长交于点G，证明，得到，设，则，根据勾股定理可得，，再证明，得到，证明，得到，即可求解；
（2）当中边上的高最小时，的面积最小，即当E，C，三点共线时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可解答．
（1）解：①，理由如下：
如图1，由折叠可得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图2，延长交于点G，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：x，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：如图3，由折叠可得：
当中边上的高最小时，的面积最小，
即当E，C，三点共线时，的面积最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的面积，
即面积的最小值为，
故答案为：．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上册期末考试
（浙江衢州市专用）试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
2 0.85 半圆（直径）所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等
3 0.75 把y=ax +bx+c化成顶点式
4 0.74 选择或补充条件使两个三角形相似；利用两角对应相等判定相似；利用三边对应成比例判定相似；利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似
5 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；圆周角定理
6 0.65 用勾股定理解三角形；点与圆上一点的最值问题；斜边的中线等于斜边的一半
7 0.65 关于频率与概率关系说法的正误；根据概率公式计算概率；由频率估计概率
8 0.65 根据正方形的性质求线段长；特殊四边形(二次函数综合)
9 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；二次函数图象与各项系数符号；根据二次函数的图象判断式子符号
10 0.64 y=a（x-h） +k的图象和性质；根据图形面积求比例系数（解析式）
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 列举法求概率
12 0.75 根据二次函数图象确定相应方程根的情况；y=ax +bx+c的图象与性质
13 0.65 相似三角形的判定与性质综合；比例的性质
14 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
15 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；圆周角定理；三角形内角和定理的应用；等边对等角
16 0.64 y=a（x-h） +k的图象和性质
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
18 0.75 等边三角形的判定和性质；相似三角形的判定与性质综合；含30度角的直角三角形
19 0.65 用SAS证明三角形全等（SAS）；用勾股定理解三角形；根据正方形的性质证明；根据旋转的性质求解
20 0.65 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形；半圆（直径）所对的圆周角是直角
21 0.65 列表法或树状图法求概率
22 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；喷水问题(实际问题与二次函数)；待定系数法求二次函数解析式
23 0.64 y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式；y=ax +bx+c的图象与性质
24 0.4 矩形与折叠问题；相似三角形的判定与性质综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形2025—2026学年九年级上册期末考试（衢州市专用）
数 学
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．如图，直线，直线和被，，，，则的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．6
2．如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．将二次函数化为的形式，结果为( )
A． B． C． D．
4．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为内接四边形，为直径，C为中点，若，则（ ）
A．128° B．116° C．154° D．126°
6．如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
8．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数（）的图像如图所示，下列结论：；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．点A是双曲线上的一点，过A作垂直x轴于B，的面积为2，则抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是 ．
12．二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是 ．
13．如图，分别是的边上的点，，，且，则的长为 ．
14．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ．
15．如图，四边形内接于，为的直径，．点在的延长线上，若，则的度数为 ．
16．已知二次函数（为常数）．当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当，，，时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
(1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
(2)已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
18．如图，点D、E、F分别在等边的三边上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．如图，是的直径，弦交于点E，．
(1)求的度数；
(2)若，，求的长．
21．在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字2，3，4．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位数字，然后放回，再取出一个小球，用小球上的数字作为个位数字，这样组成一个两位数，请用列表法或画树状图的方法完成下列问题．
(1)按这种方法能组成哪些两位数？
(2)组成的两位数能被3整除的概率是多少？
22．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米．
(1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度；
(2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离；
(3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点在第二象限内时，求的取值范围．
(3)若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围．
24．在矩形中，宽，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠．
(1)如图1，若，将矩形沿折叠后，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，交于点M．
①判断与是否相等，并说明理由；
②连接交于点N，若，求的值；
(2)如图2，若矩形的长，将矩形沿折叠后，点A、D的对应点分别是点，连接，直接写出面积的最小值为 ．
