课件17张PPT。第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数知识点一知识点二知识点一二次函数的定义及一般形式
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
名师解读:
(1)任何一个二次函数的解析式,都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此,把y=ax2+bx+c叫做二次函数的一般式,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项,b叫做一次项系数,c叫做常数项.
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)中,x,y是变量,a,b,c是常量.自变量x的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,当然都可以为0,a必须是不等于0的实数,因为a=0时,y=ax2+bx+c就变成了y=bx+c,就不再是二次函数了.知识点一知识点二知识点一知识点二解答这类问题的一般方法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断. 知识点一知识点二知识点二根据实际问题列二次函数解析式
根据实际问题建立函数解析式的步骤:
(1)仔细审题,设出适当的自变量;
(2)找出等量关系,列出函数解析式;
(3)根据问题的要求,作适当的变形;
(4)根据实际要求,写出自变量的取值范围(在较为复杂且没有要求的情况下,也可不必写出).
名师解读:列二次函数解析式可以类比列方程或列不等式进行,关键是抓住问题中的数量关系或利用常用的公式等.知识点一知识点二例2 (2015春·乐平市期末)长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(其中x>0),面积为y cm2,则这样的长方形中y与x的关系可以写为( )
A.y=x2 B.y=12-x2
C.y=(12-x)·x D.y=2(12-x)
解析:先表示出长方形的另一边长,再利用长方形的面积公式表示出函数解析式.∵长方形的周长为24 cm,其中一边长为x cm(其中x>0),∴长方形的另一边长为12-x(cm).
∴y=(12-x)·x.
答案:C知识点一知识点二解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的基本数量关系(如:路程=速度×时间、总价=单价×数量、面积公式、体积公式等),把相等关系表示出来,最后整理即可. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一根据二次函数的定义求字母的值
例1 若y=(m2+m) -x+3是关于x的二次函数,则( )
A.m=-1或m=3
B.m≠-1且m≠0
C.m=-1
D.m=3
解析:利用二次函数的定义得出(m2+m) 是二次项,可得该项系数不为0,次数为2,进而可求m的值.
∵y=(m2+m) -x+3是关于x的二次函数,∴m2+m≠0,且m2-2m-1=2,由m2-2m-1=2解得m=-1或m=3,又由m2+m≠0解得m≠0且m≠-1,故m=3.
答案:D拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程(方程组或不等式)求解. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二根据实际问题列函数解析式
例2 某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.设每个房间每天的定价增加x元.
求:(1)宾馆每天的入住量y(间)关于x(元)的函数解析式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数解析式.
分析:(1)根据题意可知,该宾馆共有60个房间,x表示每个房间每天的定价增加量,定价每增加10元时,就会有一个房间空闲,空闲房间个数为 ,用入住量=60-空闲房间个数,列出函数解析式;
(2)根据宾馆每天的房间收费=每间房实际定价×入住量y,每间房实际定价=200+x,列出函数解析式.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三 解答这类问题,关键是找出符合题意的数量关系,如本题影响每天的房间收费的两个因素为每间房实际定价和入住量y与定价增加x的关系. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与二次函数的定义有关的综合题
例3 已知函数y=(m2-m-2) +(m+1)x+m.
(1)当m取何值时为一次函数?并求出其关系式;
(2)当m取何值时为二次函数?并求出其关系式.
分析:(1)该函数是一次函数的条件是m2-m-2=0且m+1≠0,或m2-5m-4=1且m2-m-2+m+1≠0,或m2-5m-4=0且m+1≠0;拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三 解答这类问题时注意:是二次函数时,必须有二次项,即自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零;是一次函数时,要分三种情况讨论,不论哪种情况,解析式中不能有二次项,且一次项系数不能为零. 课件28张PPT。22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数y=x2的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
对于特殊的二次函数y=x2,对称轴是y轴,顶点是(0,0),顶点是它的最低点,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
名师解读:理解和记忆二次函数的性质时,可以从y=x2得到启发,其他二次函数的图象及性质可类比y=x2的图象和性质,主要从开口方向、对称轴、顶点、增减性等几个方面去进行.知识点一知识点二知识点三例1 通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.
分析:首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.
解:列表,得:
描点,连线如图所示.知识点一知识点二知识点三画二次函数的图象,列表时取的点越多,图象往往越准确,但是一般采用“五点法”或“七点法”画图,画图时应注意: (1)描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分,是近似的,由于x可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的; (2)点取得越多,图象画得越精确,在限定条件下(即限定自变量的取值范围)或在实际问题中,函数的图象必须要根据自变量的取值范围取其中的一部分; (3)所画图象必须平滑(符合点的发展变化的趋势),尤其是顶点不能画成“尖”形的. 知识点一知识点二知识点三知识点二y=ax2的图象
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.对于y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越小.
名师解读:二次函数y=ax2的图象是抛物线,结合图象可知,二次项系数a的符号决定了开口方向,|a|决定了开口的大小.知识点一知识点二知识点三例2 (1)在同一坐标系中,画出下列函数的图象:
(2)从解析式、函数的对应值表、函数三个方面对比,说说解析式中二次项的系数a对抛物线的形状有什么影响.
分析:(1)列表、描点、连线,可得函数图象.
(2)观察图象即可得出.知识点一知识点二知识点三解:(1)列表如下: 描点:以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出各点,
连线:用平滑的曲线连接各点,如图所示.知识点一知识点二知识点三(2)a的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同;|a|越大,抛物线开口越小.知识点一知识点二知识点三在用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时,取相应的x与y的值时,应从原点(0,0)开始左右对称地取值.为了描点准确与方便,尽量取坐标为整数的点,其图象是向两方无限延伸的,当选取的点越多时,所画出的图象越精确. 知识点一知识点二知识点三知识点三y=ax2图象的性质
从二次函数y=ax2的图象可以看出:如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
名师解读:当a>0时,理解二次函数的性质可以利用y=x2的图象进行描述,当a<0时,可以根据y=-ax2和y=ax2图象的对称性进行对比描述.知识点一知识点二知识点三例3 已知抛物线y=ax2(a≠0),当a取不同的值时,下列说法正确的是( )
A.顶点坐标不同 B.对称轴相同
C.开口方向一致 D.都有最低点
解析:根据二次函数的顶点坐标,对称轴和开口方向以及最高(低)点等,对各选项分析判断利用排除法求解.对于A,不论a为何值,顶点坐标都是(0,0),故本选项错误;对于B,不论a为何值,对称轴为y轴,故本选项正确;对于C,a>0,抛物线开口向上,a<0,抛物线开口向下,所以开口方向一致是错误的,故本选项错误;对于D,a>0,有最高点,a<0,有最低点,故本选项错误.
答案:B知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,可借助于y=x2和y=-x2的图象和性质逐一对照(相当于特殊值法),然后再作出判断. 知识点一知识点二知识点三例4 已知函数y=ax2的图象过点 .
(1)简述函数y=ax2的性质;
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
分析:(1)把点 代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函数的性质.
(2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1例1 已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,-0.5).
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象;
(2)请写出这个二次函数的顶点坐标及对称轴.
分析:(1)将点A(-1,-0.5)代入y=ax2即可得到a的值;
(2)根据二次函数y=ax2的图象和性质直接写出其顶点坐标和对称轴即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)将点A(-1,-0.5)代入y=ax2得,a=-0.5,故其解析式为y=-0.5x2;
画出其图象如图所示.
(2)顶点坐标为(0,0),对称轴为x=0.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四由于y=ax2中只有一个未知字母a,所以只需一个条件(图象上一个点的坐标或一对对应值)利用待定系数法就可以确定其解析式. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二二次函数y=ax2的图象与一次函数的图象共存同一坐标系的问题
例2 在同一坐标系中画出一次函数y=ax+a和二次函数y=ax2的大致图象正确的是( )拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解析:根据a的符号分类,a>0时,在A,B中判断一次函数的图象是否相符,a<0时,在C,D中进行判断.①当a>0时,二次函数y=ax2的图象开口向上,一次函数y=ax+a的图象经过第一、二、三象限,排除A;②当a<0时,二次函数y=ax2的图象开口向下,一次函数y=ax+a的图象经过第二、三、四象限,排除C,D.
答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,一般用排除法,首先根据抛物线的开口方向,确定二次函数二次项系数a的符号,然后再根据一次函数确定a的符号,如果相同,说明可能正确;如果不同,直接排除.按照这种方法逐一判断,直至找出正确答案为止.特别注意个别问题需要再结合一次函数与抛物线的公共点的位置才能确定最后答案. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三与y=ax2的图象和一次函数图象交点有关的问题
例3 如图,已知抛物线y=ax2(a≠0)与直线AB交于点P(4,-4),连接OP,OP=AP,求二次函数的解析式及抛物线与直线AB另一个交点B的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:将P点坐标代入抛物线解析式中求出a的值,即可确定出抛物线解析式,过点P作PQ⊥OA,则Q(4,0),再根据OP=AP,得A(8,0),设直线AB的解析式为y=mx+n,将A,P坐标代入直线解析式y=mx+n,求出m,n的值,联立两函数解析式求出另一个交点B即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答求二次函数与一次函数图象的公共点的坐标问题时,把两函数的解析式联立组成方程组,方程组的解就是两函数图象的交点坐标,然后再结合其他条件解答相关问题. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与y=ax2有关的综合题
例4 如图所示,抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一个交点A.
(1)求A点坐标;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△AOP是以OP为底的等腰三角形?若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,先由函数解析式求得交点的坐标,然后结合几何知识确定是否存在,如果存在,再确定点的坐标. 课件20张PPT。22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k).
y=ax2+k和y=ax2的图象,形状相同,只是位置不同.
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2上下平移得到.其平移规律是:上加下减,即k>0时,将抛物线y=ax2向上平移k个单位;k<0时,将抛物线y=ax2向下平移|k|个单位.知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=ax2+k的图象与性质时可结合下面的表格:知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例1 对于函数y=x2+1,下列结论正确的是( )
A.图象的开口向下
B.y随x的增大而增大
C.图象关于y轴对称
D.最大值是0
解析:根据二次函数y=x2+1的性质进行判断.
∵a=1>0,∴其图象的开口向上,对称轴为y轴,
当x>0时,y随x的增大而增大,当x=0时,y取最小值1.
答案:C知识点一知识点二知识点三由于y=x2+1是由y=x2向上平移1个单位得到的,所以可以利用y=x2的性质来进行判断,只要明确其中的“变”与“不变”即可. 知识点一知识点二知识点三知识点二二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=h,顶点坐标是(h,0).
y=a(x-h)2和y=ax2的图象,形状相同,只是位置不同.
二次函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象左右平移得到.平移的规律是左加右减,即当h<0时,向左平移|h|个单位;当h>0时,向右平移h个单位.知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=a(x-h)2的图象及性质时可结合下面的表格.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例2 已知抛物线y=5(x-1)2,下列说法中,你认为不正确的是( )
A.顶点坐标为(1,0)
B.对称轴为直线x=0
C.当x>1时,y随x的增大而增大
D.当x<1时,y随x的增大而减小
解析:根据二次函数y=5(x-1)2的性质,利用排除法求解.对于A,顶点坐标为(1,0),正确,不符合题意;对于B,对称轴为直线x=1,错误,符合题意;对于C,当x>1时,y随x的增大而增大,正确,不符合题意;对于D,当x<1时,y随x的增大而减小,正确,不符合题意.
答案:B知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可以在掌握y=a(x-h)2的图象和性质的基础上,利用数形结合逐一进行判断. 知识点一知识点二知识点三知识点三二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h,k的值来确定.
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.(2)对称轴是x=h.(3)顶点是(h,k).知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=a(x-h)2+k的图象及性质时可结合下面的表格.知识点一知识点二知识点三例3 (2015·东营区校级模拟)对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1;
③顶点坐标为(-1,3);④x>1时,y随x的增大而减小,其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:根据二次函数的性质对各结论分析判断:①∵a=-1<0,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=-1,故②错误;③顶点坐标为(-1,3),正确;④当x>-1时,y随x的增大而减小,故④正确.
综上所述,正确的结论是①,③,④,共3个.
答案:C知识点一知识点二知识点三解答这类问题,可在理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质的基础上,对每一条逐一分析直至得出答案. 拓展点一拓展点二拓展点一二次函数图象的平移
例1 抛物线y=-(x-2)2+1经过平移后与抛物线y=-(x+1)2-2重合,那么平移的方法可以是 ( )
A.向左平移3个单位再向下平移3个单位
B.向左平移3个单位再向上平移3个单位
C.向右平移3个单位再向下平移3个单位
D.向右平移3个单位再向上平移3个单位
解析:根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可.
∵抛物线y=-(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1),抛物线y=-(x+1)2-2的顶点坐标为(-1,-2),
∴顶点由(2,1)到(-1,-2)需要向左平移3个单位再向下平移3个单位.
答案:A拓展点一拓展点二解答这类问题的关键是掌握“左加右减”和“上加下减”的平移规律,在具体运用时注意灵活使用,一般是根据顶点坐标的变化一步到位,如果所给的解析式不是顶点式,可以先通过配方化成顶点式,再进行判断. 拓展点一拓展点二拓展点二二次函数顶点式的综合运用
例2 (2015秋·自贡校级月考)把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数y= (x+1)2-1的图象.
(1)试确定a,h,k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
分析:(1)利用逆向思维的方法求解.把二次函数y= (x+1)2-1的图象先向右平移2个单位,再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象,然后利用顶点的平移变化情况确定原二次函数解析式,最后写出a,h,k的值;
(2)根据二次函数的性质求解.拓展点一拓展点二拓展点一拓展点二由于抛物线平移前后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移前后的顶点坐标,即可求出解析式.课件28张PPT。22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点一知识点二知识点三知识点一二次函数一般式与顶点式的互化
一般地,y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式,即
因此,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例1 求下列抛物线的对称轴和顶点坐标,并指出它们的开口方向.
(1)y=x2-2x+8;(2)y=-5x2+3x-2.
分析:(1)由于一次项系数的绝对值是二次项系数的偶数倍,所以可以考虑利用配方法确定抛物线的顶点坐标、对称轴;根据a>0,抛物线开口向上,a<0,抛物线开口向下,可得答案;
(2)由于一次项系数的绝对值不是二次项系数的偶数倍,且二次项系数也不为“1”,所以可根据抛物线顶点坐标公式求出顶点坐标、对称轴;根据a>0,抛物线开口向上,a<0,抛物线开口向下,可得答案.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三确定抛物线的顶点坐标和对称轴时,既可以利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c配成顶点式y=a(x-h)2+k,利用顶点式直接写出,也可以利用顶点的坐标公式直接求解.当所给的二次函数的一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的偶数倍时,多利用顶点式;当二者之间不是偶数倍时,通常利用顶点的坐标公式求解. 知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三名师解读:理解二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质可借助下面的表格.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三例2 已知函数y=- x2+2x+1,解答下列问题:
(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴;
(2)作出函数的图象,并观察图象,写出x为何值时,y随x的增大而增大,x为何值时,y随x的增大而减小;
(3)函数的最值是多少?
分析:(1)利用配方法配方成二次函数的顶点式后即可确定其开口方向、顶点坐标及对称轴;
(2)根据其顶点坐标、与坐标轴的交点情况确定二次函数的草图,然后确定其增减性即可;
(3)直接根据二次函数的图象说出其最值即可.知识点一知识点二知识点三知识点一知识点二知识点三解答这类问题时,通常先把一般式化成顶点式,根据顶点式回答,尤其是当一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的偶数倍时,配方成顶点式往往是最为简便的方法. 知识点一知识点二知识点三知识点三二次函数y=ax2+bx+c解析式的确定
求二次函数的解析式y=ax2+bx+c的基本方法是待定系数法,根据已知条件的不同,常将二次函数的解析式设为如下两种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k.
名师解读:求二次函数解析式的实质是确定三个系数的值,因此需要三个独立的已知条件.当已知抛物线上任意三点的坐标(或函数的三对对应值)时,可选用一般式;当已知抛物线的顶点坐标和另外一个条件时,常用顶点式.知识点一知识点二知识点三例3 已知二次函数图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),求此二次函数的解析式.
分析:根据已知条件中的顶点坐标,可以把二次函数的解析式设为顶点式,再进一步把(1,-6)代入求解即可.
解:设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.
∵函数图象的顶点坐标为(-2,3),且过点(1,-6),
∴h=-2,k=3,-6=a(1+2)2+3,解得a=-1.
∴二次函数的解析式为y=-(x+2)2+3.知识点一知识点二知识点三如果已知抛物线的顶点坐标(或可以根据条件容易得出顶点坐标)时,可以选择设为顶点式的方法进行计算. 知识点一知识点二知识点三例4 已知一个二次函数的图象过点(2,0),(0,-2)和(-2,3),求这个二次函数的解析式.
分析:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0),(0,-2),(-2,3)三点坐标代入求得a,b,c的值即可.
解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,将(2,0),(0,-2),(-2,3)三点坐标代入,知识点一知识点二知识点三当已知条件是抛物线上三个点的坐标或函数的三对对应值时,可设出一般式,通过列方程组求二次函数的解析式. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据二次函数y=ax2+bx+c的图象确定a,b,c的符号
例1 如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则下列结论正确的是( )
A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c<0
C.a>0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c<0解析:∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴在y轴的右侧,∴x=-
>0,∴b>0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0.
答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,根据图象的开口方向确定a的符号,利用抛物线与y轴的位置确定c的符号,利用对称轴的位置结合a的符号确定b的符号,可以简记为“左同右异”,即对称轴(或顶点)在y轴的左侧时,b与a的符号一致,在y轴的右侧时,b与a的符号相反,如果顶点在y轴上,则b=0. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二根据二次函数y=ax2+bx+c的性质求字母的值
例2 已知抛物线y=x2+kx+k+3,根据下面的条件,求k的值.
(1)抛物线的顶点在y轴上;
(2)抛物线的顶点在x轴上;
(3)抛物线经过原点;
(4)抛物线的对称轴为x=-3.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,应根据题目的要求和二次函数的性质,得出关于未知字母相应的方程或方程组,通过解方程或方程组求解. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三用待定系数法确定二次函数的解析式
例3 抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,-1),B(1,3)两点,求抛物线的解析式.
分析:把点A(-1,-1),B(1,3)分别代入y=x2+bx+c得到关于b与c的方程组,然后解方程组求出b,c即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知,则列二元一次方程组求解. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与二次函数y=ax2+bx+c有关的综合题
例4
如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)求梯形COBD的面积.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解析式;
(2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积.
解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物线解析式为y=-(x-1)2+4.
(2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3,
∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1.
∵A(-1,0),
∴B(3,0),即OB=3,
则S梯形COBD= (1+3)×3=6.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,先确定二次函数的解析式,然后利用二次函数的解析式确定关键点,最后根据要求得出所需结论. 课件24张PPT。22.2 二次函数与一元二次方程知识点一知识点二知识点一二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系
一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况:没有实数根,有两个相等实数根,有两个不等实数根.知识点一知识点二名师解读:二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:
(1)b2-4ac>0?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的根x1,x2?二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点(x1,0)和(x2,0);
(2)b2-4ac=0?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的根x1=x2?二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有唯一的一个交点(x1,0);
(3)b2-4ac<0?一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根?二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点.知识点一知识点二例1 已知抛物线y=-x2+2x+8,求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标.
分析:把已知函数解析式配方,即可求出抛物线的顶点坐标;令y=0即可求出抛物线与x轴的交点.
解:∵y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,
∴抛物线顶点的坐标为(1,9).
令y=0,则0=-x2+2x+8,解得x=4或-2,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(4,0)或(-2,0).知识点一知识点二求抛物线与x轴的交点坐标,只要令y=0,得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,解方程即可. 知识点一知识点二知识点二用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次方程的近似解的基本步骤:
(1)画出二次函数的图象;
(2)确定抛物线与x轴交点的个数;
(3)确定数值,即确定抛物线与x轴交点的横坐标的近似值;
(4)写出方程的解,即根据交点的情况和数值写出一元二次方程的近似解(或根).名师解读:由于图象法准确度有限,所以求得的结果是一元二次方程的近似解,可以有一定的误差.知识点一知识点二例2 利用函数图象求方程x2+2x-5=0的实数根(精确到0.1).
分析:要利用图象求方程x2+2x-5=0的实数根,首先画出二次函数y=x2+2x-5的图象,然后估计函数图象与x轴交点,交点的横坐标就是方程的根.
解:函数y=x2+2x-5的图象如图所示,
由图象可知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别在-4和-3,1和2之间,也就是方程x2+2x-5=0有两个根,一个在-4和-3之间,另一个在1和2之间.知识点一知识点二(1)先求-4和-3之间的根,作出函数y=x2+2x-5的对应值表,如下表.
由表知x=-3.4是方程的一个近似根.
(2)另一个根在1和2之间,作出函数y=x2+2x-5的对应值表,如下表.
由表知x=1.4是方程的另一个近似根.
所以方程的两个近似根为x1=-3.4,x2=1.4.知识点一知识点二(1)准确画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,画图时要先确定抛物线的顶点,再在顶点两侧取相对称的点(至少描五点来连线); (2)确定抛物线与x轴的交点在哪两个数之间; (3)列表格,在第(2)步中确定的两个数之间取值,进行估计,通常只精确到十分位即可. 注意:在实际的解题过程中,可通过观察图象得到方程的近似根,一般不需要列表探究. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一利用“交点式”确定二次函数的解析式
例1 已知二次函数的图象与x轴的交点为(3,0),(-1,0),与y轴交点为(0,3).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求二次函数的对称轴及顶点坐标.
分析:(1)∵二次函数的图象与x轴的交点为(3,0),(-1,0),
∴可设二次函数解析式为y=a(x-3)(x+1).
把与y轴交点坐标(0,3)代入即可求解.
(2)根据二次函数解析式即可求出对称轴及顶点坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设二次函数解析式为y=a(x-3)(x+1),把(0,3)代入得-3a=3,
∴a=-1,故二次函数解析式为y=-(x-3)(x+1).
(2)∵y=-(x-3)(x+1)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴该二次函数的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,4).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五当已知二次函数图象与x轴两交点的坐标(或根据已知条件能得出二次函数的图象与x轴两交点的坐标)时,一般利用交点式(实际是三点式的特殊情况,是三点中的两点是x轴上的点)求解二次函数的解析式,这种方法的优点是计算相对简便. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点二求抛物线与x轴的交点有关的图形面积
例2 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),与x轴交于B,C两点,且B点坐标为(1,0),与y轴交于点D,求△BCD的面积.
分析:设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,由A和B的坐标可求出抛物线的解析式,所以D的坐标可求出,根据顶点的坐标可知抛物线的对称轴,再由B的坐标可求出C点的坐标,BC的长度可求,利用三角形的面积公式计算即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,
∵顶点是A(2,1),∴y=a(x-2)2+1,
∵点B(1,0)在抛物线上,
∴0=a+1,∴a=-1,
∴y=-(x-2)2+1,
∴点D的坐标为(0,-3).
∵点B的坐标为(1,0),
∴点C的坐标为(3,0),
∴BC=2,
∴△BCD的面积= ×2×3=3.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五 在坐标系中求三角形的面积,一般把三角形的底边“放在”坐标轴上,当底边在x轴上时,高是纵坐标的绝对值;当底边在y轴上时,高是横坐标的绝对值.如果坐标轴把该三角形分成两个三角形,则先分别求出两个三角形的面积,最后再相加即可. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三与抛物线和x轴的交点有关的综合题
例3
如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-3,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若点P在抛物线上,a=1,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)由抛物线的对称性可知,点B,C到对称轴的距离相等可求得B点的坐标;
(2)由条件可先求得抛物线的解析式,再求得△BOC的面积,结合条件可求得P点到y轴的距离,即P点的横坐标的绝对值,代入可求得P点坐标.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五利用待定系数法确定二次函数的解析式或求二次函数与x轴交点坐标的时候,运用二次函数图象的对称性,往往是解答问题的突破口. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c及b2-4ac的关系
例4
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解析:(1)abc>0,理由是:抛物线开口向上,a>0,抛物线交y轴于y轴负半轴,c<0,又对称轴交x轴于x轴的正半轴,- >0,而a>0,得b<0,因此abc>0;
(2)b2-4ac>0,理由是:抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac>0;
(3)2a+b>0,理由是:∵0<- <1,a>0,
∴-b<2a,因此2a+b>0;
(4)a+b+c<0,理由是:由图象可知,当x=1时,y=a+b+c<0.
综上所述,abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有3个.
答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答这类问题,需要数形结合对每一种情况都要综合分析,然后作出判断,一般方法是: (1)首先根据开口方向判断a的符号,结合对称轴确定b的值或符号,根据抛物线与y轴交点的位置确定c的值或符号; (2)其次根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号; (3)最后根据以上各式的值或符号结合图象的几何性质再判断其他代数式的符号或值.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五利用图象解不等式
例5 (2015秋·盐都区期末)
已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,若y>0,则x的取值范围是( )
A.-1B.-1C.x<-1或x>3
D.x<-1或x>4
解析:求y>0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的x的范围,根据图象可得x的范围是x<-1或x>3.
答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决这类问题,要注意数形结合思想的应用,理解求y>0时x的取值范围,就是求二次函数的图象在x轴上方时对应的x的范围是关键.解不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0时,找出图象与x轴的交点的横坐标,图象在x轴上方对应的自变量的取值即为ax2+bx+c>0的解集,图象在x轴下方对应的自变量的取值即为ax2+bx+c<0的解集. 课件23张PPT。22.3 实际问题与二次函数知识点知识点利用二次函数解决实际问题
由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点,故在顶点处函数取最大值或最小值,因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大(小)值的实际问题,我们可将实际问题抽象为二次函数的数学模型,求出二次函数的解析式,借助最值求法解决实际问题.
求解此类问题的一般步骤如下:
(1)列出二次函数解析式;
(2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;
(3)求二次函数的最大值或最小值;
(4)解决实际问题.知识点名师解读:对于实际问题中的最大(小)值,要注意有时并不是抛物线顶点的纵坐标.原因是顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围之内,此时应根据二次函数图象(抛物线的一段或一部分有意义的点)的增减性进行解答.知识点例题 为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数解析式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?知识点分析:(1)根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案;
(2)利用二次函数最值求法得出x=- 时,w取到最值,进而得出答案.
解:(1)由题意得w=(x-20)y=(x-20)·(-2x+80)=-2x2+120x-1 600,
故w与x的函数解析式为w=-2x2+120x-1 600.
(2)w=-2x2+120x-1 600=-2(x-30)2+200,
∵-2<0,∴当x=30时,w有最大值,最大值为200.即该产品销售价定为每千克30元时,每天销售利润最大,最大利润为200元.知识点解答这类应用题,先把实际问题转化成数学问题,建立二次函数模型,用待定系数法确定二次函数解析式,然后求出二次函数的最大值或最小值解决问题. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一求自变量的取值有一定范围的二次函数的最值
例1 已知二次函数的图象y=ax2+bx+c(0≤x≤3)如图所示.关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是( )A.有最小值0,有最大值3
B.有最小值-1,有最大值0
C.有最小值-1,有最大值3
D.有最小值-1,无最大值拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解析:由图可知,该二次函数在x=1时,有最小值-1,x=3时,有最大值3.
答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五对于求自变量的取值有一定的范围的二次函数的最值的问题,首先要看顶点是否在其范围内,如果在,若a>0,则有最小值,若a<0,则有最大值;如果不在,则根据二次函数的增减性进行解答,但是对于自变量是像m≤x≤n(m例2
新时代中学为了搞好校园环境,准备在围墙边设计一个长方形的自行车棚,一边利用围墙,并且已有总长32 m的铁围栏,为了方便出入,在平行于墙的一边留有一个2 m宽的门.
(1)如果要使这个车棚的面积为144 m2,请你设计长和宽;
(2)要使车棚的面积最大,请你设计长和宽.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)设垂直于墙的铁围栏为x m,则平行于墙的一边长为(32-2x+2)m,根据长方形的面积公式即可列方程求解;
(2)设这个车棚的面积为y m2,由(1)的数量关系得出二次函数,利用配方法求得最大值即可.
解:(1)设宽为x m,则长为32-2x+2=(34-2x)m,
依题意可列方程x(34-2x)=144,即-2x2+34x-144=0,解得x1=8,x2=9.当x1=8时,32-2x+2=18,当x2=9时,32-2x+2=16.
所以这个车棚的长为18 m,宽为8 m或长为16 m,宽为9 m.
(2)设这个车棚的面积为y m2,
由题意得y=x(34-2x)=-2x2+34x=-2(x-8.5)2+144.5.
要使车棚面积最大,长应为17 m,宽应为8.5 m.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五求图形最大(小)面积问题时,先把图形的面积表示成其中一个变量的二次函数,通过二次函数的最值进行求解. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三利用二次函数确定最大利润问题
例3 某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件.
(1)要使每天获得利润700元,请你帮忙确定售价;
(2)问售价定在多少时能使每天获得的利润最多?并求出最大利润.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设每件商品涨价x元,
则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元,
每天销售量为(200-20x)件,
依题意,得(x+2)(200-20x)=700.
整理得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5.
∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.
答:把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元.
(2)设应将售价定为x元时,才能使每天获得的利润最大为y元,
根据题意得y=(x-8) =-20x2+560x-3 200=-20(x2-28x)-3 200=-20(x2-28x+196)-3 200+20×196=-20(x-14)2+720,
∴x=14时,y最大,最大值为720.
答:应将售价定为14元时,才能使每天获得的利润最大,最大利润为720元.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决求最大利润问题,先根据已知条件把利润表示成价格的二次函数,然后根据二次函数的最值求解,注意自变量的取值范围如果不包含顶点的横坐标时,要使实际问题有意义. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四利用二次函数解答运动路线或运动距离问题
例4 立定跳远时,以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴(假设起跳时重心与起跳点在同一竖直方向上),地平线为x轴,建立平面直角坐标系(如图),则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2(x-1)2+0.7的抛物线,在最后落地时重心离地面0.3 m(假如落地时重心与脚后跟在同一竖直方向上).拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五(1)小明在这一跳中,重心离地面最高时距离地面多少米?此时他离起跳点的水平距离有多少米?
(2)小明此跳在起跳时重心离地面有多高?
(3)小明这一跳能得满分吗?(2.40 m为满分)
解:(1)∵y=-0.2(x-1)2+0.7,
∴抛物线的顶点坐标为(1,0.7),
∴重心离地面最高时距离地面0.7 m,此时他离起跳点的水平距离有1 m.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答生活中的实际问题,关键是把实际问题转化成数学问题,对于路线是抛物线的问题,关键是看问题的要求符合抛物线的哪一方面的性质(或关键点),然后利用二次函数的相关性质进行解答. 拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五利用二次函数解决方案选择问题
例5 某超市计划上两个新项目:
项目一:销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系y=kx.当投资5万元时,可获得利润2万元;
项目二:销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.当投资4万元时,可获得利润3.2万元;当投资2万元时,可获得利润2.4万元.
(1)请分别求出上述的正比例函数解析式和二次函数解析式;
(2)如果超市同时对A,B两种商品共投资12万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案获得的最大利润是多少.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)∵销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在正比例函数关系y=kx,
当投资5万元时,可获得利润2万元,
∴yA=0.4x.
∵销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系y=ax2+bx,
当投资4万元时,可获得利润3.2万元,
当投资2万元时,可获得利润2.4万元,拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五(2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(12-x)万元.
由(1)可知所获得的利润W=-0.2x2+1.6x+0.4(12-x)=-0.2(x-3)2+6.6.
∴当x=3时,W取最大值.
∴投资A,B两种商品的金额分别为9万元,3万元,可获得最大利润6.6万元.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解决方案选择问题,关键是正确把握题目的数量关系,然后根据数量关系列出函数解析式,利用函数解析式和相关知识解决问题. 课件20张PPT。章末专题整合专题一专题二专题三专题四专题五专题一二次函数的图象与性质
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:
①因为a>0,所以函数y有最大值;
②该函数的图象关于直线x=-1对称;
③当x=-2时,函数y的值等于0;
④当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0.
其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1专题一专题二专题三专题四专题五解析:由图象知:函数有最小值,①错误;该函数的图象关于直线x=-1对称,②正确;当x=-2时,函数y的值小于0,③错误;当x=-3或x=1时,函数y的值都等于0,④正确.
故正确的有两个,选C.
答案:C专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,要注意数形结合,其中正确解读图象中“特殊点”(与坐标轴的交点、顶点等)的意义是解答的关键. 专题一专题二专题三专题四专题五专题二确定二次函数的解析式
例2 已知抛物线经过点(3,14),(1,4),(2,7),求抛物线解析式.
分析:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把三个点的坐标分别代入得到关于a,b,c的方程组,然后解方程组求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式.
解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,专题一专题二专题三专题四专题五在利用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解. 专题一专题二专题三专题四专题五专题三二次函数与一元二次方程
例3 关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),且
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标,并指出抛物线在该直线下方时x的取值范围.专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)利用抛物线与x轴的交点得到x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,先利用根的判别式大于0可得到m< ,再根据根与系数的关系得到x1+x2=2m-1,x1·x2=m2-1,由于 ,则(x1+x2)2-2x1·x2=3,所以(2m-1)2-2(m2-1)=3,然后解方程,再利用m的范围可确定m的值,从而得到抛物线解析式;
(2)先通过解方程x2+x-1=-3x-4可得到抛物线与直线的交点的横坐标,再求出抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),然后利用图象可判断抛物线在该直线下方时x的取值范围.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)∵关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-1的图象与x轴的两交点为A(x1,0),B(x2,0),
∴x1,x2为方程x2-(2m-1)x+m2-1=0的两根,
∴(x1+x2)2-2x1·x2=3,∴(2m-1)2-2(m2-1)=3,
整理得m2-2m=0,解得m1=0,m2=2,
∵m< ,∴m=0,∴抛物线解析式为y=x2+x-1.
(2)解方程x2+x-1=-3x-4得x1=-1,x2=-3,
∴抛物线与直线y=-3x-4的交点坐标为(-1,-1),(-3,5),∴抛物线在该直线下方时x的取值范围为-3例4 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为直线x=1,点B坐标为(-1,0).则下面的四个结论:①2a+b=0;②8a+c<0;③abc>0;④当y<0时,x<-1或x>2;⑤对任意实数m,m(am+b)≤a+b.其中正确的结论有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5专题一专题二专题三专题四专题五解析:根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a,b,c的符号,根据函数图象确定y>0和y<0时,对应x的取值范围即可.
①对称轴x= =1,∴2a+b=0,①正确;②x=-2时,y<0,∴4a-2b+c<0,又b=-2a,∴8a+c<0,②正确;③抛物线开口向下,a<0,对称轴在y轴右侧,b>0,与y轴交于正半轴,c>0,∴abc<0,③错误;④当x<-1或x>3时,y<0,④错误;⑤当x=1时,函数有最大值,
∴am2+bm+c≤a+b+c,∴m(am+b)≤a+b,⑤正确.
答案:B专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,注意在理解和掌握二次函数的图象和性质的基础上,数形结合,深入分析,逐一判断每个说法的真假. 专题一专题二专题三专题四专题五专题五二次函数的应用
例5 把一张边长为40 cm的正方形硬纸板,进行适当的裁剪,折成一个长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).
(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.
①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.专题一专题二专题三专题四专题五(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).专题一专题二专题三专题四专题五分析:(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm,根据题意得出(40-2x)2=484,求出即可;
②设剪掉的正方形的边长为a cm,盒子的侧面积为y cm2,则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,利用二次函数最值求出即可.
(2)设长方体盒子的高为x cm,利用折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2,得出方程求出即可.专题一专题二专题三专题四专题五解:(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm,
则(40-2x)2=484,即40-2x=±22,
解得x1=31(不合题意,舍去),x2=9.
答:剪掉的正方形的边长为9 cm.
②侧面积有最大值,设剪掉的小正方形的边长为a cm,盒子的侧面积为y cm2,
则y与a的函数关系为y=4(40-2a)a,
即y=-8a2+160a=-8(a-10)2+800,
∵-8<0,∴y有最大值,即当a=10时,y最大=800,
即当剪掉的正方形的边长为10 cm时,长方体盒子的侧面积最大为800 cm2.专题一专题二专题三专题四专题五(2)设长方体盒子的高为x cm,则长为40-2x,宽为20-x,
表面积为2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550,
解得x1=-35(不合题意,舍去),x2=15,
即长方体盒子的高为15 cm,
则长为40-2x=40-2×15=10(cm),
宽为20-x=20-15=5(cm),
此时长方体盒子的长为10 cm,宽为5 cm,高为15 cm.专题一专题二专题三专题四专题五解答这类问题,弄清题中的等量关系建立二次函数模型,综合运用二次函数及其相关知识进行解答.
